上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题

这是一份上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题，共12页。试卷主要包含了05，; 2，A 14等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则______．
2．设复数z满足（i为虚数单位），则______．
3．已知，则______．
4．二项式的展开式中含项的系数是______．
5．无穷等比数列满足：，，则的各项和为______．
6．关于x的不等式的解集为______．
7．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，过的直线l与双曲线Γ的左、右两支分别交于点A、B．若为等边三角形，则的边长为______．
8．在复平面xOy内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子：①；②；③；④．其中恒成立的
是______．（写出所有恒成立式子的序号）
9．某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是______．
10．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是______．
11．若平面向量，，的模均在区间内，则的取值范围是______．
12．设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为______．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）
13．已知，直线：，：，则“”是“”的（ ）条件．
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充分必要 D.既非充分又非必要
14．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的是（ ）．
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
15．已知非空集合A，B同时满足以下两个条件：
①，；
②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则有序集合对的个数为（ ）．
A.4B.10C.12D.16
16．无穷数列满足：，且对任意的正整数n，均有，则下列说法正确的是（ ）．
A.数列为严格减数列B.存在正整数n，使得
C.数列中存在某一项为最大项D.存在正整数n，使得
三、解答题（本大题共5题，满分78分）．
17．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值．
18．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题8分，第2小题6分．
甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．
（1）经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布和期望；
（2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．
19．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．
如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是菱形，，FA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，．
（1）在线段AF上是否存在一点G，使得平面平面CEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
（1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
（2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
（3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设（其中a是非零常数，e是自然对数的底），记．
（1）求对任意实数x，都有成立的最小整数n的值；
（2）设，若对任意正整数，函数都存在极值点．求证：点在一条定直线上，并求出该直线方程；
（3）是否存在正整数和实数，使，且对于任意正整数n，函数至多有一个极值点？若存在，求出所有满足条件的k和；若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.②③; 9.; 10.； 11. 12.
11．若平面向量，，的模均在区间内，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】.等号成立当且仅当，取边长为的等腰,其中.令即可.
又.取,等号成立.故答案为
12．设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为______．
【答案】
【解析】设第个正解,则的正解从小到大排列为
由得,
数列是无穷等差数列,
当时,,当时,
解得,
为正整数,且.故答案为:.
二、选择题
13.A 14. 15.B 16.D
15．已知非空集合A，B同时满足以下两个条件：
①，；
②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则有序集合对的个数为（ ）．
A.4B.10C.12D.16
【答案】B
【解析】若集合中有1个元素,则集合中有5个元素,则,
即,此时有,
若集合中有2个元素,则集合中有4个元素,则,
即,此时有,
若集合中有3个元素,则集合中有3个元素,则,不满足题意,
若集合中有4个元素,则集合中有2个元素,则,
即,此时有,
若集合中有5个元素,则集合中有1个元素,则,
即,此时有,
故有序集合对的个数是，故选B.
三、解答题
17．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由，可得，
所以，即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）由（1）知，是直角三角形，且，可得，，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为．
18．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）由题意得，，X的取值可能为0，1，2，3，
则，，
，．
所以X的分布为因为，所以X的期望．
（2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：
甲获胜2局，甲获胜3局，所以所求概率为．
19．【答案】（1）存在，G为AF的中点 （2）
【解析】（1）线段AF上存在一点G，使得平面平面CEF，且G为AF的中点．
理由如下：如图，设G为AF的中点，连接GE，
因为FA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，所以，
即，又，所以，
所以四边形DEFG是平行四边形，所以，
因为平面CEF，平面CEF，所以平面CEF；
又，，所以四边形GADE是平行四边形，
所以，，又，，所以，，
所以四边形BCEG是平行四边形，所以，
因为平面CEF，平面CEF，所以平面CEF；
又，BG，平面BDG，所以平面平面CEF．
（2）连接AC，设AC与BD相交于点O，因为四边形ABCD是菱形，所以．
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且与AF平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，，．
设是平面BCF的法向量，则，即，
取，则，，故．
设是平面CEF的法向量，
则，即，
故，取，则，故．
所以，
由图易知二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
（1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
（2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
（3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1） （2）， （3）
【解析】（1）
（2），
（3）设，，则，直线AP：，即；直线BQ：，即．
由得
所以即，则
同理，
由对称性知，若过定点，则定点在y轴上．
取，得，则直线PQ：，过．
下证明直线PQ恒过定点为．
由且得
所以直线PQ恒过定点为．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设（其中a是非零常数，e是自然对数的底），记．
（1）求对任意实数x，都有成立的最小整数n的值；
（2）设，若对任意正整数，函数都存在极值点．求证：点在一条定直线上，并求出该直线方程；
（3）是否存在正整数和实数，使，且对于任意正整数n，函数至多有一个极值点？若存在，求出所有满足条件的k和；若不存在，说明理由．
【答案】（1）5 （2）见解析 （3）存在，，．
【解析】（1），，，
当时，，n最小值为5．
（2），，所以．
，所以点在直线上．
（3）当时，，因此若存在，则或．
另一方面，关于a的取值，易知当时，无极值点，至多只有一个极值点，因此只需保证至多一个极值点，即至多只有一个零点．
①若，则，，解得，．
此时得，即在严格增，上严格减，
因此，即，即严格减，没有极值点，符合题意．
②若，则，，解得，．
此时得，即在严格增，严格减，因此，而，
且，因此函数在和中有两个零点，且在两个零点附近正负性不同，因此有两个极值点，舍去．
综上，存在，，．