河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考(5月月考)数学试题

这是一份河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考(5月月考)数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷共4页，满分150分，下列说法中正确的是，已知复数，，下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
考试范围：平面向量及其应用、复数、立体几何初步、统计（第一节）
命题人：吕军朝 一审：李振生 二审：胡巧云
说明：1．本试卷共4页，满分150分。
2．请将所有填写在答题卡上，答在试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足，则z在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图所示，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况．在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（ ）
A．总体 B．个体 C．总体的一个样本 D．样本容量
4．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ）
A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生
C．最少有618名学生 D．最少有617名学生
5．已知正四面体ABCD，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．平行四边形ABCD中，，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（ ）
①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l与平面不平行，则l与相交
B．直线l在平面外，则直线l上不可能有两个点在平面内
C．如果直线l上有两个点到平面的距离相等，则直线l与平面平行
D．如果a，b是异面直线，，，则AC，BD是异面直线
10．已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
11．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点P是棱BC的中点，点M满足，点R为BM的中点，点Q是棱AB上靠近点B的四等分点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．的最小值为
C．平面PQR
D．当时，过点P，A，R的平面截正三棱柱所得图形的面积为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．如图是正方体平面展开图，在这个正方体中：
（1）；（2）CN和BE是异面直线；（3）CN和BM成角；（4）；以上四个命题中正确的序号是________．
13．要考查某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子依次是________．
（下面抽取了随机数表第1行至第3行）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
14．根据祖原理，介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等，若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为________．（注：）

图1 图2
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某化工厂三个车间男、女工人数如下表：
若按车间人数用分层抽样的方法抽取100名工人，则应在第一车间抽取35名工人，在第二车间抽取25名工人．
（1）求这三个车间的工人总数及x的值；
（2）若按工人性别用分层抽样的方法在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工．求该化工厂这三个车间女工与男工的人数比．
16．（15分）如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是，中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l．
（1）画出直线l的位置，并说明作图依据；
（2）正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积．
17．（15分）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，，平面ABCD．将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点到达点Q的位置，且平面平面ABD．
（1）求证：平面QBD；
（2）若，求多面体ABDQP体积．
18．（17分）如图，在四棱柱中，ABCD是边长为2的菱形，且，，，侧面底面ABCD，E为DC中点．
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）求三棱锥的体积．
19．（17分）如图，在直三棱柱中，M，N，P分别为AB，BC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在上是否存在一点E，使得与BP垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
邢台一中2023-2024学年第二学期第三次月考
高一数学试题答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题
DACDB BBA
二、多选题
9．BD 10．AC 11．AC
三、填空题
12．【答案】（3）（4） 13．【答案】774，428，114，572 14．【答案】1.48
四、解答题，本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（12分）
【答案】（1）1000，
（2）
【详解】（1）设这三个车间的工人总数为n，
则，解得．
由，得．
（2）∵在第三车间抽取8名工人，则其中有5名女工，
∴，即．
又由（1）易知，
∴，．
∴．
∴该化工厂这三个车间女工与男工的人数比为．
16．【详解】（1）如图所示即为所求：
依据如下：延长DM交的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．
∵，∴平面DMN，平面，
∴平面平面，又由题意显然有平面平面，
∴平面平面，则NE即为直线l的位置，．（也可根据线面平行性质确定直线位置）
（2）如图所示：设直线l与交于点P，则P为四等分点，正方体被平面DMN截成两部分，较小部分为三棱台，其体积为
．
17．【答案】（1）证明见解析；（2）12．
【分析】（1）取BD中点H，连接QH，由已知可得，平面平面ABD，得平面ABD，所以，可得答案．
（2）算出利用，可得．
【详解】（1）取BD中点H，连接QH，四边形ABCD是边长为4的菱形，，
则为正三角形，所以，而平面平面ABD，
平面平面，平面QBD，
所以平面ABD，
因为平面ABD，所以，平面QBD，所以平面QBD．
（2）依题意，，
由（1）知，平面QBD，
所以点P到平面QBD的距离与点A到平面QBD的距离相等，则，
而，
所以多面体ABDQP的体积为
．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由已知易证，利用线面垂直可得，进而可证，利用线线垂直可得平面，可证结论成立；
（2）求得的面积，C到平面距离，利用可求体积．
【详解】（1）取的中点F，连结，CF，
由E为DC中点，知，
ABCD是边长为2的菱形且，E为DC中点，
∴，故，
又由，，平面，
∴平面，平面，∴，
又∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，∴，
又∵，，平面，
∴平面，平面ABCD，∴平面平面ABCD．
（2）由（1）知，，∴的面积为，
∵侧面底面ABCD，又∵，∴，
∴E到平面距离为，即C到平面距离为，
∴三棱锥的体积．
19．【详解】（1）连接，由于M，N分别是AB，BC的中点，所以，
由于，所以，所以M，N，，四点共面，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，由于平面，平面，
所以面．
（2）
（3）第一车间
第二车间
第三车间
女工人数
150
100
y
男工人数
200
x
z