2024年山东省济南市莱芜区章丘区部分学校中考数学一模试题

这是一份2024年山东省济南市莱芜区章丘区部分学校中考数学一模试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示物体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
2．我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络，截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中64580000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．“配紫色”游戏规则为红色和蓝色可配成紫色．现有两个不透明的纸箱，分别装有红、黄、蓝、绿四张不同颜色的卡片（卡片除颜色不同外其它均相同），从两个纸箱中各抽取一张卡片，则配成紫色的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平行四边形中，是锐角，于点为的中点，连接，若，则的长是（ ）
A．6B．8C．D．
10．如图为二次函数的图象．有下列四个结论：①若分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．分解因式：______．
12．已知盒子里有2个黄色球和个红色球，每个球除颜色外均相同，现从中任取一个球，取出红色球的概率是，则是___．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
14．如图，在中，，以为圆心为半径画弧，分别交于点，再以为圆心为半径画弧，恰好交边于点，则图中阴影部分的面积为______．
15．两地相距，甲、乙两车同时从地出发前往地，如图所示是甲、乙两车行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，回答下列问题．
（1）甲车的速度为______；
（2）当甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间为______．
16．如图，在矩形中，，点分别为边上的点，且的长为2，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题8分）
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（本小题6分）
解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
（1）
（2）
19．（本小题6分）
如图，中，为对角线上的两点，且，连接．
（1）求证：．
（2）连接，求证：四边形是平行四边形．
20．（本小题8分）
小刚和小强要测量建筑物的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点处，测得建筑物顶端的仰角为，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点处测得建筑物顶端的仰角为，此时两人的水平距离为，已知点在同一平面内，点在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点所在的高度为，根据测得的数据，计算建筑物的高度．（结果保留整数）
参考数据：．
21．（本小题8分）
某校积极响应“弘扬传统文化”的号召，开展经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛．为了解本次系列活动的持续效果，学校在活动初期，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，并根据调查结果绘制成不完整的条形、扇形统计图如图所示：
活动初期学生“一周诗词诵背数量”统计计图：
诗词大赛结束后一个月，再次调查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：
大赛后学生“一周诗词诵背数量”统计表：
请根据上述调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为______（首）；
（2）估计大赛后该校学生（总数1200人）“一周诗词诵背数量”不少于6首的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
22．（本小题8分）
如图，是的直径，点是上异于的点，连接，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
23．（本小题10分）
某商店销售一种进价50元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元件），其售价、销售量的二组对应值如表：
（1）求出关于售价的函数关系式；
（2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时利润最大．
24．（本小题10分）
直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象当时，直接写出关于的不等式的解集；
（3）若点是轴上一动点，当的面积是6时，求出点的坐标．
25．（本小题10分）
如图所示，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）点是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接，当点运动到顶点时，求的铅垂高及；
（3）点是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（本小题12分）
（1）问题呈现：
如图1，和都是等边三角形，连接．易知______．
（2）类比探究
如图2，和都是，且．连接，求
的值；
（3）拓展提升：
如图3，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，连接，延长交于点，设，求的长．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查几何体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．
【解答】解：左视图为：
故选：B．
2．【答案】B
【解析】解：．
故选：B．
科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．【答案】A
【解析】解：，
．
是的外角，
．
故选：A．
由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
4．【答案】B
【解析】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．
本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．
5．【答案】B
【解析】解：A．，故选项A不符合题意；
B．，故选项B符合题意；
C．，故选项D不符合题意；
D．，故选项D不符合题意；
故选：B．
根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项等运算法则计算即可．
本题考查的是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
6．【答案】D
【解析】解：由题意得，，
，
，
，
四个选项中，只有D选项中的结论成立，
故选：D．
根据题意得到，由此根据不等式的性质和有理数的加减计算法则判断即可．本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，正确记忆相关知识点是解题关键．
7．【答案】C
【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
又，
点位于第二象限，
；
又，
点，点位于第四象限，
；
，
故选：C．
根据反比例函数，确定出图象所在的象限；再根据的值，来确定函数值的大小，即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有16中等可能情形，其中红色和蓝色配成紫色的情形有2种，故从两个纸箱中各抽取一张卡片，则配成紫色的概率为．
故选：C．
根据题意画出树状图，找到所有等可能情形和符合要求的情形，利用概率公式求解即可．此题考查了用树状图或列表法求概率，准确画出树状图或列表是解题的关键．
9．【答案】D
【解析】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，
四边形是平行四边形，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得或—9（舍去），
，
，
故选：D．
延长交的延长线于，连接，设．首先证明，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．【答案】D
【解析】解：根据图象可知，抛物线的对称轴是直线，
的对称点为，
抛物线的开口向下，
，
当时，随的增大而减小，
分别是抛物线上的两个点，，
，
故①正确；
，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故②正确；
时，的最大值是，
，
，即，
故③正确；
，
，
当时，，
，
，
故④正确；
故选：D．
根据抛物线的对称性质得的对称点为，再根据二次函数的增减性便可判断①；根据抛物线的对称轴得，再根可据抛物线与轴交点位置得，进而便可判断②；根据抛物线的顶点坐标与二次函数的性质，便可判断③；由抛物线的对称轴得，再根据时，函数值的正负，便可判断④．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左；当与异号时（即），对称轴在轴右（简称：左同右异），③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
11．【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．【答案】8
【解析】解：由题意得：
解得：；
故答案为：8．
用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出的值．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
解得：且．
故答案为：且．
利用二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
14．【答案】
【解析】解：连接，相交于点，
由题知，，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形．
又，
，
．
又，
．
，
．
，
．
在和中，
，
．
．
．
故答案为：．
连接，根据所给条件可得出是等边三角形，是顶角为的等腰三角形，进而可得出，进一步得出，再用扇形的面积减去其中空白处的面积，且空白处的面积可转化为扇形的面积，据此可解决问题．
本题考查扇形面积的计算及平行四边形的性质，通过全等三角形将阴影部分的面积转化为两个扇形的面积之差是解题的关键．
15．【答案】90 1或
【解析】解：（1）由图象可得：；
甲车的速度为；
故答案为：90；
（2）由题意可得：，
当时，；设当时，，则：
解得：，
，
当甲、乙两车相距时，则可分：
①，
解得：；
②，
解得：；
③当甲已经到达地，乙距甲时，
解得：，
综上所述：当甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间为或或；
故答案为：1或或．
（1）根据图像可直接进行求解；
（2）根据图像可得出与的函数关系式，然后问题可求解．本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
16．【答案】
【解析】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，
，
当共线时，的值最小，
，，
，
，
；
的最小值为；
故答案为：．
因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，由，推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得，从而得出的最小值．
本题考查了轴对称—最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
当时，原式．
【解析】（1）首先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值，去掉绝对值符号，然后合并同类二次根式即可；
（2）首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．本题综合考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
18．【答案】解：（1），
解①得，，
解②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
（2）解①得，，
解②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【解析】（1）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，
在与中
，
．
（2）证明：连接交于点，连接．
由（1）得，，
，
，
，
四边形为平行四边形．
【解析】（1）由“”可证，即可推出；
（2）由平行四边形的判定可证四边形为平行四边形．
本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
20．【答案】解：由题意得，
四边形是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得．
答：建筑物的高度约为．
【解析】作于，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．【答案】4.5
【解析】解：（1）本次调查的学生有：（名），
背诵4首的有：（人），
，
这组数据的中位数是：（首），
故答案为：4.5；
（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：（人），
答：估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背不少于6首以上的有850人；
（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月的中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
（1）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数；
（2）根据表格中的数据可以解答本题；
（3）根据统计图和表格中的数据可以分别计算出比赛前后的众数和中位数，从而可以解答本题．
本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：，且，
设，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为3．
【解析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；
（2）设，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．【答案】解：（1）设，
由题意得，，
解得：，
答：关于售价的函数关系式为：；
（2）由题意得，，
当时，有最大值为1250，
答：当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．
【解析】（1）设，代入两组数据可得的值，即得关于售价的函数关系式；
（2）利润=销售量件利润，可得与的关系式，可解得当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大．
本题考查了二次函数的实际应用，关键是正确解方程组．
24．【答案】解：点和点在直线上，
．
，
把代入中，得．
反比例函数的表达式为．
（2）要使当时，满足，只要一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，也就是直线的图象在反比例的上方，在两点之间，
当时，的解集为．
（3）直线的表达式为，当时，．
点坐标为，
，
．
，
的坐标为或．
【解析】（1）根据一次函数表达式，先求出两点坐标，再确定反比例；
（2）观察图象即可得出答案；
（3）利用三角形面积公式可求出，进而求点坐标．
此题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，并与三角形面积结合，难度不大．
25．【答案】解：抛物线顶点坐标为点，且经过点，
设抛物线的解析式为：，
把代入解析式，
解得：，
抛物线的解析式为，
抛物线与轴的交点坐标，
由点的坐标得，直线的表达式为：；
（2）点，点在抛物线上，点在直线上，
当时，分别代入和得，
，
；
（3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是的铅垂高，
则，
由得：，
化简得，
解得，
将代入得，
符合条件的点的坐标为．
【解析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当时，分别代入和得，得到，进而求解；
（3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是的铅垂高，则
，由得：，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
26．【答案】1
【解析】解：和都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：1；
（2），
，
；
，
，
；
（3）如图，过点作，交的延长线于，过点作于，
是等腰直角三角形，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，
．
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
．
（1）证明，从而得出结论；
（2）先证明，再证得，进而得出结果；
（3）由“AAS”可证，可得，由直角三角形的性质可求解．
本题是相似形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
9
11
15
42
23
20
售价元/件）
55
65
销售量（件/天）
90
70