2024年河南省开封市兰考县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年河南省开封市兰考县中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.实数−2的相反数是( )
A. −2B. 2C. −12D. 12
2.据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量.其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为( )
A. 8.5×1011B. 805×109C. 8.05×1011D. 8.05×1012
3.下列扑克牌中，牌面是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，若∠EOD=50°，则∠AOC=( )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
5.化简a2−12a⋅aa+1的结果为( )
A. a−1B. a+1C. a−12D. a+12
6.下列说法中，正确的是( )
A. 不可能事件发生的概率是0
B. 经过旋转，对应线段平行且相等
C. 长方体的截面形状一定是长方形
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次
7.如图所示，在坡角为α的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4米，
那么这两棵树在坡面上的距离AB为( )
A. 4csα
B. 4sinα
C. 4csα
D. 4sinα
8.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+b的图象是( )
A.
B.
C.
D.
9.定义新运算：m*n=m2−mn−3，例如：2*3=22−2×3−3=−5.则关于x的一元二次方程x*a=1的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有实数根D. 没有实数根
10.在矩形ABCD中(AB>BC)，AC为对角线，一动点P以每秒1个单位长度，沿AC→CB→BA方向运动.设动点P的运动时间为x秒，线段AP的长度为y，则y随x变化的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A. AB=8B. BC=6
C. 曲线MN呈反比例函数模型D. 线段NQ呈一次函数模型
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 2x+3有意义，则x的取值范围是______．
12.二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”成如图，小鹏购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上.从中随机抽取一张，不放回再从中随机抽取一张，抽到的两张邮票恰好是“立夏”和“秋分”的概率是______．
13.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米，窗口高AB=2米，那么窗口底边离地面的高BC=______ 米．
14.如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=3，BC=4，则阴影部分的面积是______．
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2.点E在直线BC上，且DE=DC，则CE的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：|− 3|+(−2024)0−3tan30°−(12)−1；
(2)解方程：xx−1+1x2−1=1．
17.(本小题9分)
蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析，下面给出了部分信息：
a.配送速度得分(满分10分)：
甲：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
乙：7 7 8 8 8 9 9 9 10 10
b.
c.配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m，n的值；
(2)在甲乙两家快递公司中，如果某公司得分的10个数据的方差越小，则认为种植户对该公司的评价越一致.据此推断：甲、乙两家公司中，种植户对______的服务质量的评价更一致(填“甲”或“乙”)；
(3)一开始小丽考虑到樱桃保鲜时间短，所以更看重配送速度，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______(填“甲”或“乙”)；后来改进了储存技术，在配送速度达到6分及以上的情况下，小丽更看重服务质量的稳定性，从这个角度看，你为小丽推荐的公司为______(填“甲”或“乙”)．
18.(本小题9分)
请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明．
(提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程.)
19.(本小题9分)
如图，已知A，B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点，AC⊥x轴于点C，OB交AC于点D，若△OCD的面积是△BCD的面积的2倍，△AOD的面积为2.5.求反比例函数的表达式．
20.(本小题9分)
为展青年华彩，丰富校园生活，激发学生英语学习兴趣，某校举办“趣味横声英你精彩”英文合唱比赛.王老师负责本次英文合成比赛的奖品采购.经过调查，选择A奖品为一等奖，B奖品为二等奖.已知购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同．
(1)求A、B两种奖品的单价；
(2)本次英文合唱比赛共需购进A、B两种奖品100个，且一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，实际购买时A种奖品可打7折，请你帮王老师设计花费最小的购买方案，并求出最小花费．
21.(本小题9分)
如图，△ABC是以C为顶点的等腰三角形，以AB为直径作⊙O，交BC于点D.延长BC至点E，使得BC=CE，连接AE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若AB=5,tanB=43，求DE的长．
22.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2−2ax+a+4的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于点C；
(1)直接写出点P的坐标为______；
(2)如图，若A、B两点在原点的两侧，且3OA=OB，当−21003，且m为正整数，
∴当m=34时，w取得最小值，最小值为5×34+3000=3170(元)，此时100−m=100−34=66(个)．
答：当购买34个A种奖品，66个B种奖品时，总花费最小，最小花费是3170元．
【解析】(1)设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“购买每件A奖品比每件B奖品贵20元，购买3个A奖品和5个B奖品的价钱相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个A种奖品，则购买(100−m)个B种奖品，根据一等奖的奖品超过二等奖的奖品的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设王老师购进A、B两种奖品的总花费为w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∵BC=CE，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠E，
∴∠BAE=∠CAB+∠CAE=∠B+∠E，
∵∠BAE+∠B+∠E=180°，
∴∠BAE+∠BAE=180°，
∴∠BAE=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
(2)解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB=5，
∴∠ADB=90°，
∴ADBD=tanB=43，
∴BD=34AD，
∴AB= AD2+BD2= AD2+(34AD)2=54AD=5，
∴AD=4，
∵∠ADE=90°，∠DAE=∠B=90°−∠BAD，
∴DEAD=tan∠DAE=tanB=43，
∴DE=43AD=43×4=163，
∴DE的长是163．
【解析】(1)由AC=BC，得∠CAB=∠B，再证明AC=CE，则∠CAE=∠E，则∠BAE=∠CAB+∠CAE=∠B+∠E=∠BAE=90°，即可证明AE是⊙O的切线；
(2)连接AD，则∠ADB=90°，所以ADBD=tanB=43，则BD=34AD，由AB= AD2+BD2=54AD=5，求得AD=4，由DEAD=tan∠DAE=tanB=43，求得DE=43AD=163．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1,4)
【解析】解：(1)∵y=ax2−2ax+a+4=a(x−1)2+4，
∴抛物线顶点P的坐标为(1,4)，
故答案为：(1,4)．
(2)设点A(−t,0)，
∵3OA=OB，
∴点B(3t,0)，
∵抛物线顶点P的坐标为(1,4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−t+3t2=1，
解得：t=1，
∴点A(−1,0)，点B(3,0)，
将点A(−1,0)代入y=ax2−2ax+a+4，得：a+2a+a+4=0，
解得：a=−1，
此时抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，
∵该抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远对应的函数值就越小，
∵−2