江苏省前黄高级中学2024届高三下学期三模适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省前黄高级中学2024届高三下学期三模适应性考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知，则( )
A.B.C.D.
2．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为( )
A.B.C.D.
3．展开式中的系数为( )
A.-5B.5C.15D.35
4．已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
5．已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为，若，则d等于( )
A.2B.3C.4D.5
6．已知函数,则( )
A.在上单调递减B.的图象关于直线对称
C.在上单调递增D.的图象关于点对称
7．点M将一条线段AB分为两段AM和MB,若,则称点M为线段AB的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交,A,B,C为相邻的三个交点,则( )
A.当时,存在使点B为线段AC的黄金分割点
B.对于给定的常数,不存在a使点B为线段AC的黄金分割点
C.对于任意的a,存在使点B为线段AC的黄金分割点
D.对于任意的,存在a使点B为线段AC的黄金分割点
8．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为( )
A.B.C.3D.2
二、多项选择题
9．已知，为两个平面，且，m，n是两条不重合的直线，则下列结论正确的是( )
A.存在，使得
B.存在，使得
C.对任意，存在，使得
D.对任意，存在，使得
10．已知定义在R上的函数满足,且,若,则( )
A.
B.的图象关于直线对称
C.是周期函数
D.
11．如图，在正四棱柱中，是棱的中点，P为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是( )
A.是平面EDC的一个法向量
B.
C.点P到平面的距离为
D.二面角的正弦值为
三、填空题
12．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中P，Q分别在边，上），则的取值范围________.
13．若X是一个集合，T是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于T，空集属于T；②T中任意多个元素的并集属于T；③T中任意多个元素的交集属于，则称T是集合X上的一个拓扑.已知函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，当，时，函数值域为集合，则集合上的含有4个元素的拓扑T的个数为________.
四、双空题
14．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则________秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为________.
五、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，求的面积的最大值.
16．设数列为等差数列，前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，证明：.
17．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家把一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格产品的概率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品都合格时才接收这些产品，否则拒收.
①求该商家检验出不合格产品件数的均值；
②求该商家拒收这些产品的概率.
18．如图,在三棱柱中,侧面为矩形.
(1)设为中点,点在线段上,且,求证：平面;
(2)若二面角的大小为,且,求直线和平面所成角的正弦值.
19．已知椭圆，过右焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.当轴时，，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求定点坐标；
(3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，
所以.
故选：A.
2．答案：A
解析：从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有,,,,,,,,,,,,,,共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有,,共3种情况，
所以所求的概率为.
故选：A.
3．答案：A
解析：若要产生这一项，则
当在中取1时，再在中取2个、取4个1，
当在中取时，再在中取3个、取3个1，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
4．答案：C
解析：由已知得圆锥母线是球半径，设球半径为R，圆锥底面圆半径为r,
由圆锥高为3，得，
由圆锥的侧面展开图是一个半圆得：，
联立方程组，解得，所以球表面积为，
故选：C.
5．答案：A
解析：由等差数列的前n项和公式可得，
，
故选：A
6．答案：D
解析：对于AC,当时,,则函数在上先增后减,A,C错误;
对于B,而,则的图象不关于直线对称,B错误;
对于D,,则的图象关于点对称,D正确．
故选：D.
7．答案：D
解析：若,则,即点M为线段AB的黄金分割点;当时,,不存在使点B为线段AC的黄金分割点,故选项A,C错误;如下图,
当时,,当时,,则,则存在一个使得,故选项B错;对于选项D,若与相交于相邻的三点A,B,C,其横坐标分别为,,,则,将变换成后,点A,B,C分别对应到点,,,且满足,,,故,即,对比值无影响,故选项D正确.
8．答案：D
解析：如图所示，根据双曲线的定义，，，，
在中，由余弦定理得,
即，
又因为，所以，
所以，即.
在，中，由余弦定理得，，
且，，
所以，
化解得，
即，
，
，
所以，
即，则
故离心率.
故选：D.
9．答案：BC
解析：对A，只有当时，才能存在，使得，故A错误；
对B，当时，结合线面平行的性质可得，故B正确；
对C，若则原命题成立；若两平面不垂直，则对任意，设，使得a为m在平面上的射影，存在，使得，此时，故C正确；
对D，当时，在平面上不存在直线n使得，故D错误.
故选：BC
10．答案：BCD
解析：由,得,
则,即,因此是周期为4的周期函数,C正确;
令,得,则,因此,A错误;
由,得,则,
因此的图象关于直线对称,B正确;
由,得的图象关于直线对称,
因此直线及均为图象的对称轴,
从而,,令,得,
即,则,
故
,D正确.
故答案为:BCD
11．答案：ACD
解析：由于是正四棱柱，易知，在中，因为，，所以，故，又平面EDC，平面EDC，，所以平面EDC，故A正确；
在中，因为，，，则，在
中，利用余弦定理可求得或（舍去），因此，故B错误；
，，，，因此，因为平面EDC，所以，，设点B到平面的距离为，因此，由于，所以点P到平面的距离为，故C正确；
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，为平面EDC的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则令，，，因此二面角的正弦值为，故D正确，故选ACD.
12．答案：
解析：设，,
则，，.
以点A为坐标原点,，所在直线分别为x，y轴建立坐标系,
则，，，，，
所以.
令，，则，.
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，，所以在上的值域为，
所以.
故答案为：.
13．答案：9
解析：因为函数，其中[x]表示不大于x的最大整数，当,时，函数值域为集合，所以，故，
①当时，则，，
②当时，显然，
③当时，，，
④当时，，
，
∵T中含有4个元素，其中两个元素和，
设其它两个元素为A，B，则，
由对称性，不妨设，其中，表示集合A中元素的个数，
，又，或A，
若，则只能等于，（若，则，则，矛盾），
则必有，
∴的个数A的个数种.即或或；
若，此时满足，
且且，
所以，
∴B的选择共有种，则A的个数有种，
∴的个数种.
这6种是，，，，，，
综上可知T的个数为9个.
故答案为：9.
14．答案：；
解析：以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速，
设点，圆上两点A、B始终保持，
则，要使A、B两点的竖直距高为0，
则，第一次为0时，，解得，
.
故答案为：；
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，
所以，
由正弦定理：，得，
故，因为，故.
（2）由（1）可知，又，则，
由基本不等式可知，解得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的面积最大值为.
16．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1），
由，
所以，，
所以.
（2）
所以
17．答案：(1)0.9984；
(2)①；②
解析：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A，
则；
（2）①设商家可能检验出不合格产品数为，则的可能的取值为0,1,2，
，
，
，
；
②记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，
则商家拒收这批产品的概率，
所以商家拒收这批产品的概率为.
18．答案：（1）2
（2）
解析：（1）连接交于E,连接,
因为侧面为矩形,
所以,又M为中点,
所以,又因为,所以.
所以,又平面,平面,所以平面.
（2）在平面中,过点C作射线,
因为底面为矩形,所以,
所以为二面角的平面角,且.
又,,平面,所以平面,
在平面中,过点D作,垂足为G,连接,
因为平面,平面,
所以,又,平面,平面,
所以平面,
则即为直线和平面所成的角,
于是为点D到平面的距离,且,
设直线和平面所成角为,又,
则,
所以直线和平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1)；
(2)证明见解析，；
(3)
解析：（1）由题意可得，解得，，
则椭圆C的标准方程为.
（2）B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0，
设直线，联立椭圆，
消去x得：，
由韦达定理得：，则中点，
由，所以以代替m可得，
所以，
，
化简得，
则过定点.
当时，取，，则过定点；
当时，取，，则过定点；
综上直线过定点.
（3）M，N分别为，的中点，
，
由（2）知，
以代替m可得，
所以
当且仅当即时，.