2024年广东省广州市白云中学高考数学零模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年广东省广州市白云中学高考数学零模试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若角α的终边过点(3,1)，则sin(α+π2)=( )
A. 3 1010B. −3 1010C. 1010D. − 1010
2.已知i为虚数单位，若z=2i1+i，则z⋅z−=( )
A. −2B. 2C. −2iD. 2i
3.若集合A={x|lnx>1,x∈N*}，集合B={x|x2−6x−71(2a−1)x+4a,x≤1在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0,16]C. [16,+∞)D. [16,12)
5.已知a，b是夹角为120∘的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
6.已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2=2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为( )
A. 28π3B. 40π3C. 56π3D. 112π3
7.由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为{an}，即a1=0，a2=2，a3=4，…，若an=2024，则n=( )
A. 34B. 33C. 32D. 30
8.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|=|AF1|，且双曲线E的离心率为 2，则cs∠BAF1=( )
A. −3 78B. −34C. 18D. −18
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的( )
A. 众数为12B. 平均数为14C. 中位数为14.5D. 第85百分位数为16
10.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，以下说法正确的是( )
A. an=8n−6
B. 当k=3时，bn=2n
C. 当k=3时，b29不是数列{an}中的项
D. 若b9是数列{an}中的项，则k的值可能为7
11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内.若点M在四边形BCDE内(包含边界)运动，N为AE的中点，则( )
A. 当M为DE的中点时，异面直线MN与CF所成角为π3
B. 当MN//平面ACD时，点M的轨迹长度为2 2
C. 当MA⊥ME时，点M到BC的距离可能为 3
D. 存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0)，设曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处切线的斜率为ki(i=1,2,3)，若x1，x2，x3均不相等，且k2=−2，则k1+4k3的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=4，S4=20，且{Snn}为等差数列.
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)若数列{bn}满足b1=6，且bn+1bn=anan+2，设Tn为数列{bn}的前n项和，集合M={Tn|Tn∈N*}，求M(用列举法表示).
16.(本小题15分)
多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM=2MP，AD=AP，∠PAD=120∘.
(1)求证：BD⊥平面ACM；
(2)若∠ADC=60∘，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值.
18.(本小题15分)
已知函数f(x)=a(x−1)ex+1−2xlnx−x2(a∈R).
(1)当a=0时，求函数f(x)在区间[e−2,1]上的最小值；
(2)讨论函数f(x)的极值点个数；
(3)当函数f(x)无极值点时，求证：asin12a> 2π.
19.(本小题17分)
已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线x=n2m的距离的比为常数mn，其中m>0，n>0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点B(−m,0)，若曲线C.上两动点M，N均在x轴上方，AM//BN，且AN与BM相交于点Q.
(i)当m=2 2，n=4时，求证：1|AM|+1|BN|的值及△ABQ的周长均为定值；
(ii)当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得S=λr恒成立？若存在，求λ(用m，n表示)；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：角α的终边过点(3,1)，则csα=3 32+12=3 10=3 1010，
sin(α+π2)=csα=3 1010.
故选：A.
根据任意角三角函数定义计算即可．
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，
则z⋅z−=(1+i)(1−i)=2.
故选：B.
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x>e,x∈N*}，B={x|−1