2024年中考数学知识点总结+（复习必备）-讲义

这是一份2024年中考数学知识点总结+（复习必备）-讲义，共77页。学案主要包含了实数及分类，数轴及相反数与绝对值，近似数与科学记数法，实数大小比较，非负数的性质，多边形与平行四边形，矩形和菱形，正方形等内容，欢迎下载使用。
专题01 数与式
实数相关概念与运算
整式与因式分解
分式
数的开方与二次根式
专题02 方程与不等式
一次方程及其应用
分式方程及其应用
一元二次方程
一元二次方的应用
一元一次不等式及其应用
专题03 函数
平面直角坐标系与函数的概念
一次函数的图像与性质
一次函数的应用
反比例函数
二次函数的图像与性质
确定二次函数的解析式
二次函数与方程、不等式的综合
二次函数与几何图形
二次函数的实际应用
专题04 图形性质
几何初步
三角形的基本性质
全等三角形
等腰三角形
直角三角形与勾股定理
多边形与平行四边形
矩形和菱形
正方形
圆有关的性质及与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
专题05 图形变化
相似三角形
锐角三角函数与解直角三角形
平移与旋转
轴对称与中心对称
视图、投影和几何作图
专题06 统计与概率
统计
概率
专题01 数与式
实数相关概念与运算
一、实数及分类
1．，
2．常见的无理数：开不尽方的数，消不掉的数，有一定规律的无限不循环小数；
二、数轴及相反数与绝对值
1．数轴的三要素：原点，正方向，单位长度；
2．实数与数轴上的点一一对应；
3．a的相反数是-a，如果a、b互为相反数，则a+b=0，当ab≠0时，；
4．在数轴上，一个数表示的点到原点的距离就是这个数的绝对值，互为相反数的两个数表示的点到原点的距离相等；
5．绝对值的性质：
（1），
（2）一个数的绝对值是非负数，即；
三、近似数与科学记数法
1．精确度：近似数的最后一位表示这个数的精确度；
2．科学记数法规则：，其中，n为整数，当时，n等于a的整数位数减去1；当时，n等于a的左起第一个非零数至小数点之间（包含第一个非零数）的数字个数的相反数；
四、实数大小比较
1．法则：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小；
2．数轴比较：在数轴上，左边的数小于右边的数；
四、实数的运算
1．运算顺序：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的；
2．运算律：加法交换律和结合律，乘法交换律和结合律，乘法分配律；
3．指数幂的运算：，当n为正偶数时，（-1）n=1，当n为正奇数时，（-1）n=-1；
五、非负数的性质
1．常见的非负数：；
2．非负数就是正负数和零，非负数的最小值是0；
3．非负数的和是非负数，积是非负数；
4．若n个非负数的和为0，那么这n个数都为0；
整式与因式分解
一、代数式及相关概念
1.代数式：用运算符号把数与字母连结而成的式子叫做代数式．要按照代数式的书写规则写代数式．
2.单项式：数与字母的乘积的代数式叫单项式．单独的一个数或字母与是单项式．单项式里面的数字因数叫估单项式的系数，单项式里面所有字母因数的指数和叫做单项式的次数．
3.多项式：几个单项式的和叫多项式．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．没有字母的项叫常数项．
4.整式：单项式和多项式统称整式．可以按要求对整式进行升幂排列或降幂排列．
二、整式的运算
1.幂的运算法则：
（1）同底数的幂相乘：；
（2）同底数的幂相除：；
（3）幂的乘方：；
（4）积的乘方：；
2.整式的加减法则
（1）去括号法则：，；
（2）同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同；
合并同类项法则：；
3.整式的乘除法则
（1）单项式乘单项式：系数相乘，同底数的幂相乘；
（2）单项式乘多项式：；
（3）多项式乘多项式：；
（4）单项式除单项式：系数相除，同底数的幂相除；
（5）多项式除以单项式：；
4.乘法公式
（1）平方差公式：；
（2）完全平方公式：；
5.因式分解的基本方法
（1）提公因式法
公因式的确定：
系数：取各项系数的最大公约数；
字母：取各项相同的字母；
指数：取各项相同字母的最低次数；
提公因式法则：；
（2）运用公式法
平方差公式：；
完全平方公式：；
（3）十字相乘法：；
（4）分组分解法：分组后有公因式，分组后能用公式．
分式
一、分式的概念
1．分式：形如，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，B≠0，这样的式子叫做分式；
2．分式有意义的条件：分式有意义，则B≠0；分式无意义，则B=0；
3．分式的值为零的条件：分式的值为0，则A=0且B≠0；
4．分式的值为整数的条件：分式的值为整数，且A、B都是整数，则A是B的倍数，B是A的约数．
二、分式的基本性质
1．分式的基本性质：，其中M≠0；
2．分式的符号法则：；
3．最简分式：分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式；
4．通分：把异分母的分式化为与原分式的值相等的同分母的分式；
5．约分，把分子和分母中的公因式约去；
三、分式的运算
1．分式的加减法：；
2．分式的乘除法：，；
3．分式的乘方：；
数的开方与二次根式
一、平方根与立方根
1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，记作：；
正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；
2.算术平方根：a的算术平方根是，；
3.立方根：如果，那么x叫做a的立方根，记作：；
正数的立方根是正数，零的立方根是零，负数的立方根是负数，于是有：；
4.平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算，开方与乘方互为逆运算；
二、二次根式
1.二次根式：形如，其中，这样的式子叫做二次根式；
2.二次根式有意义：二次根式有意义的条件是；
3.二次根式的性质：
（1）；
（2）双重非负性：，；
（3）；
4.二次根式的运算
（1）二次根式的乘除法
，；
，
（2）最简二次根式：被开方数不含开得尽方的因数和因式，被开方数不含分母，分母不含二次根式；
（3）同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式；
（4）二次根式的加减法
（5）有理化
有理化因式：两个二次根式的积是有理数或整式，这两个二次根式互为有理化因式；
分母有理化：化掉分母中的二次根式，称为分母有理化；
专题02 方程与不等式
一次方程及其应用
一、等式的性质
1．基本性质：如果a=b，那么，，．．；
2．对称性：如果a=b，那么b=a；
3．传递性：如果a=b，b=c，那么a=c；
二、一元一次方程
1．方程：含有未知数的等式，叫做方程；
2．方程的解：使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解；
3．一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程；
4．一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1；
5．一般形式：；当a=，b=0时，解为任意数；当a=，b≠0时，无解；当a≠，唯一解；
三、二元一次方程（组）
1．二元一次方程：含有两个未知数，含未知数的项的次数是1，这样的整式方程叫二元一次方程；
2．二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组；
3．二元一次方程组的解法：代入消元法，加减消元法；
4．一般形式：；
三、三元一次方程（组）
1．三元一次方程：含有三个未知数，含未知数的项的次数是1，这样的整式方程叫三元一次方程；
2．三元一次方程组：共含有三个未知数的三个一次方程组成的方程组，叫做三元一次方程组；
3．三元一次方程组的解法：代入消元法，加减消元法；
4．一般形式：；
四、一次方程（组）的应用
1．列方程解应用题的一般步骤：审题，设未知数，列方程（组），解方程（组），检验并写解；
2．常见类型及关系式：
（1）购买问题：单价×数量=总价；
（2）变化率问题：初量×（1±变化率）=末量；
（3）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销售量，利润=售价-进价，利润=进价×利润率，总利润=单位利润×数量=总销售额-决成本；
（4）工程问题=工作效率×工作时间；
（5）行程问题：路程=速度×时间；
（6）顺水和逆水问题：顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度-水速；
分式方程及其应用
1、分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
一元二次方程
一、一元二次方程的概念
1.一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程；
2.一般形式：；
3.特殊解：当x=1时，有a+b+c=0；当x=-1时，有a-b+c=0；当x=0时，有c=0；
二、一元二次方程的解法
1.直接开平方法
（1）形如，解得：；
（2）形如，解得：；
2.配方法
（1）配方法的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解；
（2）配方的策略：当二次项系数为1时，加上一次项系数的一半的平方；
3.公式法
（1）求根公式：；
（2）公式法的步骤：将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算b2-4ac的值，当b2-4ac>0时，代入求根公式计算；
4.因式分解法
（1）形如，左边提公因式分解因式；
（2）形如，左边用平方差公式分解因式；
（3）形如，左边用完全平方公式分解因式；
（4）形如，左边用十字相乘法分解因式；
三、一元二次方程根的判别式
1.根的判别式：b2-4ac；
2.判别方法：
四、一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程：，
（1）条件：，方程的两个根为；
（2）结论：；
一元二次方的应用
一、增长率问题
基本关系：
（1）增长率=增长量÷基础量×100%，
（2），其中a是初量，b是末量，x是增长率；
（3），其中a是初量，b是末量，x是降低率；
二、利润问题
基本关系：
（1）利润=售价-进价=进价×利润率；
（2）销售额=售价×数量；
（3）部利润=单位利润×销量；
三、几何问题
基本关系：
（原长+长的变化量）（原宽+宽的变化量）=变化后的长方形的面积；
四、传播问题
基本关系：
，a表示最初数量，b表示传播后的数量，x表示每轮传播的数量；
一元一次不等式及其应用
一、不等式的性质
1.若a>b，则；
2.若a>b，c>0，则；
3.若a>b，cb，则bb，b>c，则a>c；
二、解集及数轴表示
1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；
2.不等式的解集：不等式的所有解组成的集合；
3.数轴表示：含等于就用实心圆，不含等于就用空心圆；
三、解不等式（组）
1.一元一次不等式的解法
（1）解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1；
（2）数轴表示：大于向右，小于向左；
2.一元一次不等式组的解法
（1）解题步骤：分别求出每个不等式的解集，再结合数轴或口诀确定不等式组的解集；
（2）解集的确定：
口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找；
四、不等式的应用
1.找不等关系：至少，至多，不高于，不低于，大于，小于，超过，不超过，等；
2.建立不等式或不等式组，求出解集后，有时需要求出具体的解。
专题03 函数
平面直角坐标系与函数的概念
一、坐标与位置
1.象限内点的坐标特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）；
2.坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点的坐标（a，0），y轴上的点的坐标（0，b）；
3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
（1）平行x轴的直线上的点的纵坐标相同；
（2）平行y轴的直线上的点的横坐标相同；
4.象限角平分线上的点的坐标特征
（1）点P（x，y）在第一、三象限角平分线上，则x=y；
（2）点P（x，y）在第二、四象限角平分线上，则x=-y；
二、坐标与平移、对称
1.对称点的坐标特征
（1）点P（a，b）关于x轴对称点的坐标为（a，-b）；
（2）点P（a，b）关于y轴对称点的坐标为（-a，b）；
（3）点P（a，b）关于原点对称点的坐标为（-a，-b）；
（4）点P（a，b）关于直线x=m对称点的坐标为（2m-a，b）；
（5）点P（a，b）关于直线y=m对称点的坐标为（a，2m-b）；
（6）点P（a，b）关于直线y=x对称点的坐标为（b，a）；
（7）点P（a，b）关于直线y=-x对称点的坐标为（-b，-a）；
2.平移点的坐标特征：左减右加横坐标，上加下减纵坐标；
三、坐标与图形
1.线段中点的坐标公式：中点的坐标=线段两个端点的坐标的平均数；
2.坐标与距离
（1）点P（a，b）到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为；
（2）坐标轴上两点之间的距离
x轴上两点之间的距离：A（，0）、B（，0），则，
y轴上两点之间的距离：A（0，）、B（0，），则；
（3）与坐标轴平行的直线上两点之间的距离
与x轴平行的直线上两点之间的距离：A（，y）、B（，y），则，，
与y轴平行的直线上两点之间的距离：A（x，）、B（x，），则；
（4）坐标轴内任意两点之间的距离：A（，）、B（，），则；
四、坐标与函数
1.函数的概念：两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量；
2.函数的三种表示：列表法，图象法，解析法；
3.自变量的取值范围
（1）使解析式有意义：分母不等于零，开偶次方时被开方数是非负数，零指数和负整数指数幂的底数不能等于零；
（2）使实际问题有意义；
4.函数图象：以自变量的值为横坐标，对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描点，这些点形成的图象就是函数图象；画函数图象一般有三步：列表，描点，连线．
一次函数的图像与性质
一、一次函数的概念
1．一次函数：用自变量的一次整式表示的函数；
2．一般形式：（k、b为常数，k≠0）；
3．正比例函数：（k为常数，k≠0）；
二、一次函数的图象与性质
1．系数K、b对图象的影响
2．两条直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
3．特殊直线
（1）x轴：直线y=0；
（2）y轴：直线x=0；
（3）与x轴平行的直线：直线y=a（a为常数）；
（4）与y轴平行的直线：直线x=a（a为常数）；
（5）第一、三象限的角平分线所在的直线：直线y=x；
（6）第二、四象限的角平分线所在的直线：直线y=-x；
4．直线的几何变换
（1）直线的平移规律：左加右减自变量，上加下减因变量；
（2）直线的对称规律：
关于x轴对称，自变量x不变，因变量y变为相反数；
关于y轴对称，自变量x变为相反数，因变量y不变；
关于原点对称，自变量x变为相反数，因变量y变为相反数；
三、待定系数法确定一次函数的解析式
1．设：设一次函数的解析式为
2．列：代入两点坐标或两组变量的值，得到二元一次方程组；
3．解：解方程组；
4．写：将k、b的值代入，写出解析式；
四、一次函数与方程、不等式
1．一次函数与方程
（1）一次函数与x轴的交点的横坐标就是方程的解；
（2）直线与直线的交点就是方程组的解；
2．一次函数与不等式
一次函数位于x轴上方对应部分的横坐标取值范围就是不等式的解集；
一次函数的应用
一、利用一次函数的图象和性质解决实际问题的一般步骤
1．理解分析题，将文字语言或函数图象中的点的坐标转化为数学语言；
2．根据条件中的等量关系确定一次函数解析式及自变量的取值范围；
3．利用一次函数的性质解决问题；
二、待定系数法的实际应用
1．根据题意，确定函数的类型，根据类型设解析式；
2．从题中找出两组变量的值，把值代入解析式构建方程组；
3．解方程组，并写出解析式；
三、一次函数与方程、不等式综合应用
1．这类题一般阅读量大，情境较复杂，关键是读懂题意，理清自变量、因变量；
2．将文字语言转化为数学语言，从而建立函数模型；
反比例函数
一、反比例函数的概念
1．反比例函数：形如（K为常数，K≠0）的函数；
2．反比例函数的形式：
（1）一般形式：，（K≠0）；
（2）特殊形式：，，（K≠0）；
二、反比例函数的图象与性质
1．K对图象的影响
2．反比例函数的图象的对称性
（1）双曲线是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；
（2）双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；
三、K的几何意义
（1）过双曲线上任意一点，分别引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为；
（2）越大，图象越远离原点；
四、反比例函数的实际应用
构建反比例函数的解析式，结合反比例函数的图象和性质，解决实际问题．
二次函数的图像与性质
一、二次函数的概念
1．二次函数：用自变量的二次整式表示的函数；
2．一般形式：，（a、b、c为常数，a≠0）；
3．特殊形式
（1）顶点式：，（a≠0）；
（2）交点式：，（a≠0）；
二、二次函数的图象和性质
1．的图象和性质
2．的图象和性质
2．的图象和性质
3．的图象和性质
4．的图象和性质
三、二次函数的系数与图象的关系
1．a决定开口方向和大小
a>0，开口向上；a0时，对称轴在y轴的左侧；当ab0时，与y轴正半轴相交；当cb)，第三边的长度为x，则a-b0
第一、二、三象限
Y随x的增大而增大
b