微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分（原卷版）

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1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可.
2、几种常见的数列放缩方法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）.
3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.
【典型例题】
例1．（2024·河南·一模）已知函数，，.
(1)判断是否对恒成立，并给出理由；
(2)证明：
①当时，；
②当，时，.
例2．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.
例3．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．
例4．（2024·天津·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
例5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数．
(1)判断函数的单调性
(2)证明：①当时，；
②.
例6．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且．
(1)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，证明：当时，．
例7．（2024·陕西西安·一模）已知函数.
(1)若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值并求函数的极值；
(2)若恒成立，求证：对任意正整数，都有.
例8．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
例9．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
【过关测试】
1．（2024·山东济宁·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；
(3)设，，数列的前项和为．证明：．
2．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数
(1)讨论 的单调性.
(2)证明:当时,
(3)证明:
3．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：．
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．
5．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．
6．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
7．（2024·四川德阳·模拟预测）（）.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.
8．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1.
(1)求的表达式；
(2)若恒成立，求的值.
(3)求证：.
9．（2024·高三·安徽·阶段练习）（1）已知，证明：；
（2）证明：．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：对于任意正整数n，都有．
11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，．
(1)若恒成立，求a的取值集合；
(2)证明：．
12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)证明：．
13．（2024·湖南长沙·一模）已知函数.
(1)若有且仅有一个零点，求实数的取值范围：
(2)证明：.
14．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)证明：，且.
15．（2024·高三·山西·期末）已知函数.
(1)若当时，，求实数的取值范围；
(2)求证：.
16．（2024·高三·全国·专题练习）已知实数，，．
(1)求的值；
(2)若对恒成立，求a的最小值；
(3)当正整数时，求证：．
17．（2024·天津红桥·一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程：
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：（，）.
18．（2024·高三·山东烟台·期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：.
19．（2024·高二·浙江温州·期末）设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
(2)若当时，恒有，求实数a的取值范围；
(3)设时，求证：．
20．（2024·高三·广东汕头·期末）已知函数，.
(1)若，求实数的值；
(2)当时，证明：.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数的取值范围；
(3)设，求证：．
22．（2024·全国·模拟预测）已知实数，，．
(1)求的值；
(2)若对恒成立，求a的最小值；
(3)当正整数时，求证：．
23．（2024·高三·上海宝山·期末）已知数列满足.
(1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列；
(2)若，求证：；
(3)对于（2）中的数列，求证：