决战2024高考押题卷 数学（天津卷02）

这是一份决战2024高考押题卷 数学（天津卷02），共17页。
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．政府为了了解疫情当下老百姓对防控物资方面的月花费情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的有54人，则n的值为（ ）
A．100B．150C．90D．900
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．设，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为( )

A．B．C．D．
9．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；②在区间上单调递增；③的最大值为2；④在有4个零点.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．②④C．①④D．①③
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知是虚数单位，计算： .
11．的展开式共有8项，则常数项为 ．
12．直线l：被圆C：截得的弦长为，则m的值为 .
13．某城市的电力供应由1号和2号两个负荷相同的核电机组并联提供．当一个机组发生故障时，另一机组能在这段时间内满足城市全部供电需求的概率为．已知每个机组发生故障的概率均为，且相互独立，则机组发生故障的概率是 ．如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率是 ．
14．如图，A，B是⊙C上两点，若弦AB的长度为2，则 ，若向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为 ．
15．已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在的内角所对边的长分别是，已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．如图所示，在三棱柱中，侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，点G、M分别是线段AD、BF的中点．
(1)求证：平面BEG；
(2)求直线DM与平面BEG所成角的正弦值；
(3)求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．
18．已知数列的前项和，其中．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和；
(3)若存在，使得成立，求实数的最小值．
19．已知椭圆，其离心率为，若，分别为C的左、右焦点，x轴上方一点P在椭圆C上，且满足，．
(1)求C的方程及点P的坐标；
(2)过点P的直线l交C于另一点Q（点Q在第三象限），点M与点Q关于x轴对称，直线PM交x轴于点N，若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．
20．已知函数
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）若，判断函数的零点的个数.
参考答案：
1．C
【分析】根据交集与补集的定义求解.
【详解】，
，，
故选：C.
2．A
【分析】先解出不等式，再判断充分性和必要性即可.
【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件．
故选：A.
3．C
【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.
【详解】因为，定义域为R
所以
所以为奇函数，且，排除AB；
当时，，即，排除D
故选：C.
4．B
【分析】利用频率分布直方图求解.
【详解】解：因为支出在内的有54人，
所以由频率分布直方图得：，
故选：B
5．B
【分析】利用幂函数和对数函数的单调性判断.
【详解】解：因为，，，
所以，
故选：B．
6．C
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】解：.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：由题意得：，
解得 ，
所以曲线的方程为，
故选：C
8．C
【分析】根据题意可求出内、外侧圆柱的高分别为，底面半径为则模型的体积为.
【详解】内层圆柱的底面半径，外层圆柱底面半径，
内外层的底面圆周都在一个直径为的球上，球的半径，
如图，以内层圆柱为例，
∵内层圆柱的底面圆周在球面上，
∴球心与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，
则，∴，
根据球的对称性可得，内层圆柱的高为，
同理可得，外层圆柱的高为，
故此模型的体积为：.
故选：C.
9．D
【分析】对于①，将替换，判断即可；对于②，由，去掉绝对值号，得出，判断即可；对于③，对于，分、和三种情况去绝对号，同时结合偶函数做出判断即可；对于④，分和分析，可得出有3个零点：，0，，判断即可.
【详解】因，则为偶函数，①正确；
当时，，它在区间单调递减，②错误；
当时，当时，；
当时，；
则当时，，
又是偶函数，如图所示：
所以的最大值为2，③正确；
当时，，它有两个零点：0和，
当时，，它有一个零点：，
所以函数在有3个零点：，0，，④错误；
所以所有正确结论的编号是①③.
故选：D.
【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．含有绝对值号的三角函数的图象与性质的判断问题，其解题的思路是：（1）先判断函数的奇偶性；（2）再对自变量进行分情况讨论去绝对号，构造分段函数形式；（3）对各个分段分析函数的图象与性质，根据题目要求各个击破.
10．
【分析】由复数的除法法则计算．
【详解】．
故答案为：．
11．
【分析】利用二项式的性质可求得，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．
【详解】的展开式共有项，
依题意得：，
；
设的展开式的通项为，则，
由得，
的展开式中的常数项为．
故答案为：．
12．1或9
【分析】根据圆的弦长公式计算即可．
【详解】，
圆心C，半径，
圆心C到直线l的距离，
则，即，解得或1．
故答案为：9或1．
13． ##0.19
【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算机组发生故障的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】设供电能满足城市需求为事件A，机组发生故障为事件B，
则，，所以．
故答案为：；
14． 2 ##
【分析】（1）根据数量积的公式求解即可；
（2）根据投影向量的公式求解即可
【详解】（1）；
（2）由题意，，故，故，又，故，即，解得，故，所以
15．
【分析】首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．
【详解】解：因为，则，
当或时，，
当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，
故的大致图像如图所示：

关于的方程等价于，
即或，
由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，
所以，解得，
故答案为：
16．(1)2；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据余弦定理，结合已知条件，计算即可；
（2）利用正弦定理，结合已知条件，即可求得结果；
（3）根据，结合余弦的和角公式和倍角公式，计算即可.
【详解】（1）因为，故由余弦定理，
可得，即，解得（舍）或.
（2）因为，故，则，
由正弦定理，则，解得.
（3）因为
又，
故.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）由面面垂直的性质可得面，再由面面垂直有，结合已知、、两两垂直，构建以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，求面的法向量及，判断它们的位置关系，即可证结论.
（2）由（1），应用空间向量夹角的坐标表示求DM与平面BEG所成角的正弦值；
（3）由是面的一个法向量，结合（1）所得面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求平面BEG与平面ABCD夹角的余弦值．
【详解】（1）由四边形是正方形，则，又面面，面面 ，面，
所以面，而面，则，又，
所以、、两两垂直.
建立以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
所以，
设为面的法向量，则，令，可得，
又，则，所以，又平面，
所以平面．
（2）由（1）知：且为面的法向量，
因此，即直线与平面所成角的正弦值为．
（3）由平面的一个法向量且为面的法向量，
因此，即平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用来求得数列的通项公式.
（2）利用凑配法构造等差数列来求得数列的通项公式，利用分组求和法、错位相减求和法求得.
（3）由分离，结合差比较法来求得的最小值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
两式相减并化简得（），
当时，上式也符合，
所以.
（2）数列满足，，
则，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，
设数列满足，且前项和为，
,,
两式相减得，
所以.
设数列满足，则的前项和，
所以.
（3）依题意，存在，使得成立，
，则只需求的最小值.
，
当或时，取得最小值为.
所以的最小值为.
19．(1)；
(2)
【分析】（1）根据数量积的性质，因为，所以，因为，则，可得到的值，在根据离心率的定义，可得到的值，进而得到最后答案；再根据椭圆的定义以及向量的等式，可得到的长度，进而得到点的值；
（2）根据题意，设出直线方程，联立方程，求点的坐标，然后根据三角形的面积关系，列方程即可求解结果．
【详解】（1）因为，所以，且．
又，所以，
即，即，所以，
又离心率，所以，，所以，
所以椭圆方程为．
∵，又∵，
∴，∴P点的坐标为．
（2）依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
由消去y整理，解得或，
所以Q点坐标为，
从而M点坐标为，
所以直线PM的方程为，
则N点的坐标为，
因为的面积是的面积的2倍，点Q在第三象限，
所以，
即，解得（舍负），
所以满足条件的直线l的方程为，
即：．
20．（1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点．
【分析】（1）当时，对求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）若，且在区间，上恒成立，即：在，上的最小值大于1；利用导数求判断函数的最小值．
（3）分类讨论判断的单调性与函数的最小值，从而验证在区间上单调递增．再构造新函数，证明，进而判断函数是否穿过轴即可．
【详解】解：（1）若，则，
所以，所以，所以切线方程为
（2）依题意，在区间上
因为，．
令得，或．
若，则由得，；由得，．
所以，满足条件；
若，则由得，或；由得，
，
依题意，即，所以．
若，则．
所以在区间上单调递增，，不满足条件；
综上，．
（3），．
所以．设，．
令得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为．
因为，所以．
所以的最小值．
从而，在区间上单调递增．
又，
设．
则．令得．由，得；
由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以恒成立．所以，．
所以．
又，所以当时，函数恰有1个零点．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．