上海市格致中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

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1．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为________.
2．向量在方向上的数量投影为________.
3．设复数满足（为虚数单位），则________.
4．在中，，，，则________.
5．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.
6．在复平面内，为原点，点所对应的复数是（i为虚数单位），将点绕着点按逆时针方向旋转后得到点，则的坐标为________.
7．已知，若、满足，且的最小值为，则________.
8．在平面直角坐标系中，已知为原点，，．若点在延长线上，且，则的坐标为________.
9．如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是________.
10．在中，角，，所对的边分别为，，，若且，，成等差数列，则的值为________.
11．若函数的图像上存在不同的两点和，满足，则称函数具有性质．给出下列函数：
①，；②，；③；
④，．其中具有性质的函数为_____（填上所有正确序号）
12．已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________.
二、选择题（本大题共有4小题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分满分14分）
13．设，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
14．已知，若函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
15．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定
16．甲、乙两个同学对问题“已知，，若关于的实系数一元二次方程的两个根，，满足，求实数的值”，各自提出一个猜测：
甲说：“对于任意一组、的值，的不同值最多有4个”
乙说：“存在一组、的值，使得的不同值恰有3个”．则下列选项正确的是（ ）
A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误
三、解答题（本大题共有4小题，满分44分）
17．已知单位向量、满足，．向量，，其中．
（1）若，用反正切值表示角；
（2）设，若，求的值．
18．已知关于的方程（、），其中为虚数单位．
（1）设，若方程至少有一个模为1的根，求的值；
（2）设，虚数是方程的一个虚根，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，求的取值范围．
19．假期间，小致同学临时起意想去电影院看电影，他想选择一个视角最好的座位．由于电影的观众比较多，当他打开订票软件时，只剩下第1至15排最边上的15个座位．
（1）电影院的剖面图如上左图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛离地高度为1.20米，影院前后两排座位高度差为0.50米，如果小致想要得到更好的直方向视角（即眼睛与屏幕中点的连线尽可能保持水平，不考虑水平方向视角），你建议他选择哪一排的座位?请通过计算说明理由．
（2）电影院的俯视图如上右图所示（单位：米），观众坐第一排时，眼睛与屏幕墙面的垂直距离为3.00米，影院前后两排观众间距1.00米，如果小致想得到最好的水平方向视角（即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大，不考虑前后排高度差与竖直方向视角），你建议他选择哪一排的座位？请通过计算说明理由．
20．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．
（1）若，用，表示；
（2）若点为的外心，求、的值；
（3）若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．