湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集，，则集合( )
A.B.
C.D.
2．已知R上的函数，则“”是“函数为奇函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点( )
A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
4．函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
5．已知实数a，b，满足恒成立，则的最小值为( )
A.2B.0C.1D.4
6．已知，且，则( )
A.B.C.D.
7．已知函数，正实数a，b满足，则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知,,,则以下关于a,b,c的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设a,b,c,d为实数,且,则( )
A.B.C.D.
10．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的有( )
A.若，则函数至少有一个零点
B.存在实数a，k，使得函数无零点
C.若，则不存在实数k，使得函数有三个零点
D.对任意实数a，总存在实数k，使得函数有两个零点
11．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深(单位：m)与时间t(单位：h)从时的关系可近似地用函数(，，)来表示，函数的图象如图所示，则( )
A.
B.函数的图象关于点对称
C.当时，水深度达到
D.已知函数的定义域为，有2个零点，，则
三、填空题
12．已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为______.
13．若，，则________．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.当的周长为2时，则的大小为______.
四、解答题
15．已知集合，.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
16．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值.
17．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：分钟)之间的关系为.
（1）求A，，，K的值；
（2）求盛水筒W出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
（3）某时刻(单位：分钟)时，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，到水面的距离为5米，再经过分钟后，盛水筒W是否在水中？
18．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意，不等式都成立，求实数s的最大值.
19．已知e是自然对数的底数，．
（1）判断函数在上的单调性并证明你的判断是正确的；
（2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1．答案：C
解析：，
且，则集合N中不包含元素1，3，5，7，
即.
故选：C
2．答案：B
解析：取，，则，但，，
即，所以函数不是奇函数，故充分性不满足；
若函数为奇函数，则，即，故必要性满足；
所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件.
故选：B
3．答案：A
解析：将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，
纵坐标不变，得到函数的图象．
故选：A．
4．答案：C
解析：函数的定义域为，故排除D选项；
令，即或，
所以函数有两个零点1，-1，
当时，，则，，
则，故排除AB选项；
当时，，则，，
则；
当时，，，
则；
当时，，，
则.
所以函数的图象可能是C选项.
故选：C.
5．答案：A
解析：，所以，因为函数单调递增，所以，即.
故选：A．
6．答案：D
解析：且，所以，
所以
故选：D.
7．答案：B
解析：易知函数定义域为R，且
，
所以为R上的奇函数，有，
由复合函数的单调性可知单调递增，
由，得，即，
因为a，b为正实数，则有，而，
当且仅当，即时等号成立，所以，则的最大值为.
故选：B.
8．答案：D
解析：由,令,则在定义域内单调性递增,且,,
由零点存在性定理可得,
,
又,因此,
,可得,
,,
,
,,,
.
故选:D
9．答案：AD
解析：由可得,,A正确;
,,,时,,B不正确;
,,,时,,C不正确;
因为,所以,,,所以,所以,D正确;
故选:AD.
10．答案：ABD
解析：A中，当时，函数，
令，可得，
在同一坐标系中作出，的图象，
如图所示，
由图象及直线过定点，可得函数至少一个零点，故A正确；
B中，当，时，作出函数的图象，
由图象知，函数没有零点，所以B正确；
C中，当，时，在同一坐标系中，作出函数，的图象，
如图所示，由图象可得，此时函数有3个零点，所以C错误；
D中，分别作出当，，时，函数，的图象，
由图象知，对于任意实数a，总存在实数k使得函数有两个零点，所以D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：对A，由图知，，，，
的最小正周期，，
，，解得：，
又，，，故A正确；
对B，令，，解得，，
当时，，
则，
则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，
则，令，则根据图象知两零点，关于直线，
则，即，则，
则，故D正确
故选：ACD.
12．答案：
解析：设圆心角的弧度数为，
则，解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，则，，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：设，，则，，
则，，，
即，
将上式两边平方，整理得，即，
因为，所以，所以.
故答案为：.
15．答案：（1）；（2）.
解析：（1），，，
.
（2）当时，，即成立；
当时，成立.
综上所述，．
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1），
，
所以最小正周期；
（2）由，得，
因为，，
所以，
所以，
.
17．答案：（1），，，；（2）分钟；（3）再经过分钟后盛水筒不在水中.
解析：（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为4米，筒车的轴心O距水面的高度为2米，可得：，，
当时，，代入得，，
因为，所以；
（2）由（1）知：，
盛水筒达到最高点时，，
当时，，所以，
所以，，解得，，
因为，所以，当时，，
所以盛水筒出水后至少经过分钟就可达到最高点；
（3）由题知：，即，
由题意，盛水筒W在过O点的竖直直线的左侧，知，
所以，
所以，
所以，再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒不在水中.
18．答案：（1）18.不是“依赖函数”；（2）
解析：（1）对于函数的定义域R内存在，而无解，故不是“依赖函数”.
（2）①若，故，
在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故，在上单调递减，
从而，解得（舍）或.
从而存在使得对任意的，有不等式都成立，
即对恒成立，则，得，
由存在，使能成立，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数s的最大值为.
19．答案：（1）函数在上单调递增，证明见解析；
（2）
解析：（1）函数在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
因为，，且，所以，
所以，，，
故，即，
所以在上单调递增.
（2），
问题即为恒成立，显然，
首先对任意成立，即
因为，则，所以.
其次，，即为，
即成立，亦即成立，
因为，所以对于任意成立，
即，所以.