压轴题06向量、复数压轴题16题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版）

这是一份压轴题06向量、复数压轴题16题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）（原卷版），共20页。

01向量新考点问题
1.（2024·上海嘉定·二模）已知OA=x1,y1，OB=x2,y2，且OA、OB不共线，则△OAB的面积为（ ）
A．12x1x2-y1y2B．12x1y2-x2y1
C．12x1x2+y1y2D．12x1y2+x2y1
2. （多选）（2023·广东深圳·模拟预测）已知Px1,y1，Qx2,y2是椭圆x24+9y24=1上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2=-2，则下列说法正确的是（ ）
A．2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为6+25
B．2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最小值为3-5
C．x1-3y1+5+x2-3y2+5的最大值为25+2105
D．x1-3y1+5+x2-3y2+5的最小值为10-22
3. （2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知A1,A2,A3,A4,A5五个点，满足：AnAn+1⋅An+1An+2=0n=1,2,3，AnAn+1An+1An+2=nn=1,2,3，则A1A5的最小值为 ．
4. （2024·浙江·二模）设正n边形的边长为1，顶点依次为A1,A2,⋯,An，若存在点P满足PA1⋅PA2=0，且k=1nPAk=1，则n的最大值为 .（参考数据：tan36°≈0.73）
5. （2022·浙江·三模）已知平面向量x1,x2,x3,x4,x5满足2k≤xk≤2k+1,k=1,2,⋯,5，且x1+x2+x3+x4+x5=0．则x1+x2+x3+x4+x5的最小值是 ，最大值是 ．
02投影向量问题
6.（2022·上海金山·一模）已知向量a与b的夹角为120°，且a⋅b=-2，向量c满足c=λa+1-λb0xn；④∀n∈N*，xn+1≠xn．其中所有正确结论的序号是 ．
64. （2022·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，且AD=12DC，Enn∈N*为直线AB上一点列，满足：EnB=4an+1-1EnD+11-2anEnC，且a1=6，则数列1an-1的前n项和Sn= ．
65. （2022·山西太原·三模）如图，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，点Gn(n∈N*)在线段BD上，且满足GnD=an+1⋅GnA-2(2an+3)⋅GnE，其中数列{an}是首项为1的数列，则数列{an}的通项公式为
14向量与三角换元
66.（2022·天津和平·三模）在平面内，定点A,B,C,O，满足OA=OB=OC=2，且OA+OB+OC=0，则AB= ；平面内的动点P,M满足AP=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是 ．
67. （2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a、b、c、e，满足a⊥b，a=2b，c=a+b，e=1，若a2-6a⋅e+8=0，则c⋅e-13c2的最大值是 .
68. （2022·天津河西·模拟预测）如图，已知B，D是直角C两边上的动点，AD⊥BD，AD=3，∠BAD=π6，CM=12CA+CB，CN=12CD+CA，则CM⋅CN的最大值为 .
69. （2024·广东·模拟预测）已知O为△ABC的外接圆圆心，且AO⋅BC=1,BC=1．设实数λ,μ满足AO=λAB +μAC，则2λ2μ-1的取值范围为 ．
70. （2024·甘肃陇南·一模）已知M 是椭圆x210+y2=1上一点，线段 AB是圆C:x2+y-62=4的一条动弦,且AB=22,则MA⋅MB的最大值为 .
15复数新定义问题
71. （23-24高三下·浙江丽水·开学考试）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合H=d+ai+bj+ck∣a,b,c,d∈R中的元素α=d+ai+bj+ck称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为α的实部，ai+bj+ck称为α的虚部．两个四元数之间的加法定义为d1+a1i+b1j+c1k+d2+a2i+b2j+c2k =d1+d2+a1+a2i+b1+b2j+c1+c2k．
两个四元数的乘法定义为：ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,i2=j2=k2=-1,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数α，若存在四元数β使得αβ=βα=1，称β是α的逆，记为β=α-1．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设a,b,c,d∈R,四元数α=d+ai+bj+ck．记α*=d-ai-bj-ck表示α的共轭四元数．
（i）计算αα*；
（ii）若α≠0，求α-1；
（iii）若α≠0,β∈W，证明：αβα-1∈W；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量α=(a,b,c)与纯四元数α=ai+bj+ck看作同一个数学对象．设α,β∈W,γ=12(αβ-βα)．
（i）证明：γ∈W;
（ii）若α,β是平面X内的两个不共线向量，证明：γ是X的一个法向量．
72. （2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列a0,a1,a2,⋯,an,⋯，我们称f(x)=n=0∞ann!xn=a0+a1x+a22!x2+⋯+ann!xn+⋯（规定0!=1）为无穷数列an的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为e(x)=n=0∞1n!xn=1+x+x22!+⋯+xnn!+⋯，它具有性质e(x)e(y)=e(x+y)．
(1)证明：e(-x)=1e(x)；
(2)记c(x)=k=0∞(-1)k(2k)!x2k=1-x22!+x44!+⋯+(-1)kx2k(2k)!+⋯．证明：c(x)=e(ix)+e(-ix)2（其中i为虚数单位）；
(3)以函数xe(x)-1为指数型母函数生成数列Bn，xe(x)-1=n=0∞Bnn!xn=B0+B1x+B22!x2+⋯+Bnn!xn+⋯．其中Bn称为伯努利数．证明：B1=-12．且B2k+1=0(k=1,2,3,⋯)．
73. （2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将y=fx在x=x0处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：fx=fx0+f'x0x-x0+f″x02!x-x02+⋅⋅⋅+fnx0n!x-x0n+⋅⋅⋅（其中fnx表示fx的n次导数），以上公式我们称为函数fx在x=x0处的泰勒展开式.
(1)分别求ex，sinx，csx在x=0处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：eiπ+1=0.（其中i为虚数单位）；
(3)若∀x∈0,32，easinx>x+1恒成立，求a的范围.（参考数据ln52≈0.9）
74. （2024·全国·模拟预测）对于非空集合G，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”G,×，简记为G×．而判断G×是否为一个群，需验证以下三点：
1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意a,b∈G，都须满足a×b∈G；
2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意a,b,c∈G，都须满足a×b×c=a×b×c；
3.（恒等元）存在e∈G，使得对任意a∈G，e×a=a；
4.（逆的存在性）对任意a∈G，都存在b∈G，使得a×b=b×a=e．
记群G×所含的元素个数为n，则群G×也称作“n阶群”．若群G×的“×”运算满足交换律，即对任意a，b∈G，a×b=b×a，我们称G×为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群R+；
(2)记C为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得C在该运算下构成一个群C×，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群G×是否都是阿贝尔群？请说明理由．
75. （2024高三上·全国·竞赛）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且∁MA中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断{1,2,3}是否是{i,1,2,3}的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足0PA⋅PB>QA⋅QB
D．RA⋅RB>QA⋅QB>PA⋅PB
84. （23-24高三下·全国·自主招生）z=cs2πn+isin2πn,n>2,n∈N*，求1-z+1-z2+1-z3+⋯+1-zn-1
85. （2023·山东济宁·二模）已知向量a、b不共线，夹角为θ，且a=2，b=1，a+λb+a-λb=42，若433≤λ