2024年福建省福州第十九中学中考模拟数学试题

这是一份2024年福建省福州第十九中学中考模拟数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．-2024的绝对值是（ ）
A．2024B．-2024C．D．
2．据工信部发布消息，2023年我国全年汽车产销量突破3000万辆．数字3000万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（ ）
A．核安全B．国土安全
C．生产安全D．军事安全
4．如图是生活中常用的“空心卷纸”，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（ ）
A．70°B．72°C．60°D．108°
6．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球．从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．红色B．黄色C．蓝色D．绿色
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（ ）
A．-4B．-3C．-2D．-1
9．如图，AB是⊙O的直径，直线EC切⊙O于B点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数，其中，点，是二次函数图象上两点，若，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：________．
12．方程的解为________．
13．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为-1和2，若点B是AC的中点，则点C表示的数是________．
14．某校为了了解九年级学生的课后作业量，随机调查了30名学生每天完成作业的时长，调查数据统计如下表：
请你估计该校九年级学生每天完成作业的平均时长约是________h．
15．如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以AB长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做莱洛三角形．若，则此莱洛三角形的周长为________．
16．如图，在中，，，DE是过点C的直线，，，则与通过下列变换：
①绕点C旋转后重合；
②沿AB的中垂线翻折后重合；
③绕中点M逆时针旋转90度后，与重合；
④先沿ED方向平移，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则与重合．其中正确的有________（填空序号）．
三、解答题（共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率．
20．（8分）如图，在中，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，求证：．
21．（8分）微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户，小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个新年拼手气红包，将三个随机红包记为A，B，C，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．
（1）爸爸抢到红包A的概率为________；
（2）请你利用画树状图求妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的概率．
22．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且，．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）连接BE、EF，若，求证：．
23．（10分）根据素材解决问题：
24．（12分）已知二次函数．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：；
（2）若，已知点，点，当二次函数的图象与线段MN有交点时，直接写出a的取值范围．
25．（14分）如图，在中，，，点D为平面内一动点（点A，B，D三点不共线），且，连接BD．
（1）在BD上确定一点E，连接AE，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF．
①求证：；
②若直线AE与直线CF相交于点G，连接BG．当的面积最大时，求的值．
2023-2024学年福州第十九中学毕业班教学质量监测
参考答案及评分标准
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．1； 12．，； 13．5； 14．1.5； 15．5π； 16．③④．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：解不等式①得：，3分
解不等式②得：，6分
∴原不等式组的解集为：8分
18．解:原式2分
4分
，6分
当，原式8分
19．解：设该品牌头盔月销售量的平均增长率为x，
依题意得：4分
解得：，（不合题意，舍去）．7分
答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为20%．8分
20．证明：∵，，
∴，4分
∵，
∴．8分
21．解：（1）；3分
（2）树状图如下所示：
5分
由上可得：共有6种等可能结果，妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的结果有1种，
∴妈妈抢到红包B，同时小李抢到红包C的概率为．8分
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，2分
在和中，，
∴，3分
∴，
∴矩形ABCD是正方形；5分
（2）由（1）可知，，∴，∴，
∵，∴，7分
∵，∴，8分
∴，
∵，
∴，
∴．10分
23．解：任务1，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图．
设桥拱的半径为rm，则，
∵，∴，2分
∵，∴，
∴，即圆形拱桥的半径为10m；5分
任务2，根据图3状态，货船通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过．
理由：当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图，
∵四边形EFGH为矩形，∴，
∵，∴．
∴．
∴，7分
∵，∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，9分
∵货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m．
∴船在水面部分可以下降的高度（吨），
∴至少要增加10吨的货物才能通过．10分
24．（1）①解：当时，，1分
∵函数图象的对称轴为直线，且过点，
∴，解得，3分
∴函数的表达式为；4分
②证明：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，∴，5分
∴，7分
∵，∴，
∴；8分
（2）或．12分
25．（1）如图所示，线段AE为所求．
4分
（2）①证明：延长AE至点M，使得，连接DM，BM，则由（1）可知：四边形ABMD是平行四边形．
∴，，
由旋转得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，8分
∴，
∵，∴；10分
②如图，由①可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故点G在以AC为直径的的⊙O上运动．12分
过点G作于点H，则
∵，∴，
∴当的面积最大时，点G，O，H在一条直线上，
∴，
在中，，
．14分
时长/h
2.5
2
1.5
1
0.5
人数
3
6
12
6
3
设计货船通过圆形拱桥的方案
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离．
素材2
如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m．
问题解决
任务1
确定桥拱半径
（1）求圆形桥拱的半径；
任务2
拟定设计方案
（2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
B
D
C
B
B
A