苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积课时作业

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册13.3 空间图形的表面积和体积课时作业，共15页。试卷主要包含了多面体的侧面积和表面积，则该组合体的体积为 ，石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕等内容，欢迎下载使用。

知识点1表面积
1．多面体的侧面积和表面积
2.旋转体的侧面积和表面积
知识点2体积
重难点1多面体的表面积
【例1】正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）．
A．B．C．D．
【例2】已知一个正四棱柱的对角线的长是9，表面积等于144 ，求这个棱柱的侧面积（）.
【变式1-1】如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 .
【变式1-2】如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 ．
【变式1-3】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要 铁板（精确到）.
多面体的表面积是各个面的面积之和
重难点2旋转体的表面积
【例3】四等分切割如图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了，则圆柱的侧面积是（ ）

A．B．C．10D．20
【例4】已知圆台的上、下底面圆的半径分别为，，过圆台的母线上靠近下底面的三等分点作截面，将圆台分为上、下两部分．若上、下两个圆台的侧面积相等，则 ．
【变式2-1】如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）.
A．m2B．m2C．m2D．m2
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和
重难点3柱、锥、台的体积
【例5】《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【例6】如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为 .
【变式3-1】已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ．
【变式3-3】将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为，外弧长为，外弧半径与内弧半径之差为，若该圆台的体积为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
柱体体积公式：(S为底面面积，h为高)；
锥体体积公式：(S为底面面积，h为高)；
台体体积公式： (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)
重难点4球的表面积和体积
【例7】已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．1B．C．2D．
【例8】如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 .

【变式4-1】已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】两个球的半径之比为，那么这两个球的表面积之比为 .
【变式4-3】地球和火星都可近似看作球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的直径的一半.
(1)求地球的表面积和体积；
(2)火星的体积约为地球体积的几分之几？
球的表面积公式：
球的体积公式：
重难点5外接球问题
【例9】如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例10】已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为 .
【变式5-1】已知四棱锥的侧面都是边长为4的等边三角形，且各表面均与球相切，则球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 .
【变式5-3】已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
重难点6组合体的表面积
【例11】随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14) （ ）
A．B．C．D．
【例12】如图，一个几何体的上半部分是一个圆柱体，下半部分是一个圆锥体，圆柱体的高为，圆锥体的高为，公共的底面是半径为的圆形，那么这个几何体的表面积为 ．

【变式6-1】如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【变式6-2】如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半径为R，圆柱体的高为h，若要保持圆柱体的容积为定值立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最省（温馨提示：即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小），此时（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】如图，长方体的体积是为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分，其中．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求多面体的表面积．
组合体的表面积应注意重合部分的处理
重难点7组合体的体积
【例13】如图，在平面五边形中， ，，则五边形绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为
【例14】某公园里有一些石墩，每张石墩是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示，一张石墩的体积是，那么原正方体石料的体积是 .
【变式7-1】商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为，半径为，中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为，，.两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），，若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为 ．

【变式7-3】楔形中，底面是边长为S的正方形，平面ABCD，，其余棱长都是S，若，求这个楔形的体积．
应先弄清楚组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量，再计算求值．
1．如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（ ）

A．B．C．D．
2．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
5．正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（ ）
A．该正六棱台的上底面积是
B．该正六棱台的侧面面积是
C．该正六棱台的表面积是
D．该正六棱台的高是
6．已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面边长为2的正方形，且面，若四棱锥的体积为，则该球的体积不可能为（ ）
A．B．C．D．
7．从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥，则它的体积与正方体体积的比为 ；它的表面积与正方体表面积的比为 .

8．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为 ．

9．现将一个高为4，体积为的圆柱削成一个空间几何体ABCD，其中棱AB，CD分别为圆柱上、下底面上相互垂直的两条直径，则被削去部分的体积为 ．
10．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知被截的正方体棱长是.

(1)求石凳的体积；
(2)求石凳的表面积.
11．在正三棱台中，已知，，三棱台的高.
(1)求棱台的体积；
(2)若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积.
12．某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6cm，圆柱筒长4cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少cm3？（结果精确到0.1）
(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克？（结果精确到个位）．
几何体
棱柱
棱锥
棱台
侧面展开图
侧面积公式
ch
(c为底面周长，h为侧棱长)
ch′
(c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高)
(c+c′)h′
(c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
侧面展开图
侧面积公式


表面积公式


几何体
体积
柱
(S为底面面积，h为高)
锥
(S为底面面积，h为高)，
台
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
球
(为球的半径)