河南省南阳市第二中学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（含答案）

这是一份河南省南阳市第二中学校2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题
1.若复数，则z的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
2.若弧度为2的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）
A．2B．4C．8D．16
3.平面向量，满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
4.若为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
5.如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，若（，），则的值为（ ）
A．B．C．2D．
6.已知函（其中，，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
7.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8.在Rt△ABC中，，，，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9.下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程（p，）的根，则
10.已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是
B．若，则在上单调递减
C．若在上恰有3个零点，则的取值范围为
D．函数的值域为
11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则△ABC可以是钝角三角形
C．若，，，则△ABC有两解
D．若，且，则△ABC为等边三角形
12.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是△ABC外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是等边三角形B．若，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积最小值为D．四边形ABCD面积最大值为
三、填空题
13.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 .
14.已知函数，在区间上有解，则a的取值范围是 .
15.已知，，则 .
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且△ABC的外接圆的半径为，则△ABC面积的最大值为 .
四、解答题
17.已知复数，，其中是虚数单位，m，，.
（1）若为纯虚数，求m的值；
（2）若，求的取值范围.
18.已知函数.
（1）若，，求的值
（2）若，，求的值.
19.如图，在△OAB中，C是AB的中点，D是线段OB上靠近点O的四等分点，，．
（1）若OA长为2，OB长为8，，求CD的长；
（2）若E是OC上一点，且，试判断A，D，E三点是否共线？并说明你的理由.
20.在下面给出的三个条件：①，②，③中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足，， .
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积.
21.如图，四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧MN上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在BC与CD上的矩形铁皮，
（1）求出矩形铁皮PQCR面积S关于的表达式；
（2）试确定的值，使矩形铁皮PQCR面积最大，并求出这个最大面积.
22.已知函数（）
（1）求的最小正周期和单调递增区；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC面积的取值范围。
参考答案
一、单选题
1-5BBCDB6-8DDA
二、多选题
9ACD10AC11ACD12AD
三、填空题
13.
14.
15.
16.
四、解答题
17.
（1）因为为纯虚数，所以，解得.
（2）由，得.
因此.
因为，
所以当时，；
当时，，
故的取值范围是.
18.（1）（2）.
所以，故，
因为，
所以，
所以，故.
，
所以，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以.
19.
（1）∵，，C是AB的中点，D是线段OB上靠近点O的四等分点，
∴，则
即；
（2）A，D，E三点不共线，理由如下：
∵，
∴，，
假设，则存在唯一实数，使得，即，
所以，该方程组无解，
∴与不平行，
∴A，D，E三点不共线
20.选③，由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，，
又，
∴，
又∵，，
∴由余弦定理，
可得：，
可得：，
解得，或（舍去），
∴
21.利用三角函数定义表示出铁皮面积，然后令（换元，结合二次函数性质求解可得.
详解：
作PH垂直AB于点H，
则，，
所以，，
所以矩形铁皮PQCR面积
。
令，则，
因为，
所以，
所以，
所以，
由二次函数性质可知，函数的图象开口向上，对称轴为，
所以当，即时.
答：当时，矩形铁皮面积最大，最大值为
22.【解析】
（1）∵
，
∴的周期，
∵令，，可得，.
∴单调递增区间是，.
（2）∵，
∴，
由正弦定理有，
∴
∵且
∴
∴
∴