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2023-2024学年云南师大附中呈贡校区九年级（下）月考数学试卷（五）（含解析）
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这是一份2023-2024学年云南师大附中呈贡校区九年级（下）月考数学试卷（五）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−12024的绝对值是( )
A. 12024B. −12024C. −2024D. 2024
2.袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径为0.0000084米，用科学记数法表示0.0000084=8.4×10n，则n为( )
A. −6B. −5C. 5D. 6
3.如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱柱
B. 长方体
C. 圆锥
D. 圆柱
4.已知点P(2,a)关于y轴的对称点为Q(b,−1)，则ab的值为( )
A. 2B. −1C. −2D. −3
5.有一组数据：2，5，0，3，5，则这组数据的众数是( )
A. 0B. 3C. 5D. 以上都不对
6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
7.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. (−3ab2)2=−6a2b4
C. a2÷a−4=a6D. (a−2b)2=a2+4b2
8.一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是( )
A. 88B. 80C. 44D. 40
9.反比例函数的图象经过点A(3,2)，下列各点在此反比例函数图象上的是( )
A. (−3,2)B. (3,−2)C. (−6,−1)D. (−1,6)
10.已知直线m//n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°B. 30°C. 15°D. 25°
11.某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是( )
A. 9B. 8C. 7D. 10
12.2023年成都大运会上，努力拼搏的不只有运动员们，在赛场外，到处都能看到志者们忙碌的身影，大批大学生报名参与志愿者服务工作，某大学计划组织本校学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位.设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是( )
A. 30x=y+525(x+3)=y−5B. 30x=y−525(x+3)=y+5
C. 30x=y25(x+3)=y+5D. 30x=y−525(x+3)=y−5
13.函数y=3x−2的自变量x的取值范围是( )
A. x>2B. x≠2C. x≥2D. x≠2且x≠0
14.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比i=1：2(即BC：CA=1：2)，则cs∠ABC=( )
A. 13B. 23C. 33D. 55
15.不等式组3x+7≥22x−9<1的非负整数解的个数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.因式分解：ay2−4a= ______．
17.为了了解某市20000名七年级学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取1000名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______．
18.如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED.若S△ABC=12，则S阴影= ______．
19.如图，母线长为4，底圆半径为1的圆锥，展开后得到扇形AOB，则阴影部分的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算： 8× 2−2sin60°−| 3−2|+(12)−2．
21.(本小题7分)
已知：如图，点E、F在CD上，且CE=DF，AE=BF，AE//BF．
求证：△AEC≌△BFD．
22.(本小题6分)
2023年全国教育工作会议的一大亮点，就是“要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书、读好书、善读书”.为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元.已知A图书的订购单价是B图书订购单价的2倍，并且订购A图书的数量比B图书的数量多5本.求A、B两种图书的单价分别是多少元？
23.(本小题7分)
小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3.游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
24.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=12AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为12，∠ABC=60°，求△ADE的面积．
25.(本小题8分)
一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)当售价为多少时，这一周该商场销售这种商品获得的利润最大，并求出最大值．
26.(本小题8分)
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数与形之间的联系称之为数形结合.在初中阶段的数学学习中，我们需要运用数形结合的数学思想，来解决函数的相关问题，我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的平方，则这个点称为平方点，如(−3,9).已知抛物线解析式为y=ax2+bx−a(a≠0)．
(1)若抛物线经过平方点(−1,1)，求b的值．
(2)在(1)的条件下，抛物线经过(a,a2)(a≠−1)，证明：a12−1a4+4a3+4a2−1=a3+10a2+8a+1．
27.(本小题12分)
如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD=∠CAE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：△CEF是等腰三角形；
(3)若BD=1，CD=2，求AB的长及cs∠CBA的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−12024|=12024．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.0000084=8.4×10−6，
则n为−6．
故选：A．
将0.0000084的小数点向右移动6位，则a=8.4．
本题考查科学记数法表示较小的数，正确记忆科学记数法的形式是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，
故该几何体是柱体，
又因为俯视图是三角形，
故该几何体是三棱柱．
故选：A．
根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
4.【答案】A
【解析】解：因为点P(2,a)关于y轴的对称点为Q(b,−1)，
所以a=−1，b=−2，
所以ab=(−1)×(−2)=2．
故选：A．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵5出现的次数最多，
∴这组数据的众数是5．
故选：C．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答．
本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
6.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.∵a2⋅a4=a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵(−3ab2)2=−9a2b4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵a2÷a−4=a2−(−4)=a2+4=a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D.∵(a−2b)2=a2−4ab+4b2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
A.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D.根据完全平方公式进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关计算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则．
8.【答案】C
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
∴n−3=8，
解得：n=11，
∴总的对角线的条数为：11×(11−3)2=44(条)．
故选：C．
根据一个多边形从一个顶点出发有8条对角线，可求出该多边形的边数为11，再根据n边形对角线的总数为n(n−3)2即可求解．
本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，掌握n边形从一个顶点出发有(n−3)条对角线和其对角线总数为n(n−3)2是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点(3,2)，
∴k=3×2=6，
∵−6×(−1)=6，
∴点(−6,−1)在此反比例函数图象上，
故选：C．
根据反比例函数的图象经过点(3,2)，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠1=20°，∠B=45°，
∴∠4=∠1+∠B=65°，
∵m//n，
∴∠3=∠4=65°，
∴∠2=180°−65°−90°=25°．
故选：D．
由三角形外角的性质求出∠4=∠1+∠B=65°，由平行线的性质得到∠3=∠4=65°，由平角定义求出∠2=180°−65°−90°=25°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3=∠4．
11.【答案】A
【解析】解：一张桌子可以安排4+2=6(人)，
2张桌子可以安排4+2×2=8(人)，
3张桌子可以安排4+3×2=10(人)，
……，
n张桌子可以安排(4+2n)人，
∴4+2n=22，
解得：n=9，
故选：A．
先计算有1、2、3张桌子时的人数，找到规律，再计算求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵若单独调配30座(不含司机)客车x辆，则有5人没有座位，
∴30x=y−5；
∵若只调配25座(不含司机)客车(x+3)辆，则空出5个座位，
∴25(x+3)=y+5．
∴根据题意可列方程组30x=y−525(x+3)=y+5．
故选：B．
根据“若单独调配30座(不含司机)客车x辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车(x+3)辆，则空出5个座位”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：根据题意得x−2≠0，
解得：x≠2，
故选：B．
利用分式分母不为0，列出不等式x−2≠0可得．
本题考查分式有意义的条件：分母不等于0，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】D
【解析】解：设BC=x，
∵迎水坡AB的坡比i=1：2，
∴AC=2x，
由勾股定理得：AB= BC2+AC2= 5x，
则cs∠ABC=BCAB=x 5x= 55，
故选：D．
设BC=x，根据坡度的概念用x表示出AC，根据勾股定理求出AB，再根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
15.【答案】B
【解析】【分析】
先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
【解答】
解：3x+7≥2 ①2x−9<1 ②
∵解不等式①得：x≥−53，
解不等式②得：x<5，
∴不等式组的解集为−53≤x<5，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，
故选：B．
16.【答案】a(y+2)(y−2)
【解析】解：原式=a(y2−4)
=a(y+2)(y−2)．
首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
17.【答案】1000
【解析】解：为了了解某市20000名七年级学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取1000名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是1000．
故答案为：1000．
找到样本，根据样本容量的定义解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
18.【答案】3
【解析】解法一：∵AD，CE是△ABC的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC，
∴△EBD∽△ABC，
∴S△EBDS△ABC=(DECA)2，即S△EBD12=(12)2，
解得S△EBD=3．
解法二：∵AD，CE是△ABC的两条中线，
∴S△ABD=12S△ABC=12×12=6，
S△BDE=12S△ABD=12×6=3，
故答案为：3．
解法一：依据DE是△ABC的中位线，即可得到DE//AC，DE=12AC，再根据△EBD∽△ABC，即可得到阴影部分的面积；
解法二：依据中线的性质，即可得到△ABD的面积，进而得出△BDE的面积．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理的运用．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
19.【答案】4π−8
【解析】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×π×1=2π，
扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=2π×180÷4π=90°，
∴S阴影=S扇形−S△AOB=90π×42360−12×4×4=4π−8．
故答案为：4π−8．
首先求得展开扇形的圆心角的度数，用扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，掌握公式是解答此类题目的关键，难度不大．
20.【答案】解：原式=4−2× 32−(2− 3)+4
=4− 3−2+ 3+4
=6．
【解析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简各数得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21.【答案】证明：∵AE//BF，
∴∠AEC=∠BFD．
在△AEC和△BFD中，
CE=DF∠AEC=∠BFDAE=BF，
∴△AEC≌△BFD(SAS)．
【解析】有平行线的性质，可得∠AEC=∠BFD，再根据SAS可证明出结论．
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理SAS是解题的关键．
22.【答案】解：设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是2x元，
根据题意得：11002x−500x=5，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
∴2x=2×10=20，
答：A种图书的单价是20元，B种图书的单价是10元；
【解析】设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是2x元，根据用1100元订购A图书的数量比用500元订购B图书的数量多5本，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意，列表如下：
由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同；
(2)不公平．
理由：由表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种，积为奇数的有4种，
则小明胜的概率是59，小亮胜的概率是49，
∵49≠59，
∴这个游戏不公平．
【解析】(1)列表得出所有等可能结果；
(2)结合表格，利用概率公式分别求出积为偶数和奇数的概率，继而可得答案．
本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
24.【答案】(1)证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC，AD=CD，
∵DE//AC且DE=12AC，
∴DE=OA=OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形；
(2)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=12，
∴OA=OC=6，
∴在矩形OCED中，CE=OD= AD2−AO2=6 3．
∴S△ADE=S△AOD+S矩形OCED−S△ACE
=12×OA×OD+OC×CE−12×AC×CE
=12×6×6 3+6×6 3−12×12×6 3
=18 3．
【解析】(1)由菱形ABCD中，DE//AC且DE=12AC，易证得四边形OCED是平行四边形，于是得到结论；
(2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，进而求得OA=OC=6，CE=OD=6 3，最后利用S△ADE=S△AOD+S矩形OCED−S△ACE解答即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OCED是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键．
25.【答案】解：(1)设y=kx+b，
由表格数据得：4k+b=100005k+b=9500，
解得：k=−500b=12000，
∴y=−500x+12000，
(2)设利润为w，
则w=y(x−3)=(−500x+12000)(x−3)=−500(x−272)2+55125，
∴当x=272时，wmax=55125，
即：当售价为272元时，这一周该商场销售这种商品获得的利润最大，最大值为55125元．
【解析】(1)设y=kx+b，将由表格数据代入即可求解；
(2)设利润为w，根据利润=(售价−进价)×销量，确定w与x的函数关系式即可求解．
本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握建模思想是解题关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线经过平方点(−1,1)，已知抛物线解析式为y=ax2+bx−a(a≠0)．
∴把(−1,1)代入y=ax2+bx−a，
∴1=a−b−a，
∴b=−1；
(2)∵(a,a2)，已知抛物线解析式为y=ax2+bx−a(a≠0)，
∴a2=a3+ba−a，
由(1)知道b=−1，
∴a2=a3−a−a=a3−2a，
∵a≠0，
∴a2−a−2=(a−2)(a+1)=0，
解得a1=2，a2=−1，
∵a≠−1(与题意相矛盾，故舍去)，
∴a=2，则：
a12−1a4+4a3+4a2−1=(a6+1)(a6−1)a4+4a3+4a2−1=(64+1)(64−1)16+32+16−1=(64+1)(64−1)64−1=65，
a3+10a2+8a+1=23+10×22+8×2+1=65，
∴a12−1a4+4a3+4a2−1=a3+10a2+8a+1；
【解析】(1)根据平方点的定义，把(−1,1)代入y=ax2+bx−a(a≠0)，化简计算，即可作答．
(2)先把(a,a2)(a≠−1)代入y=ax2+bx−a(a≠0)，结合b=−1，得a2−a−2=(a−2)(a+1)=0，因为(a,a2)(a≠−1)，则a=2，再把原式左边和右边的值算出来，作比较，即可作答．
本题考查了新定义与二次函数，正确记忆相关知识点是解题关键．
27.【答案】(1)证明：连接OC，如下图，
∵C是BF的中点，O是AB的中点，
∴OC//AF，
∴∠CAE=∠ACO，
∵∠BCD=∠CAE，
∴∠ACO=∠BCD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠BCD+∠BCO=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：∵点C是BF的中点，∠ACB=90°，即AC⊥BF，
∴AF=AB，
∴∠F=∠ABC，
∵四边形ABCE内接于⊙O，
∴∠ABC=∠FEC，
∴∠F=∠FEC，
∴△CEF是等腰三角形；
(3)解：∵∠BCD=∠ACO=∠CAD，∠ADC=∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴CDBD=ADCD=ACBC，即21=AD2=ACBC，
∴AD=4，AC=2BC，
∴AB=AD−BD=4−1=3；
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，
即4BC2+BC2=32，
解得BC=3 55，
∴cs∠CBA=BCAB= 55．
【解析】(1)连接OC，点C是BF的中点，O是AB的中点，即有OC//AF，∠CAE=∠ACO，即可得到∠ACO=∠BCD.根据AB为⊙O的直径，有∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD+∠BCO=90°，则有∠OCD=90°，可知CD是⊙O的切线；
(2)根据点C是BF的中点，O是AB的中点，可知AF=AB，∠F=∠ABC.根据四边形ABCE内接于⊙O，可知∠ABC=∠FEC，即有∠F=∠FEC，结论得证；
(3)先证得△DCB∽△DAC，则有CDBD=ADCD=ACBC，可解得AD=4，AC=2BCAB=AD−BD=3；在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，解得BC=3 55，由cs∠CBA=BCAB即可获得答案．
本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，证得CD是圆的切线是解答本题的关键．x(元/件)
4
5
6
y(件)
10000
9500
9000
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
3
3
6
9
1.−12024的绝对值是( )
A. 12024B. −12024C. −2024D. 2024
2.袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径为0.0000084米，用科学记数法表示0.0000084=8.4×10n，则n为( )
A. −6B. −5C. 5D. 6
3.如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 三棱柱
B. 长方体
C. 圆锥
D. 圆柱
4.已知点P(2,a)关于y轴的对称点为Q(b,−1)，则ab的值为( )
A. 2B. −1C. −2D. −3
5.有一组数据：2，5，0，3，5，则这组数据的众数是( )
A. 0B. 3C. 5D. 以上都不对
6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
7.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. (−3ab2)2=−6a2b4
C. a2÷a−4=a6D. (a−2b)2=a2+4b2
8.一个多边形从一个顶点出发可引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总条数是( )
A. 88B. 80C. 44D. 40
9.反比例函数的图象经过点A(3,2)，下列各点在此反比例函数图象上的是( )
A. (−3,2)B. (3,−2)C. (−6,−1)D. (−1,6)
10.已知直线m//n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°B. 30°C. 15°D. 25°
11.某校图书馆中1张桌子安排6个座位，按照如图所示的方式将桌子拼在一起，若要安排22个座位，则需要桌子的张数是( )
A. 9B. 8C. 7D. 10
12.2023年成都大运会上，努力拼搏的不只有运动员们，在赛场外，到处都能看到志者们忙碌的身影，大批大学生报名参与志愿者服务工作，某大学计划组织本校学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配30座(不含司机)客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位.设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是( )
A. 30x=y+525(x+3)=y−5B. 30x=y−525(x+3)=y+5
C. 30x=y25(x+3)=y+5D. 30x=y−525(x+3)=y−5
13.函数y=3x−2的自变量x的取值范围是( )
A. x>2B. x≠2C. x≥2D. x≠2且x≠0
14.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比i=1：2(即BC：CA=1：2)，则cs∠ABC=( )
A. 13B. 23C. 33D. 55
15.不等式组3x+7≥22x−9<1的非负整数解的个数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.因式分解：ay2−4a= ______．
17.为了了解某市20000名七年级学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取1000名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______．
18.如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED.若S△ABC=12，则S阴影= ______．
19.如图，母线长为4，底圆半径为1的圆锥，展开后得到扇形AOB，则阴影部分的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
计算： 8× 2−2sin60°−| 3−2|+(12)−2．
21.(本小题7分)
已知：如图，点E、F在CD上，且CE=DF，AE=BF，AE//BF．
求证：△AEC≌△BFD．
22.(本小题6分)
2023年全国教育工作会议的一大亮点，就是“要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书、读好书、善读书”.为了更好的落实会议精神，某学校购进A、B两种图书，花费分别是1100元和500元.已知A图书的订购单价是B图书订购单价的2倍，并且订购A图书的数量比B图书的数量多5本.求A、B两种图书的单价分别是多少元？
23.(本小题7分)
小明和小亮用如图所示的转盘进行游戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1，2，3.游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮胜．
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
24.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=12AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为12，∠ABC=60°，求△ADE的面积．
25.(本小题8分)
一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(1)求y与x的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)当售价为多少时，这一周该商场销售这种商品获得的利润最大，并求出最大值．
26.(本小题8分)
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数与形之间的联系称之为数形结合.在初中阶段的数学学习中，我们需要运用数形结合的数学思想，来解决函数的相关问题，我们定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标是横坐标的平方，则这个点称为平方点，如(−3,9).已知抛物线解析式为y=ax2+bx−a(a≠0)．
(1)若抛物线经过平方点(−1,1)，求b的值．
(2)在(1)的条件下，抛物线经过(a,a2)(a≠−1)，证明：a12−1a4+4a3+4a2−1=a3+10a2+8a+1．
27.(本小题12分)
如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD=∠CAE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：△CEF是等腰三角形；
(3)若BD=1，CD=2，求AB的长及cs∠CBA的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：|−12024|=12024．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．
此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.0000084=8.4×10−6，
则n为−6．
故选：A．
将0.0000084的小数点向右移动6位，则a=8.4．
本题考查科学记数法表示较小的数，正确记忆科学记数法的形式是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，
故该几何体是柱体，
又因为俯视图是三角形，
故该几何体是三棱柱．
故选：A．
根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
4.【答案】A
【解析】解：因为点P(2,a)关于y轴的对称点为Q(b,−1)，
所以a=−1，b=−2，
所以ab=(−1)×(−2)=2．
故选：A．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵5出现的次数最多，
∴这组数据的众数是5．
故选：C．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答．
本题考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
6.【答案】B
【解析】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．
7.【答案】C
【解析】解：A.∵a2⋅a4=a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵(−3ab2)2=−9a2b4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵a2÷a−4=a2−(−4)=a2+4=a6，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D.∵(a−2b)2=a2−4ab+4b2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
A.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D.根据完全平方公式进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关计算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则．
8.【答案】C
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
∴n−3=8，
解得：n=11，
∴总的对角线的条数为：11×(11−3)2=44(条)．
故选：C．
根据一个多边形从一个顶点出发有8条对角线，可求出该多边形的边数为11，再根据n边形对角线的总数为n(n−3)2即可求解．
本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，掌握n边形从一个顶点出发有(n−3)条对角线和其对角线总数为n(n−3)2是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：设反比例函数解析式为y=kx，
∵反比例函数的图象经过点(3,2)，
∴k=3×2=6，
∵−6×(−1)=6，
∴点(−6,−1)在此反比例函数图象上，
故选：C．
根据反比例函数的图象经过点(3,2)，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠1=20°，∠B=45°，
∴∠4=∠1+∠B=65°，
∵m//n，
∴∠3=∠4=65°，
∴∠2=180°−65°−90°=25°．
故选：D．
由三角形外角的性质求出∠4=∠1+∠B=65°，由平行线的性质得到∠3=∠4=65°，由平角定义求出∠2=180°−65°−90°=25°．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3=∠4．
11.【答案】A
【解析】解：一张桌子可以安排4+2=6(人)，
2张桌子可以安排4+2×2=8(人)，
3张桌子可以安排4+3×2=10(人)，
……，
n张桌子可以安排(4+2n)人，
∴4+2n=22，
解得：n=9，
故选：A．
先计算有1、2、3张桌子时的人数，找到规律，再计算求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵若单独调配30座(不含司机)客车x辆，则有5人没有座位，
∴30x=y−5；
∵若只调配25座(不含司机)客车(x+3)辆，则空出5个座位，
∴25(x+3)=y+5．
∴根据题意可列方程组30x=y−525(x+3)=y+5．
故选：B．
根据“若单独调配30座(不含司机)客车x辆，则有5人没有座位；若只调配25座(不含司机)客车(x+3)辆，则空出5个座位”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：根据题意得x−2≠0，
解得：x≠2，
故选：B．
利用分式分母不为0，列出不等式x−2≠0可得．
本题考查分式有意义的条件：分母不等于0，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】D
【解析】解：设BC=x，
∵迎水坡AB的坡比i=1：2，
∴AC=2x，
由勾股定理得：AB= BC2+AC2= 5x，
则cs∠ABC=BCAB=x 5x= 55，
故选：D．
设BC=x，根据坡度的概念用x表示出AC，根据勾股定理求出AB，再根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
15.【答案】B
【解析】【分析】
先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
【解答】
解：3x+7≥2 ①2x−9<1 ②
∵解不等式①得：x≥−53，
解不等式②得：x<5，
∴不等式组的解集为−53≤x<5，
∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个，
故选：B．
16.【答案】a(y+2)(y−2)
【解析】解：原式=a(y2−4)
=a(y+2)(y−2)．
首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
17.【答案】1000
【解析】解：为了了解某市20000名七年级学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取1000名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是1000．
故答案为：1000．
找到样本，根据样本容量的定义解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
18.【答案】3
【解析】解法一：∵AD，CE是△ABC的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC，
∴△EBD∽△ABC，
∴S△EBDS△ABC=(DECA)2，即S△EBD12=(12)2，
解得S△EBD=3．
解法二：∵AD，CE是△ABC的两条中线，
∴S△ABD=12S△ABC=12×12=6，
S△BDE=12S△ABD=12×6=3，
故答案为：3．
解法一：依据DE是△ABC的中位线，即可得到DE//AC，DE=12AC，再根据△EBD∽△ABC，即可得到阴影部分的面积；
解法二：依据中线的性质，即可得到△ABD的面积，进而得出△BDE的面积．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理的运用．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
19.【答案】4π−8
【解析】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×π×1=2π，
扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=2π×180÷4π=90°，
∴S阴影=S扇形−S△AOB=90π×42360−12×4×4=4π−8．
故答案为：4π−8．
首先求得展开扇形的圆心角的度数，用扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积．
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，掌握公式是解答此类题目的关键，难度不大．
20.【答案】解：原式=4−2× 32−(2− 3)+4
=4− 3−2+ 3+4
=6．
【解析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简各数得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21.【答案】证明：∵AE//BF，
∴∠AEC=∠BFD．
在△AEC和△BFD中，
CE=DF∠AEC=∠BFDAE=BF，
∴△AEC≌△BFD(SAS)．
【解析】有平行线的性质，可得∠AEC=∠BFD，再根据SAS可证明出结论．
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理SAS是解题的关键．
22.【答案】解：设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是2x元，
根据题意得：11002x−500x=5，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意，
∴2x=2×10=20，
答：A种图书的单价是20元，B种图书的单价是10元；
【解析】设B种图书的单价是x元，则A种图书的单价是2x元，根据用1100元订购A图书的数量比用500元订购B图书的数量多5本，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意，列表如下：
由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相同；
(2)不公平．
理由：由表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的有5种，积为奇数的有4种，
则小明胜的概率是59，小亮胜的概率是49，
∵49≠59，
∴这个游戏不公平．
【解析】(1)列表得出所有等可能结果；
(2)结合表格，利用概率公式分别求出积为偶数和奇数的概率，继而可得答案．
本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
24.【答案】(1)证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC，AD=CD，
∵DE//AC且DE=12AC，
∴DE=OA=OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形；
(2)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=12，
∴OA=OC=6，
∴在矩形OCED中，CE=OD= AD2−AO2=6 3．
∴S△ADE=S△AOD+S矩形OCED−S△ACE
=12×OA×OD+OC×CE−12×AC×CE
=12×6×6 3+6×6 3−12×12×6 3
=18 3．
【解析】(1)由菱形ABCD中，DE//AC且DE=12AC，易证得四边形OCED是平行四边形，于是得到结论；
(2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，进而求得OA=OC=6，CE=OD=6 3，最后利用S△ADE=S△AOD+S矩形OCED−S△ACE解答即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OCED是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键．
25.【答案】解：(1)设y=kx+b，
由表格数据得：4k+b=100005k+b=9500，
解得：k=−500b=12000，
∴y=−500x+12000，
(2)设利润为w，
则w=y(x−3)=(−500x+12000)(x−3)=−500(x−272)2+55125，
∴当x=272时，wmax=55125，
即：当售价为272元时，这一周该商场销售这种商品获得的利润最大，最大值为55125元．
【解析】(1)设y=kx+b，将由表格数据代入即可求解；
(2)设利润为w，根据利润=(售价−进价)×销量，确定w与x的函数关系式即可求解．
本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握建模思想是解题关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线经过平方点(−1,1)，已知抛物线解析式为y=ax2+bx−a(a≠0)．
∴把(−1,1)代入y=ax2+bx−a，
∴1=a−b−a，
∴b=−1；
(2)∵(a,a2)，已知抛物线解析式为y=ax2+bx−a(a≠0)，
∴a2=a3+ba−a，
由(1)知道b=−1，
∴a2=a3−a−a=a3−2a，
∵a≠0，
∴a2−a−2=(a−2)(a+1)=0，
解得a1=2，a2=−1，
∵a≠−1(与题意相矛盾，故舍去)，
∴a=2，则：
a12−1a4+4a3+4a2−1=(a6+1)(a6−1)a4+4a3+4a2−1=(64+1)(64−1)16+32+16−1=(64+1)(64−1)64−1=65，
a3+10a2+8a+1=23+10×22+8×2+1=65，
∴a12−1a4+4a3+4a2−1=a3+10a2+8a+1；
【解析】(1)根据平方点的定义，把(−1,1)代入y=ax2+bx−a(a≠0)，化简计算，即可作答．
(2)先把(a,a2)(a≠−1)代入y=ax2+bx−a(a≠0)，结合b=−1，得a2−a−2=(a−2)(a+1)=0，因为(a,a2)(a≠−1)，则a=2，再把原式左边和右边的值算出来，作比较，即可作答．
本题考查了新定义与二次函数，正确记忆相关知识点是解题关键．
27.【答案】(1)证明：连接OC，如下图，
∵C是BF的中点，O是AB的中点，
∴OC//AF，
∴∠CAE=∠ACO，
∵∠BCD=∠CAE，
∴∠ACO=∠BCD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠BCD+∠BCO=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
(2)证明：∵点C是BF的中点，∠ACB=90°，即AC⊥BF，
∴AF=AB，
∴∠F=∠ABC，
∵四边形ABCE内接于⊙O，
∴∠ABC=∠FEC，
∴∠F=∠FEC，
∴△CEF是等腰三角形；
(3)解：∵∠BCD=∠ACO=∠CAD，∠ADC=∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴CDBD=ADCD=ACBC，即21=AD2=ACBC，
∴AD=4，AC=2BC，
∴AB=AD−BD=4−1=3；
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，
即4BC2+BC2=32，
解得BC=3 55，
∴cs∠CBA=BCAB= 55．
【解析】(1)连接OC，点C是BF的中点，O是AB的中点，即有OC//AF，∠CAE=∠ACO，即可得到∠ACO=∠BCD.根据AB为⊙O的直径，有∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD+∠BCO=90°，则有∠OCD=90°，可知CD是⊙O的切线；
(2)根据点C是BF的中点，O是AB的中点，可知AF=AB，∠F=∠ABC.根据四边形ABCE内接于⊙O，可知∠ABC=∠FEC，即有∠F=∠FEC，结论得证；
(3)先证得△DCB∽△DAC，则有CDBD=ADCD=ACBC，可解得AD=4，AC=2BCAB=AD−BD=3；在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，解得BC=3 55，由cs∠CBA=BCAB即可获得答案．
本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，证得CD是圆的切线是解答本题的关键．x(元/件)
4
5
6
y(件)
10000
9500
9000
1
2
3
1
1
2
3
2
2
4
6
3
3
6
9
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