内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

这是一份内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，点F是AE的中点，则eq \(BF,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))B．－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
C．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))D．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
2．(2023·大庆市铁人中学高一月考)已知向量a＝(2，2)，b＝(1，x)，若a∥(a＋2b)，则|b|＝( )
A．10B．2
C．eq \r(10)D．eq \r(2)
3．(2023·江苏常熟中学高一月考)设λ为实数，已知向量m＝(1，λ)，n＝(2，－1)．若m⊥n，则向量m－n与n的夹角为( )
A．eq \f(π,4)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(3π,4)
4．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－c)sinB＝2csinC且a＝eq \r(10)，csA＝eq \f(5,8)，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(\r(39),2)B．eq \r(39)
C．3eq \r(13)D．3
5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝( )
A．1B．2
C．3D．4
6．平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3，若eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(BD,\s\up6(→)),|\(BD,\s\up6(→))|)，则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝( )
A．2eq \r(3)B．3eq \r(3)
C．4eq \r(3)D．3
7．已知非零向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．以上均有可能
三角形．又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，∴csA＝eq \f(1,2)，∴A＝eq \f(π,3).故△ABC为等边三角形．故选C.
8．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cs2α)和b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m,2)＋sinα))，其中λ，m，α为实数，若a＝2b，则eq \f(λ,m)的取值范围是( )
A．[－6，1]B．[4，8]
C．(－∞，1]D．[－1，6]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．(2023·山东济南高一月考)已知平面向量a＝(1，0)，b＝(1，2eq \r(3))，则下列说法正确的是( )
A．|a＋b|＝16
B．(a＋b)·a＝2
C．向量a＋b与a的夹角为30°
D．向量a＋b在a上的投影向量为2a
10.已知图中∠AOC＋2∠BOC＝180°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，BC∥OA，P为图中的阴影中(含边界)任意一点，并且eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，下列命题正确的是( )
A．0≤x＋y≤1
B．|x|＋|y|≤x2＋y2
C．x2＋y2≤2
D．存在无数个点P，使得y＝1
11．对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，下列结论正确的是( )
A．a*b＝b*a
B．λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)
C．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
D．若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1
12．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图2所示，若AB＝7，DE＝2，则( )
A．BD＝3
B．AD＝5
C．cs∠ABD＝eq \f(13,14)
D．△ABD的面积为eq \f(15\r(3),4)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
14．(2023·四川攀枝花高一段考)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，且eq \(DC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝1，则AC的长是________．
15．已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cs∠BDC＝________．
16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________ m.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000 km到达B地，然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移．
18．(2023·山东烟台高一诊断)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，eq \r(3)b)与n＝(sinB，－csA)垂直．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＝2，求△ABC的面积．
19．(本小题满分12分)已知|a|＝eq \r(10)，|b|＝eq \r(5)，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1)当b⊥c时，求实数x的值；
(2)当|c|取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
20．(本小题满分12分)设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq \(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a－3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝1，A＝eq \f(2π,3)，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2).
(1)求a的值；
(2)若D为BC上一点，且____________，求sin∠ADB的值．
从①AD＝1，②∠CAD＝eq \f(π,6)这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6，0)，C(1，eq \r(3))，点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(eq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OP,\s\up6(→)))⊥eq \(CM,\s\up6(→))？若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案
1．
答案 B
解析 因为F是AE的中点，所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，因为点E是边CD的中点，所以eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)).故选B.
2．
答案 D
解析 因为a＋2b＝(4，2x＋2)，且a∥(a＋2b)，所以2(2x＋2)－2×4＝0，解得x＝1，所以b＝(1，1)，|b|＝eq \r(2).故选D.
3．
答案 D
解析 因为m⊥n，所以m·n＝2－λ＝0，解得λ＝2，所以m＝(1，2)，m－n＝(－1，3)，所以(m－n)·n＝－2－3＝－5，|m－n|＝eq \r(10)，|n|＝eq \r(5)，所以cs〈m－n，n〉＝eq \f(（m－n）·n,|m－n||n|)＝eq \f(－5,\r(10)×\r(5))＝－eq \f(\r(2),2)，又〈m－n，n〉∈[0，π]，所以m－n与n的夹角为eq \f(3π,4).故选D.
4．
答案 A
解析 由正弦定理，得(b－c)b＝2c2，得b2－bc－2c2＝0，得b＝2c或b＝－c(舍去)．由a2＝b2＋c2－2bccsA，得c＝2，则b＝4.由csA＝eq \f(5,8)，知sinA＝eq \f(\r(39),8).所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×4×2×eq \f(\r(39),8)＝eq \f(\r(39),2).故选A.
5．
答案 B
解析 由已知得BC＝eq \r(2)，∠BCD＝135°，所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·(eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝eq \(MB,\s\up6(→))·eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)×cs180°＋eq \f(\r(2),2)×1×cs135°＋2×eq \f(\r(2),2)×cs45°＋2×1×cs0°＝2.故选B.
6．
答案 B
解析 因为eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(BD,\s\up6(→)),|\(BD,\s\up6(→))|)，所以四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|＝3，所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝3eq \r(3).故选B.
7．
答案 C
解析 ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，∴角A的平分线所在的向量与eq \(BC,\s\up6(→))垂直，∴△ABC为等腰三角形．又eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，∴csA＝eq \f(1,2)，∴A＝eq \f(π,3).故△ABC为等边三角形．故选C.
8．
答案 A
解析 由a＝2b，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋2＝2m，,λ2－cs2α＝m＋2sinα，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝2m－2，,λ2－m＝cs2α＋2sinα，))又cs2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2，所以－2≤cs2α＋2sinα≤2.所以－2≤λ2－m≤2.将λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，解得eq \f(1,4) ≤m≤2，所以eq \f(λ,m)＝eq \f(2m－2,m)＝2－eq \f(2,m)∈[－6，1]．故选A.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．
答案 BD
解析 由题意，得a＋b＝(2，2eq \r(3))．对于A，|a＋b|＝eq \r(22＋（2\r(3)）2)＝4，故A不正确；对于B，(a＋b)·a＝2×1＋2eq \r(3)×0＝2，故B正确；对于C，因为cs〈a＋b，a〉＝eq \f(（a＋b）·a,|a＋b||a|)＝eq \f(2,4×1)＝eq \f(1,2)，所以向量a＋b与a的夹角为60°，故C不正确；对于D，向量a＋b在a上的投影向量为eq \f(（a＋b）·a,|a|)·eq \f(a,|a|)＝2a，故D正确．综上所述，选BD.
10.
答案 ACD
解析 当点P在OB上时，|x|＝|y|，x＋y＝0，当点P在△OBC内时，|x|