数学：辽宁省丹东市2024届高三总复习质量测试（二）试卷（解析版）

这是一份数学：辽宁省丹东市2024届高三总复习质量测试（二）试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】集合，，
所以，，．
故选：D.
2. 样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】C
【解析】数据从小到大排序为12，13，14，14，16，18，20，24，则，
所以75%分位数为.
故选：C.
3. 一个口袋中装有大小形状相同的3个红球和2个白球，从中不放回抽取3个球，已知口袋中剩下的2个球颜色相同的条件下，抽取的3个球颜色不同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】事件“口袋中剩下的2个球颜色相同”，事件“抽取的3个球颜色不同”，
所以事件A共有个基本事件，事件AB共有个基本事件，
所以．
故选：A
4. 过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线，
所以切点为，，故．
故选：C.
5. 在△中，点D在边上，平分，，，，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】因为，
所以,
即，代入，，
可得，则，
解得．
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解法1：由，得，
得，
得，所以，
所以．
解法2：将
展开得，
整理得，
即，
所以．
故选：A
7 已知函数，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数，可得，
当时，；当时，；
当时，，
所以在和上递增，在上递减，
因为，可得，所以，
又因为，，
所以，所以，即，所以.
故选：D.
8. 双曲线的右焦点为，点在轴的正半轴上，直线与在第一象限的交点为，，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，
由，则，又，
所以，则，，
根据双曲线的性质有，又，所以，
所以，所以，即，
又，即，即，所以．
故选：A

二、选择题
9. 已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（ ）
A. 是虚数
B. 若，则
C. 若，则与对应的点关于x轴对称
D. 若是纯虚数，则
【答案】ACD
【解析】可设复数，
A选项：根据虚数定义可知A正确；
B选项：，所以，则，
所以，，所以，故B不正确；
C选项：若，所以，所以，，
所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确；
D选项：因为，
且是纯虚数，所以，所以，，则，
所以，故D正确．
故选：ACD.
10. 在正方体中，过对角线的平面与，分别交于，且，，则（ ）
A. 四边形一定是平行四边形
B. 四边形可能是正方形
C.
D. 四边形在侧面内的投影一定是平行四边形
【答案】AC
【解析】对于A中，在正方体，平面平面，
又因为平面平面，且平面平面，
所以，同理可证，所以四边形是平行四边形，所以A正确；
对于B中，四边形是平行四边形，不妨设，
当为中点时，，，所以，所以B不正确；
对于C中，因为，，
由A知，，所以，即，所以C正确．
对于D中，当点与重合时，且点 与重合（或）时，
直线在平面内的射影为，此时，即为，
所以四边形在侧面内的投影是一条线段或者是平行四边形，所以D不正确．故选：AC.
11. 已知函数的定义域为，满足，当，，则（ ）
A. B. 在上单调递减
C. 在上有极小值D.
【答案】ABD
【解析】A选项：因为，
当时，，
所以，
所以，故A正确．
B选项：令，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
当时，在上单调递减，且，
当时，上单调递减，且，
所以在上单调递减，故B正确．
C选项：令，所以，
所以，即，
由B可得，，
所以，
则上递增，在上递减，
所以在上有极大值，故C不正确．
D选项：
根据对称性，
由，
所以，，
所以
由时，
得，
即，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
12. 设向量，的夹角为，且，，则______．
【答案】9
【解析】法1：由向量数量积几何意义得，
在向量上的投影的数量为，
所以，所以；
法2：根据数量积定义有，
所以；
法3：设，，，
所以.故答案为：.
13. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，椭圆，记P为抛物线与D在第一象限的交点，延长PO交D于Q，若，则的面积为______．
【答案】
【解析】由，可得，
由，可得与椭圆短轴的一个顶点重合，
根据椭圆的对称性，，
所以的面积等于的面积的2倍，
由抛物线的定义知，点到准线的距离为，
所以点的横坐标为，代入抛物线得点的纵坐标为，
所以的面积为．
故答案为：.
14. 已知球O的半径为4，平面，与球面分别相交，得圆C与圆D，AB为圆C与圆D的公共弦，若，，则点O到直线AB的距离为______，四面体ABCD的体积为______．
【答案】
【解析】取AB的中点E，
根据球的截面性质得，则截面圆C，截面圆D，可知，
，平面OCED，所以平面OCED，
且平面OCED，所以，
所以OE就是点O到直线AB的距离，
因为，即，可得，
因为，即，可得，
同理可得，，
又因为，即，
所以点O到直线AB的距离为，
在中，，可知，
同理可得，即，
所以是等边三角形，其面积为，
所以四面体ABCD的体积．
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列是等差数列，记为数列的前n项和,，，求．
解：（1）由，得，
当时，，
当时，，
所以．
（2）设数列的公差为d，
因为，得，易知，
因为，所以，可得，
又因为，所以，所以．
16. 如图，三棱柱中，，，，M为的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）若平面ABC⊥平面，，，求二面角的正弦值．
（1）证明：取BC的中点D，连接AD，ND，
因为N是的中点，
所以，且，
又因为M为的中点，
所以，且，
所以且，所以四边形AMND是平行四边形，所以，
平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．
（2）解：取AB的中点O，连接OC，因为，所以OC⊥AB，
又因为平面ABC⊥平面，平面平面，
所以OC⊥平面，
因为，，连接，所以，，
以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面BMN的法向量为，
所以，所以，
解得平面BMN的一个法向量为，
设平面的法向量为，
所以，所以，
解得平面的一个法向量为，
所以，
则，
所以二面角的正弦值为．
17. 已知椭圆：的左右顶点分别为，，过的直线与交于点，点在上，.
（1）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（2）求面积的最大值.
（1）证明：由题意可知，，
设点，，，
因为，得，
所以，即；
（2）解：不妨令，，，

由（1）可设直线的斜率，则直线：，
将代入中，得，
所以，
所以，
因为，用替换，得，
，
所以的面积，
所以，令，
则，
又因为函数在上单调递增，
所以当时，有最小值，即，
所以（当且仅当，即时等号成立），
所以面积的最大值为.
18. 蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株．
（1）经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率；
（2）从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值；
（3）该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元）
解：（1）记事件“该基地的植株经过三次喷洒后，随机检测一株植株能获得基因改良”，
所以，
（2）因为植株经过一次喷洒后基因改良的概率为0.8，经过一次喷洒后基因改良的株数k服从二项分布，
，
当时，
当时，设
若时，则
若时，则
，所以，
解得，又，所以
所以甲区域种植总数N的最大可能值为202株．
（3）设每组n株的总费用为X元，则X的取值为，
所以
所以
则每组中每株检测的平均费用为
所以
因为
所以（当且仅当时等号成立）
所以当以10个每组时，检测成本最低，每株2.6元．
19. 设函数的定义域为I，若，曲线在处的切线l与曲线有n个公共点，则称为函数的“n度点”，切线l为一条“n度切线”．
（1）判断点是否为函数的“2度点”，说明理由；
（2）设函数.
①直线是函数的一条“1度切线”，求a的值；
②若，求函数的“1度点”.
解：（1）因为，所以，，
则函数在点处的切线方程，
将切线l的方程与联立得，
记，
，
当时，，当和时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
，
因为，所以，
又因为，
所以在上存在唯一零点，
则点为函数的“2度点”．
（2）①设直线与曲线相切于点，
，，
则，整理得，
对于给定函数我们定义它的导数为，定义它的导数的导数为.
设，则，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在R上递增，又，，，经检验符合题意；
②设点，曲线在点P处的切线方程为，
令，
曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，有唯一零点，
，且，
，令，则，
，，单调递减；
，，单调递增；
（i）若，由，；，，
在R上单调递增，只有唯一零点；
（ii）若，由，单调递增，且，
则当，，，
当，，
其中，，
必存在，使得，
，故在内存在零点，即在R上至少有两个零点；
（iii）若，同理利用，可得在R上至少有两个零点；
综上所述，函数的“1度点”为．
X
P