微专题13 导数解答题之双变量问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分（原卷版）

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1、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果；
四是主元法.
【典型例题】
例1．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
(1)求抛物线在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线的曲率半径的最小值；
(3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
例2．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
例3．（2024·四川·一模）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若有2个零点，证明：．
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
例5．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
例6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若有2个极值点，求证：.
例7．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．
例8．（2024·高三·河南周口·期末）已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.
例9．（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
【过关测试】
1．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当，时，证明：.
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
4．（2024·广东·模拟预测）已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且
(3)在（2）的条件下，证明：．
5．（2024·天津和平·一模）已知函数，（为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调区间：
(2)设在处的切线方程为，求证：当时，；
(3)若，存在，使得，且，求证：当时，.
6．（2024·天津·一模）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明：.
7．（2024·青海·一模）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若有两个零点，，证明：．
8．（2024·全国·一模）已知
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设是的两个零点（），求证：①；②.
9．（2024·吉林延边·一模）已知有两个极值点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：．
10．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数.
(1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围；
(2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明：
（i）当时，在单调递减;
（ii）
11．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数，且的极值点为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)若函数有两个不同的零点，证明：.
12．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数
(1)若、在处切线的斜率相等，求的值；
(2)若方有两个实数根，试证明：;
(3)若方程有两个实数根，试证明：.
13．（2024·四川凉山·二模）已知函数．
(1)若函数在R上是增函数，求a的取值范围；
(2)设，若，证明：．
14．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数，.
(1)求的单调区间；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
15．（2024·江西上饶·一模）已知函数，若为实数，且方程有两个不同的实数根．
(1)求的取值范围：
(2)①证明：对任意的都有；
②求证：．
16．（2024·高三·新疆伊犁·阶段练习）已知，函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；
(3)设，若存在，使得，证明：.
17．（2024·高三·广东·阶段练习）设函数，其中a为实数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．
18．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知函数，，为常数．
(1)求的单调性；
(2)令，若且.证明：．
19．（2024·河北邯郸·三模）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数.
(1)设函数，讨论的单调性；
(2)设分别为的极大值点和极小值点，证明：.
21．（2024·广西南宁·一模）已知函数．
(1)若直线与函数和均相切，试讨论直线的条数；
(2)设，求证：．