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苏科版七年级下册10.2 二元一次方程组课后练习题
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这是一份苏科版七年级下册10.2 二元一次方程组课后练习题，共17页。
1.体验由“一元”到“二元”，建立新的数学模型；体会由“二元”到“一元”的过程，了解一元一次方程与二元一次方程之间的关系；了解二元一次方程的概念，理解二元一次方程解的定义；学会用一个字母的代数式来表示另一个字母。
2.了解二元一次方程组的概念，会判断一组数是否是二元一次方程组的解.进一步培养分析问题和解决问题的能力.
3.认识二元一次方程组的意义，理解二元一次方程组的解的含义.会用代入消元法解二元一次方程组；
4.了解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转换过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法．
5.使学生会解简单的三元一次方程组．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
6. 经历和体验二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组也是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学的应用价值。
7. 会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解，能检验所得问题的结果是否符合实际意义，提高学生分析问题和解决问题的能力。
一．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
二．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
三．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
四．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
五．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
六．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
七．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
八．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
十．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
十一．同解方程组
同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组．
关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同．
十二．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
十三．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
一．二元一次方程的定义（共2小题）
1．（2023春•盱眙县期末）下列属于二元一次方程的是
A．B．C．D．
2．（2023春•高港区期中）若关于、的方程是二元一次方程，则的值等于 ．
二．二元一次方程的解（共3小题）
3．（2023春•南通期末）若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A．3B．6C．D．
4．（2023春•盐城月考）已知二元一次方程，下列说法正确的是
A．它有一组正整数解B．它只有有限组解
C．它只有一组非负整数解D．它的整数解有无穷多组
5．（2024春•江阴市月考）请写出一个二元一次方程，使得它的一个解为 ．
三．解二元一次方程（共3小题）
6．（2023春•清江浦区期末）把方程写成用含的代数式表示的形式为 ．
7．（2023春•镇江期末）写出方程的正整数解： ．
8．（2023春•建邺区期末）是否存在正整数和，使得，若存在，求出满足条件的和的值；若不存在，请说明理由．
四．由实际问题抽象出二元一次方程（共4小题）
9．（2023春•靖江市期末）《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是，则符合题意的另一个方程是
A．B．C．D．
10．（2023春•玄武区期末）从地到地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为，平路速度为，下坡速度为．已知他从地到地需用，从地返回地需用．问从地到地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数，，且列出一个方程为，则另一个方程是
A．B．C．D．
11．（2023春•宿迁期末）若的2倍与的差是10，那么可用二元一次方程表示为 ．
12．（2023春•东海县期中）已知甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元．某人买了个甲种面包和个乙种面包，共花了30元、请列出关于，的二元一次方程 ．
五．二元一次方程的应用（共4小题）
13．（2023春•沛县期末）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有
A．3种B．4种C．5种D．6种
14．（2023春•江都区期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ．
15．（2023春•沭阳县期末）为落实“双减”政策，刘老师把班级里10名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是2人或3人，则有 种分组方案．
16．（2023春•高新区期末）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0所得的三位数，则第三次看到的里程碑上的三位数是 ．
六．二元一次方程组的定义（共2小题）
17．（2023春•惠山区期中）下列方程组是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
18．（2023春•沛县期末）观察所给的4个方程组：
①； ②； ③； ④．
其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）
七．二元一次方程组的解（共4小题）
19．（2023春•兴化市期末）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为
A．B．0C．1D．2
20．（2023春•赣榆区期末）如果关于，的方程组的解是正数，那的取值范围是
A．B．C．D．无解
21．（2023春•钟楼区校级期中）关于、的方程组的解满足，则的值为 ．
22．（2023春•泰兴市期末）如果关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 ．
八．解二元一次方程组（共5小题）
23．（2023春•靖江市月考）关于、的二元一次方程组，用代入法消去后所得到的方程，正确的是
A．B．C．D．
24．（2023春•淮阴区期末）已知，则代数式的值为 ．
25．（2023春•东海县期中）解下列方程组：
（1）； （2）．
26．（2023春•海门市期末）解下列方程组：
（1）； （2）．
27．（2023春•灌云县期末）甲、乙两位同学在解关于、的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求、的值．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）
28．（2023春•崇川区期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5小桶可以盛酒2斛．问：1个大桶、1个小桶各盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是
A．B．
C．D．
29．（2023•滨湖区一模）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做个竖式无盖纸盒，个横式无盖纸盒，则可列方程组
A．B．
C．D．
30．（2023春•淮安区期末）如图，直线与相交于点，且．比大，设，，则可得到的方程组为
A．B．
C．D．
31．（2023春•淮阴区期中）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺．依题意，列方程组得 ．
一十．二元一次方程组的应用（共4小题）
32．（2023春•溧阳市期末）在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为
A．B．C．D．
33．（2023春•泰兴市期末）一个二元一次方程组常常可以有不同的实际意义，例如，二元一次方程组方程①的实际意义是：甲、乙两人加工零件，甲做，乙做，共加工110个零件，则方程②的实际意义是： ．
34．（2023春•东台市月考）东辰中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了 场．
35．（2023春•南通期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）某商人准备用28两银子买牛和羊（要求既有羊又有牛，且银两须全部用完），且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
一十一．同解方程组（共2小题）
36．（2023春•姜堰区月考）已知方程组和有相同的解，则，的值为
A．B．C．D．
37．（2021春•惠山区校级期中）如果方程组与有相同的解，则，的值是
A．B．C．D．
一十二．解三元一次方程组（共4小题）
38．（2023春•东台市月考）方程组的解是 ．
39．（2023春•姜堰区月考）已知关于，的方程组
（1）若方程组的解互为相反数，求的值．
（2）若方程组的解满足方程，求的值．
40．（2023春•江都区期中）若关于、的二元一次方程组的解、互为相反数，求的值．
41．（2023春•广陵区月考）已知方程组的解、的和为12，求的值．
一十三．三元一次方程组的应用（共3小题）
42．（2023春•灌南县期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有
A．4种B．3种C．2种D．1种
43．（2023春•海门市期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱 元．
44．（2023春•海门市期末）某电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台6000元，型每台4000元、型每台3000元．
（1）甲中学现有资金210000元，计划全部用于购进这家电脑公司的型和型电脑共45台．这两种型号的电脑各购进多少台？
（2）乙中学现有资金190000元，计划全部用于购进这家电脑公司的三种型号电脑共60台，请你设计出所有不同的购买方案，并说明理由．
一．选择题（共8小题）
1．（2023春•东台市月考）下列方程是二元一次方程的是
A．B．C．D．
2．（2023春•天宁区校级期中）已知 是关于、的二元一次方程的解，则的值为
A．B．6C．D．3
3．（2023春•镇江期中）本届运动会共有24个队、260名运动员参加其中的篮球、排球比赛，其中篮球队每队10名，排球队每队12名．若设参赛的篮球队有支，参赛的排球队有支，根据题意，可列方程组
A．B．
C．D．
4．（2023春•泰兴市期末）已知方程组，则的值是
A．B．2C．D．4
5．（2023春•通州区期中）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为
A．B．
C．D．
6．（2023春•姜堰区期末）已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是
A．B．C．D．
7．（2023春•邗江区校级期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，，，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为
A．甜果九个十一文，苦果七个四文钱
B．甜果七个四文钱，苦果九个十一文
C．甜果十一个九文，苦果四个七文钱
D．甜果四个七文钱，苦果十一个九文
8．（2023春•姜堰区月考）将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则一个小长方形的面积为
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春•镇江期中）写出方程的一组整数解 ．
10．（2023春•姜堰区月考）二元一次方程组的解和相等，则
11．（2023春•江都区期中）日本龟鹤算问题由中国鸡兔同笼问题变化而来“有一群鹤和乌龟都圈在一个笼子里．从上边数脑袋是三十五个，从下边数脚是九十四只．问乌龟和鹤各是多少只？”设鹤和乌龟分别有、只，可以列出方程组 ．
12．（2023春•灌云县月考）由方程，可以用含的代数式表示，则 ．
13．（2023春•丹徒区期末）如果，满足，则 ．
14．（2023春•江都区期中）已知是二元一次方程，则 ．
15．（2023春•铜山区期中）足球表面由黑色五边形和白色六边形共32块拼成，且白皮块数是黑皮块数的倍．设黑皮块数是，白皮块数是，列出关于、的二元一次方程组 ．
16．（2023春•宝应县期末）一个盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得4分，摸到1个白球得3分，王俊凯同学摸到了个红球，个白球，共得32分，如果把他摸到的一组红球和白球的数量表示为的形式，那么为 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春•海州区期末）解下列方程组：
（1）； （2）．
18．（2023春•东台市月考）已知且，求的取值范围．
19．（2023春•邗江区期中）已知关于，的方程组，由于甲看错了方程（1）中的得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的得到方程组的解为，求的值．
20．（2023春•东海县期中）已知关于，的二元一次方程，均为常数，且．
（1）当，时，用的代数式表示；
（2）若是该二元一次方程的一个解，
①探索与关系，并说明理由；
②无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解．
21．（2023春•睢宁县月考）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
22．（2023春•泰兴市期末）解二元一次方程组，
（1）小明同学是这样做的：由②得，③，
将③代入①得：，
解得的值，从而解得的值，则方程组的解可求．
小明同学使用的方法是 消元；
（2）小华同学使用了另一种消元方法解这个方程组，请你帮小华写出解题过程；
（3）两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用 思想解决问题的．
23．（2023春•亭湖区期中）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费，小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表：
收费标准
实际收费：
（1）求，的值．
（2）小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京需花多少运费．
24．（2023春•淮安区校级期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1860元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3000元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元；
（2）若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是180元、120元．该专卖店计划恰好用1500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），请帮助专卖店设计采购方案，使得总利润最大．
25．（2023春•清江浦区期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆型冷链运输与3辆型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆型冷链运输车与6辆型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆型车和每辆型车一次可以分别运输多少盒疫苗？
26．（2023春•灌南县期末）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
27．（2023春•吴江区期末）定义：关于，的二元一次方程（其中中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： 的交换系数方程为或．
（1）方程 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．
目的地
起步价（元
超过1千克的部分
（元千克）
上海
7
北京
10
目的地
质量
费用（元
上海
2
北京
3
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
1.体验由“一元”到“二元”，建立新的数学模型；体会由“二元”到“一元”的过程，了解一元一次方程与二元一次方程之间的关系；了解二元一次方程的概念，理解二元一次方程解的定义；学会用一个字母的代数式来表示另一个字母。
2.了解二元一次方程组的概念，会判断一组数是否是二元一次方程组的解.进一步培养分析问题和解决问题的能力.
3.认识二元一次方程组的意义，理解二元一次方程组的解的含义.会用代入消元法解二元一次方程组；
4.了解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转换过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法．
5.使学生会解简单的三元一次方程组．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
6. 经历和体验二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程组也是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学的应用价值。
7. 会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解，能检验所得问题的结果是否符合实际意义，提高学生分析问题和解决问题的能力。
一．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
二．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
三．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
四．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
五．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
六．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
七．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
八．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
十．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
十一．同解方程组
同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组．
关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同．
十二．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
十三．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
一．二元一次方程的定义（共2小题）
1．（2023春•盱眙县期末）下列属于二元一次方程的是
A．B．C．D．
2．（2023春•高港区期中）若关于、的方程是二元一次方程，则的值等于 ．
二．二元一次方程的解（共3小题）
3．（2023春•南通期末）若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于
A．3B．6C．D．
4．（2023春•盐城月考）已知二元一次方程，下列说法正确的是
A．它有一组正整数解B．它只有有限组解
C．它只有一组非负整数解D．它的整数解有无穷多组
5．（2024春•江阴市月考）请写出一个二元一次方程，使得它的一个解为 ．
三．解二元一次方程（共3小题）
6．（2023春•清江浦区期末）把方程写成用含的代数式表示的形式为 ．
7．（2023春•镇江期末）写出方程的正整数解： ．
8．（2023春•建邺区期末）是否存在正整数和，使得，若存在，求出满足条件的和的值；若不存在，请说明理由．
四．由实际问题抽象出二元一次方程（共4小题）
9．（2023春•靖江市期末）《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是，则符合题意的另一个方程是
A．B．C．D．
10．（2023春•玄武区期末）从地到地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为，平路速度为，下坡速度为．已知他从地到地需用，从地返回地需用．问从地到地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数，，且列出一个方程为，则另一个方程是
A．B．C．D．
11．（2023春•宿迁期末）若的2倍与的差是10，那么可用二元一次方程表示为 ．
12．（2023春•东海县期中）已知甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元．某人买了个甲种面包和个乙种面包，共花了30元、请列出关于，的二元一次方程 ．
五．二元一次方程的应用（共4小题）
13．（2023春•沛县期末）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有
A．3种B．4种C．5种D．6种
14．（2023春•江都区期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ．
15．（2023春•沭阳县期末）为落实“双减”政策，刘老师把班级里10名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是2人或3人，则有 种分组方案．
16．（2023春•高新区期末）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0所得的三位数，则第三次看到的里程碑上的三位数是 ．
六．二元一次方程组的定义（共2小题）
17．（2023春•惠山区期中）下列方程组是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
18．（2023春•沛县期末）观察所给的4个方程组：
①； ②； ③； ④．
其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）
七．二元一次方程组的解（共4小题）
19．（2023春•兴化市期末）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为
A．B．0C．1D．2
20．（2023春•赣榆区期末）如果关于，的方程组的解是正数，那的取值范围是
A．B．C．D．无解
21．（2023春•钟楼区校级期中）关于、的方程组的解满足，则的值为 ．
22．（2023春•泰兴市期末）如果关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的二元一次方程组的解是 ．
八．解二元一次方程组（共5小题）
23．（2023春•靖江市月考）关于、的二元一次方程组，用代入法消去后所得到的方程，正确的是
A．B．C．D．
24．（2023春•淮阴区期末）已知，则代数式的值为 ．
25．（2023春•东海县期中）解下列方程组：
（1）； （2）．
26．（2023春•海门市期末）解下列方程组：
（1）； （2）．
27．（2023春•灌云县期末）甲、乙两位同学在解关于、的方程组时，甲看错了方程①，解得；乙看错了②，解得，求、的值．
九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共4小题）
28．（2023春•崇川区期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5小桶可以盛酒2斛．问：1个大桶、1个小桶各盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛，则列方程组是
A．B．
C．D．
29．（2023•滨湖区一模）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做个竖式无盖纸盒，个横式无盖纸盒，则可列方程组
A．B．
C．D．
30．（2023春•淮安区期末）如图，直线与相交于点，且．比大，设，，则可得到的方程组为
A．B．
C．D．
31．（2023春•淮阴区期中）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺．依题意，列方程组得 ．
一十．二元一次方程组的应用（共4小题）
32．（2023春•溧阳市期末）在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为
A．B．C．D．
33．（2023春•泰兴市期末）一个二元一次方程组常常可以有不同的实际意义，例如，二元一次方程组方程①的实际意义是：甲、乙两人加工零件，甲做，乙做，共加工110个零件，则方程②的实际意义是： ．
34．（2023春•东台市月考）东辰中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了 场．
35．（2023春•南通期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）某商人准备用28两银子买牛和羊（要求既有羊又有牛，且银两须全部用完），且羊的数量不少于牛数量的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
一十一．同解方程组（共2小题）
36．（2023春•姜堰区月考）已知方程组和有相同的解，则，的值为
A．B．C．D．
37．（2021春•惠山区校级期中）如果方程组与有相同的解，则，的值是
A．B．C．D．
一十二．解三元一次方程组（共4小题）
38．（2023春•东台市月考）方程组的解是 ．
39．（2023春•姜堰区月考）已知关于，的方程组
（1）若方程组的解互为相反数，求的值．
（2）若方程组的解满足方程，求的值．
40．（2023春•江都区期中）若关于、的二元一次方程组的解、互为相反数，求的值．
41．（2023春•广陵区月考）已知方程组的解、的和为12，求的值．
一十三．三元一次方程组的应用（共3小题）
42．（2023春•灌南县期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有
A．4种B．3种C．2种D．1种
43．（2023春•海门市期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱 元．
44．（2023春•海门市期末）某电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台6000元，型每台4000元、型每台3000元．
（1）甲中学现有资金210000元，计划全部用于购进这家电脑公司的型和型电脑共45台．这两种型号的电脑各购进多少台？
（2）乙中学现有资金190000元，计划全部用于购进这家电脑公司的三种型号电脑共60台，请你设计出所有不同的购买方案，并说明理由．
一．选择题（共8小题）
1．（2023春•东台市月考）下列方程是二元一次方程的是
A．B．C．D．
2．（2023春•天宁区校级期中）已知 是关于、的二元一次方程的解，则的值为
A．B．6C．D．3
3．（2023春•镇江期中）本届运动会共有24个队、260名运动员参加其中的篮球、排球比赛，其中篮球队每队10名，排球队每队12名．若设参赛的篮球队有支，参赛的排球队有支，根据题意，可列方程组
A．B．
C．D．
4．（2023春•泰兴市期末）已知方程组，则的值是
A．B．2C．D．4
5．（2023春•通州区期中）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为
A．B．
C．D．
6．（2023春•姜堰区期末）已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是
A．B．C．D．
7．（2023春•邗江区校级期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，，，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为
A．甜果九个十一文，苦果七个四文钱
B．甜果七个四文钱，苦果九个十一文
C．甜果十一个九文，苦果四个七文钱
D．甜果四个七文钱，苦果十一个九文
8．（2023春•姜堰区月考）将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则一个小长方形的面积为
A．B．C．D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023春•镇江期中）写出方程的一组整数解 ．
10．（2023春•姜堰区月考）二元一次方程组的解和相等，则
11．（2023春•江都区期中）日本龟鹤算问题由中国鸡兔同笼问题变化而来“有一群鹤和乌龟都圈在一个笼子里．从上边数脑袋是三十五个，从下边数脚是九十四只．问乌龟和鹤各是多少只？”设鹤和乌龟分别有、只，可以列出方程组 ．
12．（2023春•灌云县月考）由方程，可以用含的代数式表示，则 ．
13．（2023春•丹徒区期末）如果，满足，则 ．
14．（2023春•江都区期中）已知是二元一次方程，则 ．
15．（2023春•铜山区期中）足球表面由黑色五边形和白色六边形共32块拼成，且白皮块数是黑皮块数的倍．设黑皮块数是，白皮块数是，列出关于、的二元一次方程组 ．
16．（2023春•宝应县期末）一个盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得4分，摸到1个白球得3分，王俊凯同学摸到了个红球，个白球，共得32分，如果把他摸到的一组红球和白球的数量表示为的形式，那么为 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2023春•海州区期末）解下列方程组：
（1）； （2）．
18．（2023春•东台市月考）已知且，求的取值范围．
19．（2023春•邗江区期中）已知关于，的方程组，由于甲看错了方程（1）中的得到方程组的解为，乙看错了方程（2）中的得到方程组的解为，求的值．
20．（2023春•东海县期中）已知关于，的二元一次方程，均为常数，且．
（1）当，时，用的代数式表示；
（2）若是该二元一次方程的一个解，
①探索与关系，并说明理由；
②无论、取何值，该方程有一个固定解，请求出这个解．
21．（2023春•睢宁县月考）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，有几种租车方案？请写出所有租车方案．
22．（2023春•泰兴市期末）解二元一次方程组，
（1）小明同学是这样做的：由②得，③，
将③代入①得：，
解得的值，从而解得的值，则方程组的解可求．
小明同学使用的方法是 消元；
（2）小华同学使用了另一种消元方法解这个方程组，请你帮小华写出解题过程；
（3）两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用 思想解决问题的．
23．（2023春•亭湖区期中）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费，小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表：
收费标准
实际收费：
（1）求，的值．
（2）小文要寄5千克的东西到上海，7千克的东西到北京需花多少运费．
24．（2023春•淮安区校级期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1860元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3000元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元；
（2）若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是180元、120元．该专卖店计划恰好用1500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），请帮助专卖店设计采购方案，使得总利润最大．
25．（2023春•清江浦区期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆型冷链运输与3辆型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆型冷链运输车与6辆型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆型车和每辆型车一次可以分别运输多少盒疫苗？
26．（2023春•灌南县期末）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
27．（2023春•吴江区期末）定义：关于，的二元一次方程（其中中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： 的交换系数方程为或．
（1）方程 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值．
目的地
起步价（元
超过1千克的部分
（元千克）
上海
7
北京
10
目的地
质量
费用（元
上海
2
北京
3
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
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