初中数学4 整式的乘法随堂练习题

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整式乘法：①单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
③多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
整式除法：①单项式除单项式：（1）将它们的系数相除作为上的系数；
（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；
（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
②多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
类型一、不含某一项问题
例．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期末）若的展开式中不含项、项（为常数），则 ．
【变式训练1】．（2023下·四川成都·七年级期中）已知关于x的多项式与的积不含x的一次项，且常数项为，求的值．
【变式训练2】．若关于x、y的两个多项式中不含二次项，则的值为 ．
【变式训练3】．（2022下·四川成都·七年级校考期中）以下关于的各个多项式中，均为常数．（1）根据计算结果填写下表：
（2）已知既不含二次项，也不含一次项，求的值．
（3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________．
类型二、与几何图形综合
例．（2022上·四川成都·七年级校考期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a>b．
(1)当a=9，b=2，AD=30时，请求：
①长方形ABCD的面积；
②的值；
(2)当AD=30时，请用含a，b的式子表示的值．
(3)若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而的值总保持不变，则a，b满足的关系是 ___________．
【变式训练1】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式______________；（最后结果）
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）利用（1）中得到的结论，解决问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，求a2+b2+c2的值；
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+2b）（3a+5b）的长方形，求x+y+z的值.
【变式训练2】．如图所示，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：如图②所示，可以解释．

【初步运用】
（1）仿照例子，图③可以解释等式_______．
（2）取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的相邻两边长分别为和，不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张？
【拓展运用】
（3）若取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作，你会发现拼成的长方形的长是______，宽是______，将改写成两个整式积的形式为______．并画图说明．
【变式训练3】．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．

(1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式： （答案直接填写到横线上）；
(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；
(3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．
类型三、规律性问题
例．（2023下·四川成都·七年级统考期末）学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：
；
；
；
．
请你利用发现的规律计算： ．
【变式训练1】．（2020下·四川成都·七年级四川省成都市玉林中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．
（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．
（2）直接写出的展开式．
（3）推断多项式（为正整数）的展开式的各项系数之和．
（4）利用上面的规律计算：
．
【变式训练2】．阅读并填空：
我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子，
__________．
__________．（结果按字母x降幂排列）
__________．（结果按字母x降幂排列）
……
观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”．
利用“贾宪三角”可知：__________．
“贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）．
类型四、代数式求值
例1．若，则的值为 ．
例2．若，则等于（ ）
A．2020B．2019C．2018D．－2020
【变式训练1】．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用整体思想解决下列问题：
(1)把看成一个整体，合并；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
【变式训练2】．如果.那么
【课后训练】
1．已知代数式的值是7，则代数式的值是 ．
2．若的积不含项，则 ．
3．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”

(1)写出的展开式；
(2)写出的展开式；
(3)求展开式中所有项的系数和；
(4)求展开式中所有项的系数和．
4．已知，求的值．
5．如图，长为，宽为的大长方形被分㸝成7块，除阴影部分的和外，其他5块空白部分是形状、大小完全相同的小长方形，且小长方形的宽为．
(1)由图可知：每个小长方形的长为______；（用含或的代数式表示）
(2)用含或的代数式表示阴影部分和的周长之和；（结果化为最简形式）
(3)当时，用含的代数式表示阴影部分与的面积之和．
6．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：

也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算所得多项式的一次项系数为______．
(2)计算所得多项式的一次项系数为______．
(3)若计算所得多项式的一次项系数为0，则______．
(4)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
(5)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为______．
7．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为 ．
二次项系数
一次项系数
常数项
2
2
6