泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月第二次调研测试数学试卷(含答案)

这是一份泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月第二次调研测试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．复数Z满足（i是虚数单位）,则在复平面内Z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．在中,已知,,则( )
A.B.2C.D.
3．已知点在角的终边上,则的值为( )
A.B.-2C.D.2
4．设D为所在平面内一点,则( )
A.B.
C.D.
5．已知平面，，，，则“”是“且”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，.若，，则( )
A.B.C.2D.3
7．已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则( )
A.B.C.D.
8．如图所示,在梯形中,,点E是上一点,,,的面积为,则的长为( )
A.B.C.8D.
二、多项选择题
9．如图（1），在矩形ABCD中，，E是CD的中点，沿AE将折起，使点D到达点P的位置，并满足，如图（2），则( )
A.平面平面PBEB.平面平面PBE
C.平面平面ABCED.平面平面ABCE
10．下列说法中正确的是( )
A.向是,能作为平面内所有向量的一组基底
B.
C.两个非零向量,,若,则与共线且反向
D.若,且与的夹角为锐角,则
11．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,则( )
A.若,则B.若,则
C.面积的最大值为D.周长的最大值为
三、填空题
12．如图所示,在三棱锥中,若,,E是的中点,则平面与平面的关系是__________.
13．中,角A的平分线交边于点D,,,则角平分线的长为__________.
14．已知锐角中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,,则的取值范围是__________.
四、解答题
15．设复数,其中i为虚数单位,.
（1）若Z是纯虚数,求实数a的值;
（2）在复平面内表示复数Z的点位于第四象限,求实数a的取值范围.
16．如图,在四棱锥中,已知底面为矩形,平面,E为棱的中点,连接,,.求证：
（1）平面;
（2）平面平面.
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,.
（1）证明：为等腰三角形.
（2）若D是边的中点,,求的面积.
18．如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,侧面底面,M是的中点.
（1）求证：平面;
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值;
（3）在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在,求出,如果不存在,说明理由.
19．已知,在斜三角形中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
（1）求的大小;
（2）若,求的最小值;
（3）若,求A,B的大小.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得,
复数Z在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.
故选：B.
2．答案：C
解析：由,,得,
又,由正弦定理,得,
所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：由已知,.
故选：A.
4．答案：A
解析：如图,由可知,点在线段的延长线上,由图可得,
.
故选：A.
5．答案：C
解析：由于，所以，，
若，则，，故充分性成立，
若，，设，，
则存在直线使得，所以，由于，故，
同理存在直线使得，所以，由于，故，
由于a，b不平行，所以a，b是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，
故选：C.
6．答案：D
解析：由题意知中，，，故，
故，（R为外接圆半径），
故，
故选：D.
7．答案：C
解析：易知，
由二次函数的单调性可知时上式取得最小值，
即
所以.
故选：C
8．答案：A
解析：由题意,设,,则,
可得,整理得,
又由,即,
联立可得,联立方程组,解得,,
所以.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：因为，，且，所以平面PBE.又平面，平面PAE，所以平面平面PBE，平面平面PBE，故A，B正确.如图（1），取AB的中点F，连接DF，交AE于点G.易知.如图（2），连接PF.因为，，所以为二面角的平面角.设，则.在中，，F为AB的中点，故.所以，所以，所以平面平面ABCE，则平面PAB与平面ABCE不垂直，故C错误，D正确.选ABD.
10．答案：BC
解析：对于A：因为,所以,不能作为平面内的一组基底,故A错误;
对于B,故B正确;
对于C,因为,所以,
所以有,所以,即,所以,共线且反向,即C正确;
对于D：已知,,则,
所以：,且和不共线.
即,且
解得且,故D错误;
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：对于A,若,又,,由正弦定理得,故A错误;
对于B,由题意,由正弦定理得,故B正确;
对于C,由余弦定理得,,所以,当且仅当时取等号,
所以,
所以面积的最大值为,故C正确;
对于D,由,,及余弦定理得,
,所以,
当且仅当时取等号,
所以的周长,
所以周长的最大值为,故D正确.
故选：BCD
12．答案：垂直
解析：因为,,E是的中点,
所以由等腰三角形三线合一可知,,
又,平面,平面,
平面.
又平面,
平面平面.
故答案为：垂直.
13．答案：
解析：依题意,设,
由,可得,,
解得：.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,且,故,
设三角形外接圆半径为R,由正弦定理得：,
故
.
因为是锐角三角形,故,且,故,
即,又,
令锐角满足,故,,且,
故在上单调递增,在上单调递减,
故时,取得最大值.
又时,,
又当时,,
故的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）若Z是纯虚数,则,
解得.
（2）由题意知,解得,
所以实数a的取值范围为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）连接,交于点F,连接,
因为底面为矩形,所以F为的中点,
又E为的中点,所以,
因为平面,平面,
故平面;
（2）平面,平面,
,
底面为矩形,
.
又,,平面,
平面.
又平面,
平面平面.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为,由正弦定理得,,
因为,由余弦定理得,
代入,化简可得,
所以为等腰三角形.
（2）由题可知,因为D是边的中点,,
在和中,利用余弦定理的推论得
代入,,可得,
由得,
则的面积
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）存在,
解析：（1）因为侧面是正三角形,M是的中点,
所以,
因为,面面,面面,面,
所以面,
又面,所以,
又,,平面,
所以平面;
（2）取的中点E,BC的中点F,连接,,,
则且,,
故,
因为面面,面面,面,
所以面,
因为,面,所以,,
又,,平面,所以平面,
又平面所以,
则即为侧面与底面所成二面角的平面角,
设,则,故,
所以,
即侧面与底面所成二面角的余弦值为;
（3）当面时,平面平面,证明如下：
如图,连接交于点,连接,
因为底面是正方形,所以,
由（2）得面,
因为面,所以,
因为面时,,所以,
又,,平面,
所以平面,
又平面,所以平面平面,
因为,所以,
因为,所以,
所以在棱上是否存在点N,当时,平面平面.
19．答案：答案：（1）
（2）
（3）,
解析：（1）因为,所以,
所以或,
因为且,所以或,
由为斜三角形知,（舍）,所以.
（2）由正弦定理：,所以,
又由,可得,
所以
,当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为.
（3）因为,所以,
所以,所以,
即,
整理得,
所以,
所以或,
因为A是钝角,所以,所以,所以.