安徽省合肥一六八中学（东校区）2024届高三下学期最后一卷（三模）数学试卷

这是一份安徽省合肥一六八中学（东校区）2024届高三下学期最后一卷（三模）数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设是三个不同平面，且，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，首项，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若是复数，则下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则是实数
C．若，则D．方程在复数集中有6个解
10．在棱长为2的正方体中，点分别为线段的中点，点在线段上，且，则（ ）
A．平面截正方体得到的截面多边形是矩形
B．平面平面
C．存在，使得平面平面
D．当时，平面截正方体得到的截面多边形的面积为
11．已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有__________．
13．已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______．
14．已知曲线的方程为，过作直线与曲线分别交于两点．过作曲线的切线，设切线的交点为．则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、说明证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且
（1）求此山的高的值；
（2）求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
16．（15分）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二
（1）求证：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为、，且各场比赛互不影响．
（1）若，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试求当取何值时，取得最大值．
18．（17分）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时，
（ⅰ）求证：为定值
（ⅱ）求动点的轨迹方程．
19．（17分）把满足任意总有的函数称为和弦型函数。
（1）已知为和弦型函数且，求的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值；
（3）若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．
2024届数学最后一卷答案
1．B 2．A 3．D 4．D 5．D
6．D 解析：由可得，
所以可得，
故选：D
7．解析：由，得．
因为，所以点在线段上，且．
如图，过点作，交的延长线于点，则，
所以，所以．
设，则，所以．
由双曲线的定义可知，所以，
则．设，则．
在中，由余弦定理，得，
即，所以，
则（负值已舍去）．故选：B．
8．D 【详解】设，当时，，此时，
由得，即，解得或，
所以在上有2个零点，时，若，对称轴为，函数的大致图象如图：
此时，即，则，
所以无解，则无零点，无零点，
综上，此时只有两个零点，不符合题意，
若，此时的大致图象如下：
令，解得，
显然令在上存在唯一负解，
要使恰有5个零点，
故，即，解得，
所以．故选：D
9．答案：AD
解：对于A，由复数共轭的性质知，设，
则，
所以，选项A正确；
对于B，当时等式成立，故B错误；
对于C：，整理得
，故，整理得，与不等价，故C错误；
对于D，可化为，即，
所以，当时，，解得；
当时，，解得或；
所以复数集中原方程有6个解，选项D正确；
10．答案：ABC
解：如图，连接，则，
由正方体的性质可得点是侧面的中心，点是正方体的中心，
连接并延长交侧面于点，则点是侧面的中心，且．
设平面交于点，交于点，交于点，连接，
平面平面．
平面平面，
又平面，由题意知，
平面截正方体得到的截面多边形是矩形，故A正确；
点是正方体的中心，三点共线，
平面即为平面，
平面，
平面，
又平面平面平面，即平面平面，故B正确；
当时，点与点重合，平面即为平面，
由选项可知平面平面，即平面平面，故C正确；
当时，，则，
又，
截面多边形的面积为，故D错误．
11．答案：AB．
解：由是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，故．
对于A，由，
得，
所以，
代入，得，
又因为是奇函数，
所以，，即，
所以是周期函数，且周期为，故A正确；
对选项B，令得，，
令得，，故，故B正确；
对于C：令，
得，所以，
即，因为，所以，故C错误；
对于D：，所以，
，所以周期为4．
故D错误．
12．504 解：分为两种情况：第一种情况：叶光富站最右边，共有种排法；
第二种情况：叶光富不站最左边与最右边，则共有种排法，
由分类加法计数原理可知，总共有种排法．
13． 解：
，
由得
若区间上只有一个零点和两个最大值点，
则只需，解得．
14．5 解：可求得点轨迹为，则的最小值为5．
二、解答题
15．解：（1）设，在中，因为，所以，同
理，在中，，
在中，由余弦定理得，
由，解得，所以此山的高为；
（2）由（1）得，设是线段上一动点，连结，
则在点处观测点的仰角为，且，
当时，最短，由，得，所以，
所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为．
16．（1）证明：延长交于点且，则．
延长交于点，则．则，
与重合与点．则为三棱锥
设为中点，，又易得，
又平面
（2）（方法一）为中点，，
又
以为坐标原点，为轴建系，则
，易得为平面法向量，
（方法二）
设到面的距离为
求直线与平面所成角的正弦值为
17．【解析】（1）由题可知，的可能取值为．
因为，所以
故的分布列为
（2）设一天得分不低于4分为事件，则
则，
则．
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值．
18．解：（1）设点，由题意可知，即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
（2）设点，其中且，
（i）证明：由（1）可知的方程为，
因为，所以，
因此，三点共线，且，
设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
（定值），
（ⅱ）由椭圆定义，得，
，
解得，
同理可得，
所以
．
所以，点在以点为焦点长轴长为6的椭圆上，由于点均在轴上方，所以动点的轨迹方程为
19．解析：
（1）令，则，可得；
令，则，则；
（2）令，则．
，即，又，
原式．
（3）由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令为任意实数，
则，即是偶函数；
为有理数，不妨设，令为，分母的最小公倍数，且均为自然数，且．
设，则；
令，则即
，故数列单调递增，
，又是偶函数，所以有。2
3
4
5