四川省资阳市2024届高三二模数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省资阳市2024届高三二模数学（理）试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．复数，则( )
A.1B.C.2D.4
3．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2023，则输出的y值为( )
A.B.C.D.
4．甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为( )
A.B.C.D.
5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则( )
A.2B.C.D.
6．如图，正方形的边长为4，E为的中点，F为边上一点，若，则( )
A.B.C.D.5
7．“”是“函数的图象关于直线对称”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知，为双曲线的左、右焦点，点A在C上，若，，的面积为，则C的方程为( )
A.B.
C.D.
9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有A，B，C，D，E五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有( )
A.420B.460C.480D.520
10．若点P是函数图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．如图，在正方体中，点P是线段上的动点（含端点），点Q是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是( )
A.B.C.D.
12．已知O为坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且轴，直线与y轴交于点M，直线与交于点Q，直线与y轴交于点N.若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知实数x，y满足，则的最大值为__________.
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________.
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是π.
15．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为__________.
16．若点P为的重心，，则__________.
三、解答题
17．某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品.若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数X的分布列和数学期望.
附表及公式：
其中，.
18．已知数列与正项等比数列满足，且________.
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
从①，；②，，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．已知O为坐标原点，过点的动直线l与抛物线相交于A，B两点.
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点P的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
20．如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点P，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数（其中a为实数）.
（1）若，，证明：；
（2）探究在上的极值点个数.
22．在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（t为参数，），曲线（t为参数，，）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求C的极坐标方程；
（2）若曲线C与，分别交于A，B两点，求面积的最大值.
23．设函数.
（1）解不等式；
（2）令的最小值为T，正数a，b满足，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：，
则.
故选：B.
2．答案：C
解析：，则，
故选：C.
3．答案：D
解析：第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
由以上可知，第次循环：；
当时，一直循环，所以由，且，解得；
因此，第506次循环：，即，
则，输出.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题意可知：若甲口袋的三个球中恰有两个白球，
则从甲袋中取出的球为黑球，乙袋中取出的球为黑球，或从甲袋中取出的球为白球，乙袋中取出的球为白球，
所以甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为.
故选：B.
5．答案：C
解析：由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
6．答案：D
解析：如图，建立平面直角坐标系，设，
则，，，可得，，
因为，即，解得，
即，所以.
故选：D.
7．答案：A
解析：若，则当，可得，为最大值，
所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立；
若函数的图象关于直线对称，
则，，解得，，
不一定成立，即必要性不成立；
综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.
故选：A.
8．答案：B
解析：因为，所以，
又因为点A在C上，所以，
即，所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以C的方程为.
故选：B.
9．答案：C
解析：求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）.
故选：C.
10．答案：C
解析：函数中，，即，设点，
求导得
，由，得，即，
因此函数的图象在点P处的切线l斜率，显然直线l的倾斜角为钝角，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
11．答案：A
解析：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
设，，不妨设，
则，，，，，
故，，
，
设平面的法向量为，
则，可取，
则，
所以，
当时，，
当时，，
当，即时，，
综上所述，的最小值是.
故选：A.
12．答案：B
解析：不妨令点P在第一象限，设，
因为，
在中，则，
即，所以，
在中，则，
即，所以，
在中，则，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
即C的离心率为.
故选：B.
13．答案：11
解析：由约束条件，画出可行域，如图：
令，化为斜截式方程得，
由图可知，当直线过点B时，直线在y轴上的截距最大.
由得，即.
所以点代入目标函数可得最大值，即最大值为.
故答案为：11.
14．答案：（答案不唯一）
解析：例如，可知其定义域为R，
则，即为偶函数；
显然的最大值为2；
且的最小正周期为；
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
15．答案：
解析：根据题意，该正棱台的轴截面，如图：
由题意，由，知，，
由圆的切线长性质可知，，所以，
所以，
所以该四棱台的内切球的半径为，
下面画出正四棱台，
连接，，交于点，连接，，交于点，如图，
由，可得，，，
设外接球的半径为R，，则，
由得，解得，
于是，则.
所以.
故答案为：.
16．答案：
解析：设点D为边上的中点，
因为点P为的重心，所以，
则，
所以，所以，
因为，
所以，
即，
因为，不共线且，，
所以，，
所以，
由正弦定理可得，
不妨设，，，
则.
故答案为：.
17．答案：（1）有的把握认为产品质量与生产线有关系
（2）X的分布列见解析，数学期望为1
解析：（1），
所以有的把握认为产品质量与生产线有关系.
（2）在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，
则应在甲生产线抽取件产品，在乙生产线抽取件产品，
由题意可知：，1，2，则：
，，，
可得X的分布列为
所以X的数学期望.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为，
若选①：因为，，则，，解得，，
所以，；
若选②：因为，，则，解得，
所以，.
（2）由（1）可得：，
所以.
19．答案：（1）
（2）存在，
解析：（1）显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，，，
由消去x并整理得，显然，于是，
所以.
（2）由（1）知，，
假定存在不同于点P的定点Q，使得恒成立，由抛物线对称性知，点Q在x轴上，设，
则直线，的斜率互为相反数，即，即，
整理得，即，亦即，而不恒为0，则，
所以存在不同于点P的定点Q，使得恒成立，点Q的坐标为.
20．答案：（1）证明见解析
（2）存在，
解析：（1）在三棱柱中，由平面，，平面，得，，
在平面内过B作于O，由平面平面，平面平面，
得平面，而平面，则有，
显然，，平面，因此平面，又平面，
所以.
（2）过点C作，由，，得，，
由（1）知平面，平面，则，即直线，，两两垂直，
以点C为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由，得，，，，，，
假定在棱上存在一点P，使二面角的余弦值为，
令，，则，，
设平面的一个法向量，则，
令，得，显然平面的一个法向量，
依题意，，解得，即，
所以在棱上存在一点P，使二面角的余弦值为，.
21．答案：（1）证明见解析
（2）答案见解析
解析：（1）若，，
则，
令，则，
因为，所以，
所以，
所以函数在上单调递减，
即函数在上单调递减，
又，，
故存在，使得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，
所以；
（2），
在上的极值点个数，
即为函数在上零点的个数（零点两边异号），
因为，所以0不是函数的零点，
当时，
令，则，
令，，
因为，
所以函数为偶函数，
，
令，，
则，，
所以函数在上单调递减，
所以，，
即，，
所以函数在上单调递减，
又，当时，，，
如图，作出函数，的大致图象，
由图可知，当，即时，函数无零点，
所以函数在上没有极值点，
当，即时，
函数有2个不同的零点，且零点两边异号，
所以函数在上有2个极值点，
综上所述，当时，函数在上没有极值点；
当时，函数在上有2个极值点.
22．答案：（1），
（2）1
解析：（1）因为曲线（其中），且，，
所以C的极坐标方程为，，即，.
（2）由题意可知：曲线（t为参数，）表示过坐标原点，倾斜角为的直线，
所以曲线的极坐标方程为；
曲线（t为参数，，），即，
表示过坐标原点，倾斜角为的直线，所以曲线的极坐标方程为；
可得，，，
注意到，则，
可得面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为1.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）依题意，函数，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，因此，
当时，化为，解得，无解，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，则，，，即有，
显然，当且仅当时取等号，
因此，即，
所以.
良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
X
0
1
2
P