四川省成都市第七中学2024届高三下学期热身考试数学（理）试卷

这是一份四川省成都市第七中学2024届高三下学期热身考试数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集，集合M、N满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设向量，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．设x，y满足约束条件则的最小值为（ ）
A．3B．6C．D．
4．一个多面体的三视图如下图，图中所示外轮廓都是边长为1的正方形，则该多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．函数与的图象（ ）
A．关于对称B．关于对称
C．关于对称D．关于对称
6．设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．D．
7．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外切B．相交C．内切D．相离
8．下列说法中，正确的为（ ）
A．在研究数据的离散程度时，一组数据中添加新数据，其极差与标准差都可能变小
B．在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱
C．在实施独立性检验时，显著增加分类变量的样本容量，随机变量的观测值k会减小
D．在回归分析中，模型样本数据的值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好
9．已知圆锥的母线长为3，表面积为，O为底面圆心，为底面圆直径，C为底面圆周上一点，，M为中点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．内切球半径为1的正四棱台其上、下底面边长可能分别为（ ）
A．1，3B．1，4C．，D．，
11．设函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12．双曲线的两个焦点为、，对称中心为O，在的一条渐近线上取一点M，使得等于C的半实轴长，当的最小角取最大值时，C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设，则的虚部为____________．
14．的展开式中的系数为____________．
15．在中，已知，，，则____________．
16．曲线上有相异三点到点的距离相同，则t的取值范围为____________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17．（12分）记数列的前n项和为，已知．
（1）若，证明：是等比数列；
（2）若是和的等差中项，设，求数列的前n项和为．
18．（12分）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划6月1日选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲选择“共享单车”的概率为，乙选择“共享单车”的概率为，丙选择“共享单车”的概率为．
（1）若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
（2）记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为X，求X的分布列与数学期望．
19．（12分）如图，三棱柱所有棱长都为2，，D为与交点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
20．（12分）已知椭圆与抛物线有四个公共点A、B、C、D，分别位于第一、二、三、四象限内．
（1）求实数a的取值范围；
（2）直线、与y轴分别交于M、N两点，求的取值集合．
21．（12分）（1）讨论函数在区间内的单调性；
（2）存在，，满足，且．
ⅰ）证明：；
ⅱ）若，证明：．（参考数据：）
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知，动直线l的参数方程为（t为参数，）．
（1）写出C在直角坐标系下的普通方程；
（2）若直线l与曲线C有两个公共点A和B，线段上一点K满足，以为参数写出K轨迹的参数方程．
23．（10分）选修：不等式选讲
已知，且．
（1）求的最小值m；
（2）证明：．
数学（理）参考答案
一、选择题
5．提示：曲线关于的对称曲线为，即，与对比系数可知，故．
10．提示：如图，设上、下底面边长分别为a，b，内切球半径为r，过内切球球心作轴截面，利用射影定理，可得，即，B选项满足题设．
11．提示：对于在上单调递增，可得，即，有，结合单调性，可知，仅需限定，又考虑，则有，故满足“必要条件”；但当时，对于，无法成立，故不满足“充分条件”．
12．提示：如图，设的最小角为，利用特征可知，，其中H为垂足，则有，取等条件为，故．
二、填空题
13．14．15．16．
16．提示：设相异三点到M的距离为d，可知函数至少有3个零点，，令，，在，，符号正负正，对应增减增，为满足题设，符号必须负正负正，即，此时，这样才有减增减增，其图象为W型，有3或4个零点．
三、解答题
17．解：（1）对①，当时，有②，
：，即，（2分）
经整理，可得，（4分）
故是以为首项、为公比的等比数列．（5分）
（2）由（1）知，有，，
题设知，即，则，故．（7分）
而，（9分）
故（12分）
18．解：（1）记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件A，B，C，记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件D，
则，
又，（3分）
所以，
即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为．（5分）
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，（9分）
所以X的分布列为
故，
即X的数学期望为．（12分）
19．解：（1）取中点O，取中点E，连接，，，
因为三棱柱所有棱长都为2，，
有，，E为的中点，四点共面，
所以，且，，，平面，，
即平面，又平面，故平面平面．（5分）
（2）因为，所以平面，平面，
所以，所以为直角三角形，所以，
所以，在中，．（6分）
以O为原点，作平面，以，，方向为x，y，z轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
由，所以，所以，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，解得，所以平面的一个法向量为，（10分）
记二面角的大小为，且为锐角，
则，
即二面角的平面角的余弦值为．（12分）
20．解：（1）由椭圆及抛物线的对称性，知A与B、C与D关于y轴对称，设其纵坐标分别为、，联立与，消x，得①，
其两根即、，由题设知解得．（4分）
（2）设直线，
若l表示，联立与，消x，得②，
其两根也是、，故方程①与②为同解方程，有，即③，
亦有，即④，（8分）
③与④相加，可得，有，，
考虑到M在内部，取；
若l表示，且N在外部，类上可得，即，
故的取值集合为．（12分）
（亦可用、以点参形式直接表示直线与，可得到）
21．解：（1），
令，有，
而当，，则单增，有，
即，则在区间内单调递增．（4分）
（2）ⅰ）由，可令得，
设，，
当时，，单增；当时，，单减．
由题设知，且，则有，，．
若时，则；（6分）
若，设，易知其在内有两零点和，其中，，而关于对称，且有．由在单增，知，有；由在单减，知，有，则，即．（8分）
（证明亦可利用，）
ⅱ）由，得，利用正弦和差角公式，经过化切后得，
再整理可得，（10分）
由题设知，利用（1）结论有，
则，由ⅰ）知，即，
综上，．（12分）
22．解：（1）由得，即，
整理可得，而，图形分析可知，
故C在直角坐标系下的普通方程为．（4分）
（2）将代入，消去x，y，整理得，
，考虑到，由图形可知，为锐角且满足，
由韦达定理及题设可知，考虑点K在线段上，，
则点K的坐标为，（8分）
故K轨迹的参数方程为（为参数，），
其中锐角满足．（10分）
23．解：（1）由均值不等式可知，即，
整理得，故的最小值为4，取最值条件为．（4分）
（2）由（1）知即证，由可得，
即有，
由柯西不等式可知，
取等条件为，即．故．（10分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
A
D
D
D
B
D
C
B
B
B
X
0
1
2
3
P