山西省大同市灵丘豪洋中学2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试卷

这是一份山西省大同市灵丘豪洋中学2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试卷，共11页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围，的展开式中项的系数为，某调研小组有6名调研员等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，必修第二册统计概率部分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
2．下表为2019年~2024年第一季度中国GDP同比增速（单位：）（同比增速为与上年同期对比的增速），
则同比增速中的6个数据的分位数为（ ）
A．4.64 B．4.95 C．5.3 D．11.65
3．若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ）
A．10，12 B．10，14 C．4，3 D．6，3
4．在某次物理测评中，学生的成绩X服从正态分布，若参加物理测评的学生有500人，则测评成绩在60分至90分之间的学生约有（ ）
参考数据：若，则，．
A．341人 B．409人 C．460人 D．477人
5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中依次取出3个不同数字a，b，c，若a，b，c成等差数列，则不同的取法种数为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
6．的展开式中项的系数为（ ）
A．112 B．136 C．184 D．236
7．甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某调研小组有6名调研员（A，B，C，D，E，F），现安排这6名调研员去三个影院调研国产电影的观影评论，每个影院至少安排一人，至多安排三人，且C，D两人安排在同一个影院，E，F两人不安排在同一个影院，则不同的分配方法总数为（ ）
A．84 B．90 C．96 D．120
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知某地10月份第x天的平均气温为y（单位：），x，y线性相关，由x，y的前7天样本数据求得的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．x，y负相关
B．第8天的平均气温为
C．前7天平均气温的平均数为
D．若剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点，则相关系数变大
l0．甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasic、VisualC++、VisualFxpr三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC++编程语言”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C不是互斥事件
C． D．
11．甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知随机变量X的分布列，则___________．
13．给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有红、黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则测不同的涂色方法有___________种．
14．“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G．Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，利用“算两次”原理可得___________．（结果用组合数表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
随着新冠肺炎疫情的阴霾逐渐消散，国内旅游行业迎来了发展机遇．飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气，航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况．某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）若某航班飞机晚点，试估算旅客的投诉次数．
参考公式：．
16．（本小题满分15分）
某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的．
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联？
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：（其中）．
参考数据
17．（本小题满分15分）
随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在50~100分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司．
（1）求这200户居民本次问卷评分的中位数；
（2）若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率．
18．（本小题满分17分）
学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下，
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大
19．（本小题满分17分）
2024年3月28日，小米SU7汽车上市，对电动汽车市场产生了重大影响，某品牌电动汽车采取抽奖促销活动，每位顾客只能参加一次．抽奖活动规则如下：在一个不透明的口袋中装有n个球，其中有4个黑球，其余都是白球，这些球除颜色外全部相同，顾客将口袋中的球随机地逐个取出，并放入编号为1，2，3，…，n的纸盒内，其中第k次取出的球放入编号为k的纸盒．若编号为1，2，3，4的纸盒中有4个黑球，则获得优惠券10000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有3个黑球，则获得优惠券5000元；若编号为1，2，3，4的纸盒中有2个黑球，则获得优惠券1000元；其他情况不获得优惠券．
（1）已知，顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动，求顾客甲获得优惠券的概率；
（2）设随机变量X表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数，证明：X的期望小于？
2023-2024学年高二5月质量检测卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 因为，所以．故选D．
2．C 将6个数据从小到大排列为，4.5，4.6，5.3，6.3，18.7，又，故这组数据的分位数为第4个数，为5.3．故选C．
3．A 若一组数据的平均数为4，方差为3，则数据的平均数和方差分别是10，12．故选A．
4．B 由题意知，所以，故符合条件的学生人数约为．故选B．
5．C 若取出的3个数a，b，c成等差数列，则a与c同为偶数或同为奇数，所以a，b，c的不同的取法种数为．故选C．
6．B 的展开式的通项为，要得到项，必有，所以，所以，或．当时，，而展开式中的项为，故中项的系数为；当时，，而中的常数项为1，故中项的系数为，所以所求项的系数为．故选B．
7．D 记第i次出拳是平局为事件，则，记第7次出拳后停止游戏为事件A，则，所以．故选D．
8．A 第一种分配方式为每个影院各两人，则AE一组，BF一组，或BE一组，AF一组，有2种分组方式，再三组人，三个影院进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个影院1人，一个影院2人，一个影院3人，当CD两人一组去一个影院，则剩下的4人中1人为一组，3人为一组，则必有E或F为一组，有种分配方法，再三个影院，三组人，进行排列，有种分配方法；当CD加上另一人去一个影院，若选择的是E或F，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将三个影院，三组人，进行排列，有种分配方法；若选择的不是E或F，即从A或B中选择1人和CD一起，有种分配方法，再将EF和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个影院，三组人，进行排列，有种分配方法，综上，共有种不同的分配方式．故选A．
9．AC 因为，所以A正确；第8天的平均气温的预测值为，但实际值不一定是，B错误；由，及在经验回归直线上，得，C正确；因为x，y负相关，所以相关系数，剔除偏离经验回归直线最大的一个异常点后，变大，但r变小，D错误．故选AC．
10．BCD 4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案，甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC++编程语言，各有种方案，；甲、乙均学习VisualBasic编程语言，种方案，；甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC++编程语言，有种方案，．对于A，事件A与B不相互独立，故A错误；对于B，事件A与C不是互斥事件，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确．故选BCD．
11．ABC X表示交换后甲盒子中的蓝球数，Y表示交换后乙盒子中的蓝球数，当时，则，所以，故A正确，B正确；当时，，，所以，，故C正确，D错误．故选ABC．
12． 由分布列的性质知，所以．
13．84 由题意可知：四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜色，所以分以下三类：当涂两种颜色时：A和C相同，B和D相同，共有种涂色方法；当涂三种颜色时：分A和C相同和A，C不同两种情况，此时共有种涂色方法；当涂四种颜色时：四个区域各涂一种，此时共有种涂色方法．综上，不同的涂色方法有种．
14． 因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为，所以．
15．解：（1）， 2分
， 4分
， 6分
， 8分
， 10分
所以y关于x的线性回归方程是． 11分
（2）当时，，
所以旅客的投诉次数约为11次． 13分
16．解：（1）由题意得如下列联表：
零假设：顾客的单次消费是否超过100元与性别无关联，
由列联表中的数据，计算得，
故依据小概率值的独立性检验，能认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联． 6分
（2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取的7人中，
女性有人， 7分
所以X的可能取值为0，1，2，3，
则 9分
， 11分
故X的分布列为
所以．
17．解：（1）由图知，，解得． 1分
评分在的频率为；
评分在的频率为，故中位数在之间． 2分
设这200户居民本次问卷评分的中位数为x，
则， 4分
解得，
故这200户居民本次问卷评分的中位数为． 5分
（2）由图知，评分在的频率为， 6分
故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 7分
估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户． 9分
（3）由（1）知，评分在的频数为，
评分在的频数为． 10分
按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户，则评分在内被抽取户，评分在内被抽取户． 12分
从中任意选取2户，有种选法， 13分
其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有种， 14分
这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率． 15分
18．解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
（1）．
所以摸球一次就试验结束的概率为 4分
（2）①因为是对立事件，， 6分
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为． 10分
②由①，得， 12分
所以方案一中取到白球的概率为
， 14分
方案二中取到白球的概率为
， 16分
因为，所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 17分
19．（1）解：设顾客甲获得的优惠券金额为Y元，“顾客甲获得优惠券”为事件A，
则， 3分
所以，
即顾客甲获得优惠券的概率为．
（2）证明：随机变量X的概率分布列为
8分
随机变量X的期望为． 10分
因为， 12分
所以， 13分
又，
所以， 15分
所以． 17分年份
2019
2020
2021
2022
2023
2024
同比增速
6.3
18.7
4.6
4.5
5.3
x
10
20
30
40
50
y
1
3
4
5
7
0.050
0.025
0.01
3.841
5.024
6.635
单次消费超过100元
单次消费不超过100元
合计
女性
15
25
40
男性
20
10
30
合计
35
35
70
X
0
1
2
3
P
X
…
…
P
…
…