山东省实验中学2023-2024学年高二下学期第三次学情检测（5月）数学试题

这是一份山东省实验中学2023-2024学年高二下学期第三次学情检测（5月）数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．函数的导函数（ ）
A．B．C．D．
2．已知事件，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则实数的值为（ ）
A．2B．4C．6D．2或6
4．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（ ）
A．18种B．24种C．36种D．54种
5．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模与年份代码的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：
由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模的估计值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
8．已知离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，且，则（ ）
A．存在，使得
B．对任意，都有
C．对任意，都存在，使得
D．若过点可以作曲线的两条切线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知随机变量，且，则的值为______．
13．已知某学校高二年级有男生500人、安生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______．
14．已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
16．（15分）某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：
男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
（1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？
（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
17．（15分）已知函数在处取得极小值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最值．
18．（17分）某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用表示样本中合格品的个数．
（1）若有放回的抽取，求的分布列与期望；
（2）若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率．
19．（17分）已知函数．
（1）求的单调递增区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
山东省实验中学高二年级下学期第三次学情检测数学试题
一、单项选择题：本题共3小题，每小题5分，共40分．
1．【答案】D【详解】由复合函数求导法则，，
2．【答案】B【解析】因为．所以．故选：B．
3．【答案】D
【解析】出，得或，解得或，
所以实数的值为2或6．故选：D．
4．【答案】A【解析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，共有种排法，所以不同的放法数（神）．故选：A
5．【答案】B【解析】因为，所以．
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立；
所以在上恒成立，即即可
令则由函数单调性的性质知，g（x）在［0，1]上减函数，
，即．所以实数的取值范围为．故选：B．
6．【答案】B【详解】因为；
所以，即经验回归方程，
当时，，所以，
即2025年该科技公司云计算市场规模的估计值为，故选：B
7．【答案】C【解析】【详解】二项式展开式的系数即为其二项式系数，
所以第三项的系数为，第四项的系数为，所以，即，解得，所以展开式一共有9项，其第5项的二项式系数最大．故选：C．
8．【答案】B【解析】，所以；
故故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】ACD【详解】
取，则有，A正确；
取，则有，C正确；
令，则，
因为，所以，B错误；
因为，所以，D正确．
故选：ACD
10．【答案】ABD【解析】【详解】当时，的可能取值为1，2，3，且
；所以．
的可能取值为，且
：所以．
故A，B正确．
当时，的可能取值为，且
；所以．
的可能取值为，且
；所以．
故C错误，D正确．故选：ABD．
11．【答案】BCD【解析】，故，再由，可得，故，，故在上单调递增，
对A，在上单调递增且，故不存在，便得，A错；
对B，，在上单调递增，故在上增加得越来越快，图像下凸，故对任意，都有，B对；
对C，由上得，图像下凸，故图像上任意一条割线，必在在与平行，切点为的切线，此时，即，故C对；
对D，设切点为，则切线方程为，将代入得：，要有两条切线，则方程有两个互异实根，令，则，则当时，在上单调递增：当时，在上单调递减，故，当时，；当时，，故只需，即可使有两个互异实根，故D对．故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】#1.4【解析】【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴，而，由正态分布的对称性可知，，解得．所以的值为．故答案为：．
13．【答案】9
【解析】由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人，则女生应抽取人数为人．故答案为：9
14．【答案】
【解析】由，可得即
构造函数，显然在上单调递增，，即，
令，即求函数的最大值即可，
在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，即的最大值为故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）15．（1）70 （2）663 （3）－92
【详解】（1）由题意得：．
（2）令，则，
再令，则，
又，所以．
（3）两边同时求导得：，
令，则．
16．（15分）（1）列联表见解析；设有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联；（2）
【解析】（1）依统计表可得列联表如下：
则，
故没有90%的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联．
（2）男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，
则为．则，．
所以的分布列为
故
17．（15分）【答案】（1）（2）的最大值为0，最小值为－4．
【解析】【小问1详解】
解：，
由得或，
当时，，
令，可得或，令，可得，
所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极小值：
当时，，
令，可得或，今，可得，
所以函数在区间和上单调递增，
在区间上单调递减，所以函数在处取得极大值，舍去；综上，：
【小问2详解】
解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，又因为，所以的最大值为0，最小值为－4．
18．（17分）【答案】（1）分布列见解析，数学期望为．（2）
【解析】【小问1详解】有放回的抽取（取到合格品）（取到次品），根据题意可得的可能取值为0、1、2、3、4，所以，．
的分布列为：
所以的数学期望．
【小问2详解】由题意得总体中合格品的比例为，
因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，
所以样本中样品中合格品的比例大于小于，即样品中合格品的个数为2或3．
所以（样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过）
19．（17分）【答案】（1）见详解；（2）
【解析】【问1详解】函数的定义域为
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，解不等式得，
当时，不等式无实数解．
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；当时，无单调递增区间．
【小问2详解】
由（1）知，当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；
当时，在上单调递减，所以，显然恒成立；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以
因为当时恒成立，所以，解得．
综上，实数的取值范围为年份
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
年份代码
1
2
3
4
5
云计算市场规模/千万元
7.4
11
20
36.6
66.7
2
2.4
3
3.6
4
评分分组
70分以下
人数
3
27
38
32
评分分组
70分以下
频数
5
35
34
26
满意
不满意
总计
男生
女生
总汁
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
满意
不满意
总计
男生
70
30
100
女生
60
40
100
总计
130
70
200
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
X