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特训04 期中解答压轴题（六大模块题型）（原卷版）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）
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这是一份特训04 期中解答压轴题（六大模块题型）（原卷版）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用），共15页。试卷主要包含了已知，探索，已知，点P是直线，外一点等内容，欢迎下载使用。
题型1：平行线（不同情景，1-5题）
题型2：认识三角形（不同模型，6-9题）
题型3：平行线与三角形结合（10-13题）
题型4：幂的运算（14-16题）
题型5：整式的乘法、乘法公式（17-22题）
题型6：因式分解的综合应用（23-26题）
题型1：平行线（不同情景）
1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接．
(1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：；
(2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数．
2．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，求的度数；
②如图2，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
3．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，；）．
(1)若，则的度数为__________；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请画出相应的图形并直接写出角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．
4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，．
(1)判断是否平分，并说明理由．
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于，
①当点在线段上时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
5．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．
题型2：认识三角形（不同模型）
6．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，已知两点分别是上的两动点，分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，作的角平分线交射线于点，求的度数；
(3)如图3，为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足， ，请求出与的关系．
7．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，分别在边上，的角平分线交于．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数；
(3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
8．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；
(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．
①若，则______；
②若，求证：；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
9．（22-23七年级上·陕西西安·期中）探索：在图至图中，已知的面积为，
(1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出：
①种紫花的区域的面积；
②种蓝花的区域的面积．
题型3：平行线与三角形结合
10．（22-23七年级下·四川成都·期中）已知，点P是直线，外一点．
(1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证：
①；
②．
证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整；
(2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值．
11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线与直线分别交于点E、F，．
(1)求证：；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，，K是上一点，连接，作平分，若，求的度数．
12．（22-23七年级下·福建厦门·期末）四边形中，点在边上，点在边上．
(1)如图1，若与互余，，．求证：；
(2)如图2，平分交延长线于点，点在上，连接，，若平分，，．
①求的度数；
②当，时，过点作于，过作于，试比较，的大小关系，
13．（21-22七年级下·福建漳州·期中）如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点．
(1)如图1，若与都是锐角，请直接写出与，之间的数量关系．
(2)把直角三角形如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，为多少？
(3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
题型4：幂的运算
14．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
15．（20-21七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
16．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求的值．
题型5：整式的乘法、乘法公式
17．（23-24八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系
(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张．
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②已知：，求的值．
18．（23-24八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一
情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量；
情境二
情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
19．（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．
(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．
(3)若x满足，则的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；
(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
20．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
21．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
22．（20-21七年级下·河南·期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
题型6：因式分解的综合应用
23．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若
①当x，y，n满足条件：时，求n的值；
②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长．
24．（22-23八年级下·广东佛山·期中）材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________；
(3)根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积．
②计算：
25．（21-22七年级下·重庆·期中）对于一个四位自然数M．如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1．个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“进步数”．对于一个“进步数”，它的千位数字和百位数字组成的两位数为．十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：．
例如：，因为，，故数M是一个“进步数”．，则．
(1)请判断2367，1257是不是“进步数”，说明理由．若是，请求出的值；
(2)若四位数N为“进步数”，N的千位数字为，个位数字为．当与N各数位上的数字之和能被13整除时，求出所有满足条件的“进步数”N的值．
26．（21-22八年级下·山东青岛·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
题型1：平行线（不同情景，1-5题）
题型2：认识三角形（不同模型，6-9题）
题型3：平行线与三角形结合（10-13题）
题型4：幂的运算（14-16题）
题型5：整式的乘法、乘法公式（17-22题）
题型6：因式分解的综合应用（23-26题）
题型1：平行线（不同情景）
1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接．
(1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：；
(2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；
(3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数．
2．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、．
(1)当，平分，平分时：
①如图1，若，求的度数；
②如图2，在的下方有一点，平分，平分，求的度数；
(2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
3．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起（其中，，；）．
(1)若，则的度数为__________；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请画出相应的图形并直接写出角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．
4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图1，已知两条直线被直线所截，交点分别为交于点，且，．
(1)判断是否平分，并说明理由．
(2)如图2，点是射线上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作交于，
①当点在线段上时，若，求的度数；
②当点在运动过程中，设和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
5．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转（的对应点分别为，），设旋转时间为（s）（）；
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转（的对应点为，）请求出当边时的值．
题型2：认识三角形（不同模型）
6．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，已知两点分别是上的两动点，分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，作的角平分线交射线于点，求的度数；
(3)如图3，为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足， ，请求出与的关系．
7．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，分别在边上，的角平分线交于．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数；
(3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
8．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；
(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．
①若，则______；
②若，求证：；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
9．（22-23七年级上·陕西西安·期中）探索：在图至图中，已知的面积为，
(1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示
(3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示
(4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍．
(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出：
①种紫花的区域的面积；
②种蓝花的区域的面积．
题型3：平行线与三角形结合
10．（22-23七年级下·四川成都·期中）已知，点P是直线，外一点．
(1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证：
①；
②．
证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整；
(2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值．
11．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线与直线分别交于点E、F，．
(1)求证：；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，，K是上一点，连接，作平分，若，求的度数．
12．（22-23七年级下·福建厦门·期末）四边形中，点在边上，点在边上．
(1)如图1，若与互余，，．求证：；
(2)如图2，平分交延长线于点，点在上，连接，，若平分，，．
①求的度数；
②当，时，过点作于，过作于，试比较，的大小关系，
13．（21-22七年级下·福建漳州·期中）如图，直线，点是、之间（不在直线，上）的一个动点．
(1)如图1，若与都是锐角，请直接写出与，之间的数量关系．
(2)把直角三角形如图2摆放，直角顶点在两条平行线之间，与交于点，与交于点，与交于点，点在线段上，连接，有，为多少？
(3)如图3，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
题型4：幂的运算
14．（21-22七年级下·江苏扬州·期中）如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数）
(3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）．
15．（20-21七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
16．（22-23八年级上·湖北荆州·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______ ；若，则______ ；
(2)已知，，，若，求的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求的值．
题型5：整式的乘法、乘法公式
17．（23-24八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系
(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张．
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求的值；
②已知：，求的值．
18．（23-24八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一
情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量；
情境二
情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．
19．（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．
(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．
(3)若x满足，则的值为______；
(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；
(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
20．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则 ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
② ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
21．（20-21七年级下·山东济南·期中）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
(1)在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
(2)比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)请利用所得等式解决下面的问题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，则2m﹣n＝ ；
②计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．
22．（20-21七年级下·河南·期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a、b的代数式表示）；
(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________；
(3)利用（2）中的结论，若，，求的值____________；
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．
(5)如图4，点是线段上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
题型6：因式分解的综合应用
23．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若
①当x，y，n满足条件：时，求n的值；
②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长．
24．（22-23八年级下·广东佛山·期中）材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个关于a，b的等式：__________．
请类比上述探究过程，解答下列问题：
(2)如图2，将一个棱长为a的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等式：__________，将等式右边因式分解，即__________；
(3)根据以上探究的结果，
①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为19，求阴影部分的面积．
②计算：
25．（21-22七年级下·重庆·期中）对于一个四位自然数M．如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1．个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“进步数”．对于一个“进步数”，它的千位数字和百位数字组成的两位数为．十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：．
例如：，因为，，故数M是一个“进步数”．，则．
(1)请判断2367，1257是不是“进步数”，说明理由．若是，请求出的值；
(2)若四位数N为“进步数”，N的千位数字为，个位数字为．当与N各数位上的数字之和能被13整除时，求出所有满足条件的“进步数”N的值．
26．（21-22八年级下·山东青岛·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
(1)探究一：
将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式____________________．
(2)探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为____________；
(3)将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4、图5所示，∵，，，∴长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
(4)用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______________．
(5)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a-b=6，ab=2，求的值．
(6)类比以上探究，尝试因式分解：= ．
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