【新结构】（柳州三模）广西壮族自治区柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题（含详细答案解析）

这是一份【新结构】（柳州三模）广西壮族自治区柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A. 70%B. 60%C. 50%D. 40%
2.已知i是虚数单位，若(1+i)(a+i)为实数，则实数a的值为( )
A. 1B. −2C. 0D. −1
3.已知AB=(2,3)，AC=(3,t)，|BC|=1，则AB⋅BC=( )
A. −3B. −2C. 2D. 3
4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.1
5.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A. 60种B. 48种C. 30种D. 10种
6.已知P，A，B，C是半径为2的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 34，则三棱锥P−ABC体积的最大值为( )
A. 3 34B. 9 34C. 3 3D. 15 34
7.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2+bx−c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1,x2)( )
A. 必在圆x2+y2=2内B. 必在圆x2+y2=2上
C. 必在圆x2+y2=2外D. 与圆x2+y2=2的关系与e有关
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意的x，y∈R，都有|f(x)−f(y)|0B. ln(a−b)>0C. ea−b>1D. |a|−|b|>0
10.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应).若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中恒成立的是( )
A. (a*b)*a=aB. [a*(b*a)]*(a*b)=a
C. b*(b*b)=bD. (a*b)*[b*(a*b)]=b
11.正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )
A. 当λ=0，μ=1时，AP与平面ABC所成角为π4
B. 当λ=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
C. 当λ=1，μ=12时，平面AB1P⊥平面A1AB
D. 若|AP|=1，则点P的轨迹长度为π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若f(x)=asin(x+π4)+3sin(x−π4)是偶函数，则a=__________.
13.已知过原点O的一条直线l与圆C(x+2)2+y2=3相切，且l与抛物线y2=2px(p>0)交于O，P两点，若|OP|=4，则p=__________.
14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=2π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2，则a+4c的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB=PA，F是PB中点.
(1)求证：AF⊥平面PBC;
(2)求二面角P−AC−F的余弦值.
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足：a1+3a2+⋯+3n−1an=n⋅3n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Tm.
17.(本小题15分)
某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)，如下表所示：
附：参考公式：，a=y−bx，
参考数据：y=16i=16yi=80，i=16xiyi=1606，i=16xi2=91
(1)求p的值;
(2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(百元)的线性回归方程y=bx+a(计算结果精确到整数位);
(3)用yi表示用正确的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值.当销售数据(xi,yi)的残差的绝对值|yi−yi|0，g(x)