数学：新疆维吾尔自治区2022-2023学年高二下学期期末考试试题（解析版）

这是一份数学：新疆维吾尔自治区2022-2023学年高二下学期期末考试试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共 8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由集合，集合，
可得.
故选：B.
2. 设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】,
,故选D.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得解得，
即，
故定义域为
故选：B.
4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，，
则如图所示，
其中，，，.
故选：B.
5. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ）
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
【答案】B
【解析】，
令，
则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即在的平分线上，
，共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
6. 某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN=45°，点C的仰角∠CAB=30°，测得∠MAC=75°，∠MCA=60°，已知另一座山高米，则山高MN等于（ ）
A. B.
C. 200D.
【答案】A
【解析】在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝100，
所以可得AC＝＝＝200，
在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
由正弦定理可得：＝，
即＝，
所以可得AM＝100，
在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，
所以MN＝AM•sin∠MAN＝100×＝100；
故选：A．
7. 已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则（ ）
A. 9B. 3C. 4D.
【答案】A
【解析】如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．
在Rt△中，，即，
又，可得，.
故选：A．
8. 若奇函数的定义域为，且时，则时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，则，
则，
因为函数为奇函数，所以，
即时.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；
B. 将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；
C. 将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；
D. 一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余下99个数据的方差是．
【答案】ABD
【解析】选项A：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正确；
选项B：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后.B正确；
选项C：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原来的3倍，
方差.C错误；
选项D：，因为的平均数是5，
所以，
新平均数，又因为的方差是1，
所以，
提出一个值为5的数据后，余下99个数的方差.D正确.
故选：ABD.
10. 抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由题可得基本事件有：
，
共有36个，
记事件两次的点数均为偶数，共包含9个样本点，
则A正确；
两次的点数之和小于7，
事件包含的基本事件有：，，共15个，
，B正确，D错误，；
对于，事件包含的基本事件有：，
共3个，C错误.
故选:.
11. 下列四个命题中假命题是（ ）
A. ，B. ，
C. ，使D. ，
【答案】ABD
【解析】对于A中，由，，所以A为假命题；
对于B中，当时，，所以B为假命题；
对于C中，当时，，所以C为真命题；
对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.
故选：ABD.
12. 函数的一个单调递减间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由已知可得原函数可化为.
要求原函数的单调递减间，只需令，
解得：,
∴原函数的单调递减区间为.
依次给k赋值可得原函数的单调递减区间为
对照四个选项，只有B、C正确
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为_________
【答案】
【解析】因为向量在向量上的投影向量为，
所以，即，
因为，
所以，
故答案为：
14. 函数的零点为_________．
【答案】3
【解析】令，得，解得，
所以函数的零点为3.
故答案为：3
15. 已知α为第三象限的角，且，则_________．
【答案】
【解析】因为为第三象限的角，，
所以，
所以
故答案为：．
16. 在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则____________．
【答案】
【解析】在△中，设，则，又，
且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，
所以对，恒成立，
即恒成立，只需即可，
所以，即，
又，则，，.
所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共 6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知向量，求：
（1）若，且，求的坐标；
（2）若﹐求；
（3）若，求k的值．
解：（1）设，
由，且，得
，解得或
或
（2），
，
解得
（3）由已知，
又，
，
解得
18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
解：（1），，
所以应抽取小吃类16家，玩具类4家
（2）（i）根据题意可得，
解得，
设中位数为，因为，，所以，
解得，
平均数，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.
（ii）,
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.
19. 已知不等式的解集为M.
（1）若2∈M，求实数a的取值范围；
（2）当M为空集时，求不等式＜2的解集.
解：（1）由已知2∈M可得，4－2(a＋1)＋a＜0，解得a＞2，
所以实数a的取值范围为；
（2）当M为空集，则，即；
所以，即
∴＜2，即＜2，
∴＞0，解得x＞或x＜1.
∴此不等式的解集为(－∞，1)∪.
20. 已知、、是三角形的内角，、是方程的两根.
（1）求角.
（2）若，求.
解：（1）因为、是方程的两根，
所以，
因为，所以，
即，解得（舍去）或，或，
将或代入中易知当时不成立，
故.
（2），即，
，，
解得或，
因为，所以，
故.
21. 如图，在三棱锥中，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面BEF；
（3）求二面角的正弦值.
解：（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，

于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，
设，
所以由可得：，
可得：，
所以，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
，
所以平面平面BEF；

（3）法一：过点作交于点，
设，
由，得，且，
又由（2）知，，则为二面角的平面角，
因为分别为的中点，因此为的重心，
即有，又，
即有，
，
解得，同理得，
于是，即有，
则，
从而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值为.

法二：平面的法向量为，
平面的法向量为，
所以，
因为，所以，
故二面角的正弦值为.
22. 若函数的最小值为，且它的图象经点和，且函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若，求的值域．
解：（1）根据题意，可得，即，
因为，所以，所以，
又由函数的图经过点，可得，
所以，解得
由，可得，
因为在上单调递增，则，
解得，所以
所以函数解析式为.
（2）由函数解析式为.
因为，可得，
当时，即时，函数取得最小值；
当时，即时，函数取得最大值；
所以函数值域为.