北京市清华大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份北京市清华大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若收入5元记为，则支出1元记为（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正负数的应用，明确具有相反意义的量是解题的关键．
收入和支出是一对具有相反意义的量，如果收入记为“+”，则支出记为“-”，由此解答即可．
【详解】∵收入5元记为，
∴支出1元记为，
故选：B．
2. 下列关于等边三角形的描述不正确的是（ ）
A. 是轴对称图形B. 对称轴的交点是其重心
C. 是中心对称图形D. 绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形的轴对称性，三线合一的性质逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. 等边三角形是轴对称图形，正确，不符合题意，
B. 等边三角形的对称轴的交点是其重心，正确，不符合题意，
C. 等边三角形不是中心对称图形，符合题意，
D. 等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形重心，中心对称图形与轴对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3. 在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（ ）
A. 6个B. 15个C. 13个D. 12个
【答案】D试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。【解析】
【分析】设袋中白球的个数为x，由摸到红球的频率稳定在20%附近，列出方程，进而求出白球个数即可．
【详解】解：
根据题意，得：＝20%，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是分式方程的解，
所以口袋中白球可能有12个．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
4. 计算的结果是（ ）
A. a2bcB. C. 7a2bcD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则计算解答即可．
【详解】解：
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项，关键是根据合并同类项的法则计算．
5. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
6. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
7. 如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是( )
A. 142°B. 132°C. 58°D. 38°
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
8. 正整数a、b分别满足，，则（ ）
A. 4B. 8C. 9D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算．
【详解】解：，，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查无理数的估值，掌握立方根，平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定的值是解题的关键．
9. 如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交FD于点M，求出，再证明，即可知④正确．
【详解】解：∵旋转得到，
∴，
∵为正方形，，，在同一直线上，
∴，
∴，故①正确；
∵旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
设正方形边长为a，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，
∵，
∴，故③正确；
过点E作交FD于点M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
10. 如图，已知双曲线与正比例函数交于A、C两点，以为边作等边三角形，且，再以为斜边作直角三角形，使轴，连接．若的周长比的周长多4，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要应用了反比例函数的性质、正比例函数的性质、勾股定理，平行线分线段成比例定理的推论等知识，先根据等边三角形的面积求出边长，根据的周长比的周长多4，推出，解求出，，根据反比例函数的性质可得：，根据平行线分线段成比例定理的推论得出，求出，，进而可求值
【详解】解：如图所示：记与x轴的交点为E，
∵以为边作等边三角形，且，
∴设的长为x，则边上的高为，
∴，
解得（负数舍去），即，
∵的周长比的周长多4，，是公共边，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得：，（不合题意舍去），
∴，，
由反比例函数的性质可得：，
∵中，
∴，
∴，
∴．
故选D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．
12. 甲、乙两地的实际距离是30千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是_________厘米．
【答案】6
【解析】
【分析】根据实际距离比例尺图上距离，代入数据计算即可．
本题考查了有关比例尺的计算，解题的关键是理解数字比例尺的含义：即图上1厘米代表实地距离500000厘米，因此在计算时要注意将实地距离的单位换算成厘米．
【详解】解：30千米厘米，
厘米，
故答案为：6．
13. 设，是方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴；
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到，．
14. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可．
15. 《九章算术》第九章“勾股”问题十九：“今有邑方（正方形小城）不知大小，各开中门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问：邑方几何（小城的边长）？”根据描述如图所示，其中E表示西门，F表示北门，G处是木（E，F分别是所在边的中点）．则邑的边长为__步．
【答案】300
【解析】
【分析】根据题意，可知Rt△AHE∽Rt△GAF，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．
【详解】解：设正方形城池的边长为x步，
由题意可得，Rt△AHE∽Rt△GAF，
∴＝，
即，
解得，（不合题意，舍去），
答：正方形城池的边长为300步．
故答案为：300．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
16. 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
【答案】
【解析】
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】数字可以化成：
，，，；
，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为
故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
17. 如图，与相切于点，，的半径为，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
连接，根据切线的性质得到，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接，
与相切于点，
，
在中，，，
∴，
故答案为：．
18. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点D作的垂线交小正方形对角线的延长线于点G，连接，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质．作辅助线，令与的延长线相交于M点，交于N点，设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为，设则，在中利用勾股定理解得，由于为小正方形的对角线，则，接着判定为等腰直角三角形，然后证明为等腰直角三角形，接着利用勾股定理计算出，从而得出的值．
【详解】解：如图，与的延长线相交于M点，交于N点，
大正方形的面积是小正方形面积的5倍，
设小正方形边长为x，则大正方形的边长为，
设则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
为小正方形的对角线，
，
，
，
等腰直角三角形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. （1）计算．
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查零指数幂公式，负整数指数幂公式，去绝对值，二次根式的混合运算，解分式方程等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用零指数幂公式，负整数指数幂公式，去绝对值，二次根式的混合运算等知识计算即可；
（2）根据解分式方程的一般步骤求解即可；
【详解】解：（1）原式
；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，
经检验：都是原方程的解．
20. 数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）
【答案】82米
【解析】
【分析】设的长为，可以得出BD的长也为，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．
【详解】解：设为，
∵，∠CDB=90°，
∴，
∴，
在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，
即，
∴
∴．
答：此建筑物的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确的找准每一个直角三角形中边的关系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解题的关键．
21. 某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【答案】（1）500元；
（2）方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【解析】
【分析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出各进货方案．
【小问1详解】
解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
，
解得：，
∴元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
【小问2详解】
解：设购进菠萝mkg，则购进苹果，根据题意：
，解得：，
∵m，均为正整数，
∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22. “赏中华诗词，寻文化基因”，我市某校举办了首届“中国诗词大会”．赛后调查整理部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请结合图表完成下列各题：
（1）求被调查的总人数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生B和男生M的概率．
【答案】（1）（人）；（2）作图见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用A等级人数除以A等级所占百分比可求被调查的总人数为（人）；
（2）从总数中减去其它等级的人数求出B等级人数，然后可以将条形统计图补充完整；
（3）根据题意女生用A、B、C，男生用M、N，画出树状图，从上图可知从3名女生和2名男生中分别抽取1人一共有6种等可能情况，其中抽到女生B和男生M的情况有1种，利用概率公式计算即可．
【详解】解：（1）从条形图可知A等级有3人，从扇形统计图知A等级所占百分比为15%，
所以被调查的总人数为（人）；
（2）B等级人数为（人）．条形统计图补充完整如图，
；
（3）根据题意女生用A、B、C，男生用M、N画树状图如下：
,
从上图可知从3名女生和2名男生中分别抽取1人共有6种等可能情况，其中抽到女生B和男生M的情况有1种，
∴抽到女生B和男生M的概率为．
【点睛】本题考查从条形图，扇形图获取信息能力，样本的容量，画条形图，树状图，概率，掌握以上知识是解题关键．
23. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
（1）AC＝BD；
（2）△ABE∽△DCE．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．
【小问1详解】
∵＝
∴＝
∴
∴BD=AC
【小问2详解】
∵∠B=∠C
∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE
【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．
24. 如图，在中，，，，点是边上的动点点不与，重合，过点作于，过点作，交于点，连接，设的长度为．
（1）求证：；
（2）若存在一点，使得四边形为平行四边形，求出此时的值；
（3）若四边形的面积为，请用的表达式表示．
【答案】（1）见解析 （2）存在，
（3）
【解析】
【分析】（1）由可得，根据平行线的性质得，由相似三角形的判定可得结论；
（2）由勾股定理可求的长，由得，根据相似三角形的性质可求得，由知，可得，根据平行四边形的性质得，则，即可得的值；
（3）求出，由知，根据勾股定理得，根据四边形的面积为即可求解．
【小问1详解】
证明：，
∴，
∵，
，
；
小问2详解】
解：在中，，，，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：；
【小问3详解】
解：，
，
，，
，
，
由（2）知，
，
四边形的面积为
．
【点睛】本题是相似三角形的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理得出线段之间的等量关系是本题的关键．
25. 如图，直角梯形的顶点的坐标分别为、和．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线过原点O与点，且对称轴为过点与y轴平行的直线，求抛物线的函数关系式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）抛物线上存在一点，使得最小．理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知点D与点C的纵坐标相同，点D的横坐标等于，据此可得出点D的坐标．
（2）将原点坐标与点代入抛物线解析式，并联立对称轴方程，即可求得抛物线的函数关系式．
（3）画图可看出抛物线经过梯形的内部，猜想存在一点P，正好经过梯形对角线的交点，使得最小，通过计算梯形对角线交点的坐标并代入抛物线解析式进行验证，结论成立．
【小问1详解】
解：由直角梯形与，，可知，
，点D与点C的纵坐标相同，均为3．
由点知，又，
∴点D的横坐标为：．
∴点．
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式是：．
【小问3详解】
解：如图，抛物线经过梯形的内部，
设直线的解析式为，将的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：．①
设直线的解析式为，将的代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：．②
联立①②，组成方程组：，解得：，
即：直线与直线的交点坐标是．
将点代入抛物线方程，等式左右两边相等，
∴点在抛物线上．
在抛物线任取一点，
∵，
∴，
即
故抛物线上存在一点，使得最小．
【点睛】本题考查了等腰梯形和平行线的性质，用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形三边的之间关系等，运用数形结合的思想来解题是关键．
26. 如图所示，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点在原点，，若矩形以每秒个单位长度沿轴正方向做匀速运动同时点从点出发以每秒个单位长度沿的路线做匀速运动当点运动到点时停止运动，矩形也随之停止运动．
（1）求点从点运动到点所需的时间；
（2）设点运动时间为秒．
①当时，求出点的坐标；
②若的面积为，试求出与之间的函数关系式并写出相应的自变量的取值范围．
【答案】（1）16秒 （2）①；②
【解析】
【分析】根据路程，速度，时间关系，构建方程求解；
当时，点从点运动到上，此时点到点的时间秒，，，再过点作于点，则，，得出，所以得出点的坐标；
可分三种情况“，，”进行讨论解题即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，行程问题等知识，解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【小问1详解】
由题意，
点从点运动到点所需的时间为秒；
【小问2详解】
当时，点从点运动到上，
此时点到点的时间秒，，
，
过点作于点，则，，
，
点坐标为；
分三种情况：
当时，点在上运动，此时，，
；
当时，点在上运动，此时，
；
当时，点在上运动，此时，，
，
；
综上所述，与之间的函数关系式是：．水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50