初中数学人教版七年级下册8.1 二元一次方程组随堂练习题

这是一份初中数学人教版七年级下册8.1 二元一次方程组随堂练习题，共9页。
换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。
典例分析

【典例1】数学方法：
解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【思路点拨】
（1）设m+n=x，m−n=y，即可得m+n=−2m−n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，可得m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，则问题得解．
【解题过程】
解：（1）设m+n=x，m−n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，
∴m+n=−2m−n=4，
解得m=1n=−3，
故答案为：m=1n=−3；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x−y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
∴m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，
解得：x=10y=−5，
故方程组的解为：x=10y=−5．
学霸必刷
1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）解方程组3x4+2y5=31202x3−3y5=−815．
2．（2023·全国·九年级专题练习）用代入法解方程组：
x5+y6=0①3x−y−43y+x=85②
3．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）解下方程组：
（1）2x−3y=1①3x+y=7②
（2）2025x+2024y=2023①2023x+2022y=2021②
4．（2022下·湖北咸宁·七年级校考期末）选择适当的方法解下列方程组：
（1）x−52+y−34=5x−56+y−34=3；
（2）23x+17y=6317x+23y=57．
5．（2023下·辽宁营口·七年级校考期中）解方程组
（1）3x+5y=82x−y=1
（2）3x+y−4x−y=6x+y2−x−y6=1
6．（2023上·广东深圳·八年级红岭中学校考期末）解方程组：
（1）3x+y=155x−2y=14；
（2）3x−2y=7x−2y3+2y−12=1．
7．（2024上·安徽宿州·八年级统考期末）解方程组：
（1）y=2x−1x+2y=−7；
（2）x−26−2−y3=12x−2y=1．
8．（2023下·海南海口·七年级海南华侨中学校考期中）解方程组：
（1）x=3y2x+4y−10=0；
（2）x+32+y+53=4x−43+2y+35=0．
9．（2023下·湖北襄阳·七年级校考期中）解方程：
（1）2x−5y=−3−4x+y=−3；
（2）x+y2+x−y3=14x+y−5x−y=−38．
10．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）解下列二元一次方程组：
（1）3x+2y=14x=y+3；
（2）2x+y3−x−y4=743x−y−2x+y=−3．
11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）解方程组:
（1）3x−4y=1x=5y−7；
（2）2x+y3−x−y4=142x−y−53x+y=−20．
12．（2022下·七年级单元测试）解下列方程组．
（1）3x+2y=14y=x−3；
（2）2x−5y=−214x+3y=23；
（3）x+2y=13x−2y=11；
（4）3x+y−22x−y=32x−y3−x+y4=−112．
13．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）解方程组：
（1）3m−2n=7m+2n=5；
（2）x−y=14x−5y=3．
（3）2x=3−y3x+2y=2（限用代入法）
（4）x+y2+x−y3=62(x+y)−3x+3y=24
14．（2023上·全国·八年级专题练习）试求方程组x−2=7−y−5 x−2=y−6 的解．
15．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组．
解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②时，可由①得x−y=1③，然后再将③代入②，得4×1−y=5，
解得y=−1，从而进一步得x=0y=−1这种方法被称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组2x−3y+2=05−2x+3y7+2y=9．
16．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）教材中有这样一道题目：解方程组x3−y7=12x3+y7=13圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解.方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的x3看成一个整体，把y7看成一个整体，通过换元解决问题.请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组．
17．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法，把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5=x，n+3=y，则原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，解得x=1y=2，即m+5=1n+3=2，解得m=−4n=−1．
请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：
（1）3x+y−26x−y=1x+y+6x−y=7；
（2）x+y2+x−y3=7x+y3−x−y4=−1．
18．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）阅读探索：
材料一：解方程组a−1+2b+2=62a−1+b+2=6时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设a−1=x，b+2=y，原方程组可化为x+2y=62x+y=6
解得x=2y=2，即a−1=2b+2=2，解得a=3b=0
材料二：解方程组4x+10y=6①8x+22y=10②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y=10，变形为24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=−1
根据上述材料，解决下列问题：
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组：a4−1+2b3+2=42a4−1+b3+2=5的解；
（2）若关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=10y=6，求关于m，n的方程组5a1m−3+3b1n+2=c15a2m−3+3b2n+2=c2的解．
（3）已知x、y、z，满足3x−2z+12y=47①2x+z+8y=36②，试求z的值．
19．（2023下·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组2x+3y4+2x−3y3=72x+3y3+2x−3y2=8．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的2x+3y看成一个整体，把2x−3y看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m=2x−3y，n=2x−3y．原方程组化为m4+n3=7m3+n2=8，解得m=60n=−24，把m=60n=−24代入m=2x−3y，n=2x−3y，得2x+3y=602x−3y=−24，解得x=9y=14，∴原方程组的解为 x=9y=14．
（1）学以致用
运用上述方法解下列方程组：2(x+1)+3(y−2)=1(x+1)−2(y−2)=4．
（2）拓展提升
已知关于x，y的方程组a1x+b2y=c1a2x+b2y=c2的解为x=3y=4，请直接写出关于m、n的方程组a1(m+2)−b2n=c1a2(m+2)−b2n=2的解是 ___________．
20．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5,n+3看成一个整体，设m+5=x,n+3=y，则原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7，解得x=1y=2，即m+5=1n+3=2，解得m=−4n=−1．
（1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组x+y3+x−y5=4x+y3−x−y5=−2．
（2）拓展提升，已知关于x,y的方程组a1x−b1y=c1a2x−b2y=c2的解为x=3y=4，请直接写出关于m、n的方程组a1m+2−b1n=c1a2m+2−b2n=c2的解是______．
（3）请你用上述方法解方程组x+y2=x−y32x+y−3x+3y=25