2023-2024学年广东省深圳市平湖外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市平湖外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=(1−i)2(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A. −2B. 2C. −2iD. 2i
2.已知平面向量a=(1,2)，b=(m,−4)，且a//b，则a⋅b=( )
A. 4B. −6C. −10D. 10
3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+b2−c2=ab，则C=( )
A. π4B. π3C. 2π3D. 5π6
4.在△ABC中，B=45°,a=6,b=2 6，则A等于( )
A. 60°B. 60°或120°C. 120°D. 45°或135°
5.已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为( )
A. 55πB. 2 55πC. 2π3D. π3
6.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|=( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 12
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinB=bcsA，a2=(b−c)2+4，则△ABC的面积是( )
A. 1+ 2B. 2+ 2C. 2 2D. 2+2 2
8.中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为3 2的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. 36 6B. 42 6C. 108 6D. 126 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,−2)，b=(x,y)，c=b−a，下列结论正确的是( )
A. 若a//b，则y=−2x
B. 若a//b，则x=2y
C. 若a⊥b，x+y=3，则a在c上的投影向量为−12c
D. 若a⊥b，x+y=3，则a在c上的投影向量为− 102c
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A. 直线DD1与直线AF异面
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D. 三棱锥A−CEF的体积是正方体ABCD−A1B1C1D1体积的18
11.已知复数z1=2−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2−i|=1，则下列结论正确的是( )
A. 点P1的坐标为(2,−2)B. z1−=2+2i
C. |z2−z1|的最大值为 13+1D. |z2−z1|的最小值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，若A′C′=3，B′C′=2，则边AB的实际长度为______．
13.若1+i(i为虚数单位)是关于x的实系数一元二次方程x2+kx+2=0的一个虚根，则实数k= ______．
14.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cs∠EMF= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
复平面内表示复数z=(m2−2m−3)+(m−3)i(m∈R)的点为Z．
(1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数？并写出z的虚部；
(2)当点Z位于第四象限时，求实数m的取值范围；
(3)当点Z位于直线y=x上时，求实数m的值．
16.(本小题15分)
如图，已知圆锥的底面半径R=6，高h=8，过PO上一点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
(1)若圆柱的底面半径r=3，求剩余部分体积；
(2)试求圆柱侧面积的最大值．
17.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC/​/平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(1)求证：BC/​/AD；
(2)求证：CE/​/平面PAB．
18.(本小题17分)
如图，在锐角△ABC中，点D为BC边上一点，AD=3，且sinB=3 68，cs∠ADC=−14．
(1)求AB边的长；
(2)若点D为边BC的中点，求△ABC的面积；
(3)若AD为∠BAC的平分线，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
已知a1，a2是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作OA1=a1，OA2=a2，以O为原点，分别以射线OA1、OA2为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如图(1).我们把这个由基底a1，a2确定的坐标系xOy称为基底{a1,a2}坐标系xOy.当向量a1，a2不垂直时，坐标系xOy就是平面斜坐标系，简记为{O；a1,a2}.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对(x,y)，使得OP=xa1+ya2，则称实数对(x,y)为点P在斜坐标系{O；a1,a2}中的坐标．

今有斜坐标系{O；e1,e2}(长度单位为米，如图(2))，且|e1|=|e2|=1，〈e1,e2〉=120°，设Op=(1,2)
(1)计算|OP|的大小；
(2)质点甲在x上距O点4米的点A处，质点乙在y上距O点1米的点B处，现在甲沿x的方向，乙沿y的方向同时以3米/小时的速度移动．
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用e1，e2，表示CD；
②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=(1−i)2=1−2i+i2=−2i，故其虚部为−2．
故选：A．
利用复数乘法法则化简z，再求虚部即可．
本题考查了复数的乘法运算，复数虚部的定义，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：平面向量a=(1,2)，b=(m,−4)，且a//b，
∴1×(−4)=2m，
解得m=−2，
则a⋅b=1×(−2)+2×(−4)=−10，
故选：C．
先根据向量的共线求出m的值，再根据向量的数量积求出即可
本题考查了向量的坐标运算和向量的共线和向量的数量积公式，属于基础题
3.【答案】B
【解析】解：csC=a2+b2−c22ab=12，又C∈(0,π)，
解得C=π3．
故选：B．
根据余弦定理得到csC=12，求出答案．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，B=45°,a=6,b=2 6，
所以a>b，
由正弦定理，asinA=bsinB，
所以6sinA=2 6sin45°，则sinA= 32，
因为0°0)，
所以sin A=cs A，可得tan A=1，又0