数学：湖北省荆楚联盟2024年中考二模试题（解析版）

这是一份数学：湖北省荆楚联盟2024年中考二模试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数中是无理数的是（ ）
A. 3.14B. C. D.
【答案】C
【解析】A．3.14不是无理数，不符合题意；
B．不是无理数，不符合题意；
C．是无理数，符合题意；
D．不是无理数，不符合题意；
故选：C．
2. 下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，
故选：A．
3. 据统计，2024年全国高考人数再次突破千万，预估高达13510000人．数“13510000”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为
，
故选：D．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B. 一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是0.1，0.9，则乙组数据比甲组数据更稳定
D. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
【答案】A
【解析】A选项：由于检测灯泡的质量具有破坏性，故检测一批灯泡的质量，应采用抽样调查的方式，故本选项的说法正确，符合题意；
B选项：这组数据中，2和5出现的次数最多，故众数为2，5，
平均数，
故本选项的说法错误，不合题意；
C选项：甲、乙两组数据的方差分别是0.1，0.9，由于方差越小，数据的波动性更小，甲组数据比乙组数据更稳定，故本选项的说法错误，不合题意；
D选项：“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性为，故本选项的说法错误，不合题意．
故选：A
6. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．与不是同类项，不可以合并，故原运算错误，不符合题意；
B．，原计算正确，符合题意；
C．，故原运算错误，不符合题意；
D．，故原运算错误，不符合题意；
故选：B．
8. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，，，
，
，
，
，
，
的长为，
故选：C．
9. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和，且，m的值为（ ）
A. 或1B. 或0C. D. 1
【答案】D
【解析】∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵一元二次方程有两个实数根和，
∴，
∵，
∴或，
当时，，解得；
当，即时，，解得，
综上，，
故选：D．
10. 平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线向右平移两个单位可以得到抛物线．依据这个规律，则方程的根的个数共有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，
∴函数与函数，都向右平移两个单位，
∴交点个数与的交点个数相同，
∵，反比例函数位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
列表
描点，连线如图
二次函数顶点为，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增大，
列表
描点连线
∴两函数只有一个交点，∴只有一个交点，
∴方程的只有一个根．
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分．共15分）
11. 分解因式：=__________．
【答案】
【解析】
故答案为：．
12. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
【答案】
【解析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，
根据题意得：，
解得： .
∴x+y=.
故答案为
13. 如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为_____．
【答案】8
【解析】如图，设AC、BD交于点O，
设BD=x，则AC=8－x，其中0∵，
∴，
∵，
∴当x=4时，S有最大值8，
故答案为：8．
14. 如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度i＝，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝_____.
【答案】米
【解析】∵斜坡AB的坡度i＝，即tan∠BAE=，
∴cs∠BAE=.
依题意可知，∠AEB=∠BDC=∠ABD=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠BAE.
在Rt△CBD中，BD=BC∙cs∠CBD=BC∙cs∠BAE=2×=米.
15. 如图所示，在矩形中，点在上，将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为________．

【答案】
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，
由翻折变换可知，，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，
解得：，即，
在中，．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：．
解：原式．
17. 已知：如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，且．
求证：四边形是菱形．
证明：连接交于，
四边形是平行四边形，
，
在与中，，
，
，
在与中，，
，
，
四边形是菱形；
18. 2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织九年级的同学到融媒体中心演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，求A，B两款文化衫的单价．
解：设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件元，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，∴，
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元．
19. “推进快乐阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书节活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：
（1）填空：最近一周这50名学生读书时间的平均数=_______，中位数_______，众数_______；
（2）根据上述表格补全下面的条形统计图；
（3）学校从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是多少．
解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
，
故这组样本数据平均数为8.4；
∵这组样本数据中，8和9出现了15次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是8和9；
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，
∴这组数据的中位数为；
（2）补图如下：
（3）∵读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10人，
∴读书时间不少于9小时的有人，
∴被抽到学生的读书时间不少于9小时的概率是．
20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．

（1）求点A的坐标；
（2）分别以点O，A为圆心，以大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线，交y轴于点D，求点D的坐标．
解：（1）解方程组，得，
∵，∴；
（2）由题意可得：垂直平分，
连接，如图，

则，
设，
则，解得，
∴，
∴．
21. 如图，在中，直径弦于点，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：为的切线，
，
，
为直径，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：连接，如图，
设的半径为，则，，
，
，
在中，，
在中，，
解得，
，
，，
，
，即，
解得，
即的长为．
22. 农经公司以30的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求值（直接写出答案）．
解：（1）假设与成一次函数关系，设函数关系式为，
则，解得：，，
，
检验：当，；当，；当，，符合一次函数解析式，
所求的函数关系为；
（2）设日销售利润，
即，
当时，有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）日获利，
即，
对称轴，
①若，则当时，有最大值，
即（不合题意）；
②若，则当时，有最大值，
将代入，可得，
当时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值为2．
23. （1）已知：在矩形中，E是边上的一点，，．
①如图1，若，则______；（填写“”“”或“”）
②如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）已知：在中，E是边上的一点，．
①如图3，若，，求证：；
②如图4，若，，，请直接写出的长．
解：（1）①过E作交于G，
∵矩形中，，
∴矩形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
②过E作交于G，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∴；
（2）①过E作交于G，
同理证得，
∵，，，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∴；
②过E作交于G，
∴，，
∴，
∴
∵，，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点，均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求出a的取值范围；
（2）当，二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为，求m的值；
（3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
解：（1）把，代入，
得，
解得，
∴，
联立方程组，整理得，
∵抛物线C与直线l有交点，∴有实数根，
∴，解得且；
（2）当时，二次函数，∴对称轴为，
当，即时，y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，y有最大值为，∴，
解得，（舍去）；
当时，时，y有最大值为0，不符合题意，舍去；
当时，y随x的增大而减小，
∵，∴当时，y有最大值为，
∴，解得，（舍去）；
综上，m的值为或3；
（3）当时，由题意，得，解得；
当时，由题意，得，解得；
综上，或．x
…
1
2
3
…
3
1.5
1
x
…
0
1
2
…
…
4
1
0
1
1
…
时间（小时）
6
7
8
9
10
人数（个）
5
5
15
15
10
销售价格（）
30
35
40
45
50
日销售量（千克）
600
450
300
150
0