特训03 期中解答压轴题（2023江苏期中归纳）（原卷版）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

这是一份特训03 期中解答压轴题（2023江苏期中归纳）（原卷版）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用），共15页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、解答题
1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
(1)利用“配方法”分解因式：；
(2)19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解；
(3)若，求m和n的值．
2．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在数学中，我们常常利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你利用数形结合的思想解决下列问题．
(1)如图①，现有、的正方形纸片和的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片在下面的虚线方框中拼成一个正方形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为，并标出此正方形的边长．
(2)如图②所示的小长方形，长为a，宽为b，按照图②的方式不重叠的放在大长方形ABCD内未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
3．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）在学习《整式乘法与因式分解》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式．从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法．
(1)如图1，边长为a的正方形纸片，在其右边和下边同时剪去宽为b的长方形，计算剩余纸片（图中阴影部分）的面积，可得等式：________；
(2)两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简；
(3)利用（2）中的结论计算：在直角三角形中，一条直角边的长为6，斜边的长为10，求另一直角边b的长度；
(4)如图3，在直角三角形中，，，垂足为D．且，．求的长．
4．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，AB  CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
5．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．

(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示．
6．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】
如图（1），若，点A、B分别在上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D．则 °
(2)【问题推广】
①如图（2），若，（1）中的其余条件不变，则 °（用含的代数式表示）
②如图（2），，点A、B分别在上运动（不与点O重合），点E是上一动点，是的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若，则是的角平分线吗？请说明理由；
(3)【拓展提升】
如图（3），若，，试探索和的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由．
7．（19-20七年级下·河南洛阳·期中）如图1，D是△ABC延长线上的一点，CEAB．
（1）求证：∠ACD＝∠A+∠B；
（2）如图2，过点A作BC的平行线交CE于点H，CF平分∠ECD，FA平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度数．
（3）如图3，AHBD，G为CD上一点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，说明理由．
8．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，
①求证：∠EDC＝∠BAD；
②作EF⊥BC于F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由；
（3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？请说明理由．
9．（19-20七年级下·北京·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为 °；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
10．（19-20七年级下·浙江杭州·期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，PF交AB于点G．
（1）如图1，直接写出∠P、∠PEB与∠PFD之间的数量关系： ；
（2）如图2，EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，且交于点Q，试说明∠P＝2∠Q；
（3）如图3，若∠QEB∠PEB，∠QFD∠PFD，（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠P与∠Q的数量关系；
（4）在（3）的条件下，若∠CFP＝72°，当点E在A、B之间运动时，是否存在PE∥FQ？若存在，请求出∠Q的度数；若不存在，请说明理由．
11．（江苏省苏州市工业园区星海中学2020-2021学年七年级下学期3月月考数学考试）直线与直线垂直相交于点O，点A在直线上运动，点B在直线上运动．
（1）如图1，已知分别是和角的平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的大小．
（2）如图2，已知不平行分别是和的角平分线，又分别是和的角平分线，点在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的度数．
（3）如图3，延长至G，已知的角平分线与的角平分线及反向延长线相交于，在中，如果有一个角是另一个角的3倍，则的度数为____（直接写答案）
12．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．
我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．

(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．
②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．


13．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，、两点分别是边、上的两动点，、分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．
(1)如图，若，求的度数；

(2)如图，作的角平分线交射线于点，求的度数；

(3)如图，、为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足，，请求出与、的关系．

14．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点E在上，点G在上．

(1)如图1，在、上分别取点M、N，连接，点F在上，已知平分，平分，若，，求，的度数．
(2)如图2，平分，平分，反向延长交于K，设，请通过计算，用含x的代数式表示．
(3)如图3，已知，，平分，平分，请直接写出与的数量关系_________________
15．（20-21七年级下·江西九江·期中）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）

(1)将三角尺如图1所示叠放在一起．
①与大小关系是________；
②与的数量关系是________．
(2)小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2的与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况．
①求当时，如图4所示，的大小；
②直接写出的其余所有可能值．
16．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）如图，直线//，一副直角三角板，中，，，，．
(1)若如图1摆放，当ED平分时，证明：FD平分．
(2)若，如图2摆放时，求的度数．
(3)若图2中固定．将沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作和的角平分线GH、FH相交于点（如图3），求的度数．
(4)若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，2分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与的一条边平行时，请求出旋转的时间．
17．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______；

（2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________；

（3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数；
（4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？
18．（19-20八年级上·山东德州·阶段练习）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
19．（22-23七年级下·江苏南京·期中）【概念学习】
我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”．
【概念理解】
（1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点D，则______．
【概念应用】
（2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数．
（3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点P，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．

20．（22-23七年级下·江苏南京·期中）如图，在和中，．点F与A位于线段所在直线的两侧，分别延长、至点、．

【特殊化思考】
若时，请尝试探究：
（1）当在内部时，请直接写出、与的数量关系为__________；
（2）当在外部时，请直接写出、与的数量关系为__________；
（3）若平分，平分．无论点在内部（如图③）还是外部（如图④）时，都有，请选择一幅图进行证明；

【一般化探究】
若时，请尝试探究：
（4）若射线、分别是，的等分线（为大于2的正整数），且，．当时，直接写出与需满足的条件：__________．
21．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）已知，直线、被直线所截（、、不交于同一点），若直线、所成的四个角中有一个角与直线、所成的四个角中的一个角相等，则称直线是直线、的等角线．如图1，直线、被直线所截，若，则直线是直线、的等角线．

(1)如图2中，直线是直线、的等角线的是______；（填序号）
(2)如图3，点、分别为长方形的边、的点，且点不与点、重合，点不与点、重合，将长方形沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交直线于点．
①直线中，直线 是直线与直线的等角线，并请说明理由；
②直线与直线交于点，当直线、、中，其中一条直线是另两条直线的等角线，请直接写出的度数．
22．（22-23七年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料：
若，则，得；
若，则，，得；
……
解决下列问题：
(1)若，证明：；
(2)若，证明：．
23．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如图1，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，．

(1)请说明的理由．
(2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．
①如图2，如果，那么 ；
②如果，那么 ；
③在整个运动中，当时，求的度数．
24．（22-23七年级下·江苏泰州·期中）七年级上册课本第7页“试一试”，用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔．在这个活动中，我们已经感受到，周长一定的长方形，长宽越接近，面积越大．
图1是用两根同样长的铁丝分别围成的一个长方形和一个正方形，设长方形的宽为，长比宽多．

(1)用含、的代数式表示正方形的边长
(2)七年级下册课本第77页的“数学实验室”中有这样一个操作：在边长为正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，沿图中虚线剪开，将阴影部分拼成一个长方形，如图2.在此操作中发现：图①中的大正方形周长与图②的长方形的周长相等．请你仿照这个操作，通过剪拼图1，比较图1中的正方形与长方形的面积大小，并画出图形；
(3)由（2），我们已经发现周长一定时长方形与正方形面积的大小关系，请你利用图1通过计算进行证明．
25．（20-21七年级下·广东佛山·阶段练习）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算： ；
(2)选取张型卡片，张型卡片，则应取 张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含的代数式表示）；
(3)选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为 ；
(4)选取张型卡片，张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，若，则与有什么关系？请说明理由．
26．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
图1 图2 图3 图4
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1： ；图2： ；图3： ．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
方法一：从“数”的角度
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度
解：∵a+b＝3，
∴S大正方形=9，
又∵ab＝1，
∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．
类比迁移：
（2）若（5﹣x）▪（x﹣1）＝3，则（5﹣x）2+（x﹣1）2＝ ；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝72，求图中阴影部分面积．
27．（22-23八年级上·吉林长春·期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题：
(1)写出图②中所表示的数学等式______；
(2)猜测______．
(3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
(4)在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
28．（22-23七年级下·江苏南京·期中）【问题提出】
如图1，在长方形中，，边长为a的正方形的边在射线上移动，交射线于点M．探索与之间的数量关系．
【问题思考】
特殊化，如图2，当D，F重合时，．
【问题解决】
一般化，
(1)如图3，当M在上，说明．
(2)如图4，当M在上，猜想与之间的数量关系，并说明理由．