数学：重庆市名校联盟2024届高三下学期全真模拟考试试题（解析版）

这是一份数学：重庆市名校联盟2024届高三下学期全真模拟考试试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A. B. 10C. D. 8
【答案】A
【解析】所对应点关于虚轴对称，,
,
故选：A.
2. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 16B. 19C. 21D. 24
【答案】B
【解析】因为展开式的通项为，
所以的展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数是.
故选：B.
3. 若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由于，若，，则无法得到，故充分性不成立，
若，由于，所以，故必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 若随机变量满足且，则
B. 样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62
C. 当时，若事件A、B相互独立，则
D. 若A、B两组成对数据的相关系数分别为，则A组数据的相关性更强
【答案】D
【解析】对于A, 且，则,A正确，
对于B，由于，故样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为第5个数62，B正确，
对于 C, 事件A、B相互独立,则,
所以,C正确，
对于D，由于,所以组数据的相关性更强，D错误，
故选：D.
5. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为，
且，
因为函数有极值，所以在上有变号零点，
即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数的对称轴为，开口向上，
所以只需，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
6. 双曲线其中，2，3，，，2，3，，且，取到其中每个数都是等可能的，则直线：与双曲线左右支各有一个交点的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线左右支各有一个交点，则，总基本事件数为，
满足条件的的情况有：，共6个，
概率为，
故选：B．
7. 已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，恒有，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于，都有，
所以，，
又，故
由于，，故时，，由于，，故，
因此，故，
故选：B.
8. 已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆在点处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，所以，，所以，
故选D.
二、多项选择题
9. 已知函数的最小正周期为π，且对恒成立，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 函数的极大值点的集合是
D. 函数与函数的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】对于A，由函数的最小正周期为π，得，解得，A正确；
对于B，由恒成立，得是的最小值，
则，而，于是，B错误；
对于C，，由，得，
所以的极大值点的集合是，C正确；
对于D，由，
得函数与函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：ACD.
10. 已知数列，，记，，若且则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列中的最大项为
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，由已知，
当时，，即，，
当时，，即，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，A选项错误；
对于B，所以，，且数列单调递减，
所以数列中的最大项为，B选项正确；
对于C，，
，
所以，C选项错误；
对于D，又，所以，即，D选项正确；
故选：BD.
11. 棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若直线AK与平面PQR的交点为M，则
C. 四面体ABCD外接球的表面积是
D. 四面体KPQR的体积是
【答案】ABD
【解析】由于点K为BCD的重心，所以点K为BCD的中心，故平面，平面，所以，A正确，
由于该正四面体的棱长为，将该正四面体放入棱长为1的正方体中，则正方体的外接球即为四面体的外接球，故外接球的直径为正方体的体对角线，故,故表面积是，C错误，
由于三点共面，点K为BCD的重心，
所以
,
又四点共面，
所以,
由于共线，所以，解得，
故，B正确，
由于是的中点，所以
，
由选项B，可知，所以，
所以,,D正确，
故选：ABD
三、填空题
12. 已知向量满足，则______
【答案】
【解析】，
可得，
故，
故答案为：
13. 已知各项均为整数的数列满足，且前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，那么______；若正整数m恰使得那么满足条件的正整数取值集合为______
【答案】8
【解析】前6项依次成等差数列，设其公差为，
由于的各项均为整数，所以，
，
由于成等比数列，所以，即，解得或（舍去），
故则，
由于的各项为
若，则，满足题意，
若，则，不满足题意，
若，则，满足题意，
若，则，不满足题意，
若，由于第5项起依次成等比数列，且公比为2，则，
若，则，由于且，显然无解，故无满足题意的值，故取值集合为，
故答案为：8，
14. 已知，若实数m，n满足，则的最小值为______.
【答案】4
【解析】由可得，
故在单调递增，
而，
故得，
，
当且仅当，即时取等号，故答案为：4.
四、解答题
15. 在中，的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知点在线段上，且，求长.
解：（1）在中，由及余弦定理，得，
即，而，所以.
（2）由（1）知，由余弦定理得，
为三角形内角，则，而，于是，
在中，由正弦定理得，
所以.
16. 随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止.
（1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率；
（2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望.
解：（1）设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，，
所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为.
（2）设表示一天内模拟考试的次数，则，
由题意知：，，，，，
所以，
因为，所以，
所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟.
17. 三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．

（1）求侧棱的长；
（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）在平面内过作，垂足为，
因为侧面为矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
易得，面，平面平面，
所以平面，
因为，所以，
因为，，所以；
（2）存在点满足题意，，理由如下：
如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
设，则，
故，，
设平面的法向量为
则即，令，则，
故平面的一个法向量，
设直线与平面所成角，
则，解得，
故存在点E满足题意，所以.
18. 已知抛物线：与双曲线：相交于点．
（1）若，求抛物线的准线方程；
（2）记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．
解：（1）由，得，将其代入，得，
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）由，得，
由直线与相切，得，解得，切点，
由，得， 由直线与相切，得，解得，切点，于是，令，
则直线的方程为，点，由，得，
所以，点到直线的距离为，所以，
所以的面积为定值，该定值为.
19. T性质是一类重要的函数性质，具有T性质的函数被称为T函数，它可以从不同角度定义与研究.人们探究发现，当的图像是一条连续不断的曲线时，下列两个关于T函数的定义是等价关系．
定义一：若为区间上的可导函数，且为区间上的增函数，则称为区间上的T函数．
定义二：若对，，都有恒成立，则称为区间上的T函数．请根据上述材料，解决下列问题：
（1）已知函数．
①判断是否为上的T函数，并说明理由；
②若且，求的最小值
（2）设，当时，证明：．
（1）解：①由于，所以
记，则，
由于，所以，
故在单调递增，
由定义一可知，为上的T函数，
②由于为上的T函数，令，
由定义二可知，
所以，故当时可取等号，
故的最小值为，
（2）证明：设,为单调递增函数，
由定义一可得为上的函数，
，
由于，则，
由定义二可得，
即，
故，
所以.