浙江省金华第一中学2024届高三领军班下学期6月模拟数学试题

这是一份浙江省金华第一中学2024届高三领军班下学期6月模拟数学试题，共12页。试卷主要包含了若复数满足，则，已知点在拋物线上，为的焦点，则，两圆与的公共弦长为，已知函数，若成等差数列，且，则，满足的正整数的最小值为，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.若复数满足，则（ ）
A.1 B. C. D.2
2.已知点在拋物线上，为的焦点，则（ ）
A. B.2 C.3 D.
3.设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则（ ）
A. B.
C. D.
4.两圆与的公共弦长为（ ）
A. B. C. D.1
5.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布.
A.82 B.78 C.74 D.70
6.已知函数，若成等差数列，且，则（ ）
A.0 B. C. D.
7.满足的正整数的最小值为（ ）
A.12 B.13 C.17 D.18
8.已知正方形的边长为分别是边上的点（均不与端点重合），记的面积分别为.若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.是偶函数 B.的最小正周期为
C.的最大值为4 D.的最小值为0
10.某数学建模活动小组在开展“空中不可到达两点的测距问题”探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定之间的距离的有（ ）
A. B.
C. D.
11.已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A.直线过定点 B.为定值
C.的最大值为2 D.的最小值为4
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设集合，若，则实数的取值范围为__________.
13.已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为__________（用数字作答）.
14.称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为__________，棱切球的半径为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
16.（15分）
如图，在三棱台中，上下底面分别是边长为2和4的正三角形，平面.设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高.
17.（15分）
已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，求点的坐标.
18.（17分）
盒中有标记数字的小球各1个.
（1）随机一次取出3个小球，求3个小球上的数字之和大于10的概率；
（2）随机一次取出1个小球并记录下小球上的数字，重复以上操作，直到记录下的数字中同时出现1和2或者同时出现3和4.记操作的次数为.
（i）若每次操作后不将取出的小球放回盒中，求的分布列及数学期望；
（ii）若每次操作后将取出的小球放回盒中，求的数学期望.
19.（17分）
设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，
①均有，则记；
②均有，则记.
（1）设，求；
（2）设.若对于任意，均有，求的取值范围；
（3）已知对于任意⫋与均存在.证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的⫋与中至少一个成立”.
2024届领军班数学模拟试卷参考答案
1-8ABBBBCDD 9.ABD 10.CD 11.BC
7.【详解】则，即，则，
化简可得：，当时，，当时，，故不等式成立的最小正整数为18.
8.【详解】设，则，，
由平面向量数量积的运算可得：
，，
又，所以，即，即，当且仅当时取等，
又，即，即，则.
10.【详解】记，.
先从C入手：已知，在中，由，可确定；
同理，在中，可确定；
在中，由及余弦定理，可确定，故C正确；
再考察D：已知，在中，由及余弦定理，可确定；
在中，由，可确定；同理，在中，可确定，
由，①
可确定，故D正确；
对于A：已知，可确定，
在中，已知，解三角形知可能有两解，
例如若，则，解得或2，
代入①使也有两个值，故A错误；
对于B：已知，同，可确定，
在中，由勾股定理，得，
在中，由余弦定理，得，②
联立①､②，得，
解此关于的二元方程组，可得，但此二元二次方程组可能有两解，
例如若，得
解得或，故B错误.
12. 13.1280
14.；
首先根据切线长公式，不难发现该四面体的对棱长度之和相等，于是，则它是一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥.设在底面的投影为，则是底面三角形的中心，则，则该四面体的高，而底面三角形的面积为，则四面体的体积为.
另一方面，设棱切球的球心为，则在线段上，再假设棱切球的半径为，则，过向作垂线，垂足为，则，再根据相似三角形可以得出，于是，结合，以及，可以解得：.
15.（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
16.（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又，所以，
因为，所以，
又，且平面平面，
所以平面.
（2）以为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为.
17.（1）因为双曲线实轴长为，故的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
（2）设则，不防设Q到直线.离为：
，同理，
所以①
又因为②，
由①②解得或，
当时，解得，
又，则，解得，
同理有或或，
所以存在点或或或满足.
18.（1）
（2）
（3）
19.[解]（1）因为，故在上为严格增函数，
因此.
（2）因为，而，
因为，故是在处的切线
而存在极值点，而，可得到如下情况：
情况一：当时，此时，此时，不符题意舍去.
情况二：当时，此时与在上均为严格增函数，
因此当时，恒成立，因此，
而在上成立，进而，故.
（3）先证明必要性：若为上的严格增函数，则任取，，因为，
所以或或或，因为为上的严格增函数，所以可得：
或或或，所以不难可得：，所以或成立.
同时对为上的严格减函数，同理可证.
下面证明充分性：当与其中一式成立时，不可能为常值函数，先任取，总有或，
假设存在，使得，记，
则，因为存在，则或，不妨设，则，否则当，此时，矛盾，进而可得，则，因此①.
最后证明为上的严格减函数，任取，需考虑如下情况：
情况一：若，则，否则，
记，则，
，同理若，
所以，根据①可得：.
情况二：若，则，否则，
，由此矛盾，因为，同情况一可得矛盾，
因此.
情况三：若，同上述可得，，
所以.
情况四：若，同上述可得，.
情况五情况七同情况一情况四可知，可证明恒成立.
（为上的严格增函数同理可证）2
3
4
5
极小值
极大值