数学：湖北省荆楚联盟2024年中考三模试题（解析版）

这是一份数学：湖北省荆楚联盟2024年中考三模试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若收入6元记为，则支出5元记为（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】D
【解析】若收入6元记为，则支出5元记为．
故选：D．
2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
3. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵式子在实数范围内有意义，
∴，解得：，故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．原计算错误，该选项不符合题意；
B．原计算错误，该选项不符合题意；
C．原计算错误，该选项不符合题意；
D．正确，该选项符合题意；故选：D．
5. 一次数学测试中，某小组的名同学的成绩分数如下：．则这组数据的众数、中位数分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将数据重新排列为75，75，79，82，82，82，,94，
所以这组数据的众数为83，中位数为82，故选：D．
6. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把代入中得，，∴，
∵在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，
∴关于x，y的方程组的解为，
∴关于x，y的方程组的解为，故选：A．
7. 如图，已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于，两点；②作直线交于点；③以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接．若，则的长为（ ）

A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由作图可得，垂直平分，
∴，，
又∵以点为圆心，长为半径画弧交于点，
∴，
∴在中，．
故选：D．
8. 如图，已知，正五边形的顶点，在射线上，顶点在射线上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵五边形为正五边形，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
9. 如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2.4m
【答案】B
【解析】，，
在中，，
，，
，
，
在中，，
，
故选：B．
10. 抛物线（为常数，）经过点，抛物线的对称轴为，点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根为和；④若，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】∵抛物线经过点，对称轴为，且，
∴该抛物线与轴的另一交点为，∴可有，，
∴，，故结论①错误；
当时，可有，故结论②正确；
∵，，∴方程，
∵，∴方程可整理为，
解得和，故结论③正确；如下图，
∵，
∴该抛物线开口向下，
若，
则当时，可有，
当时，可有，
∴，故结论④正确．
综上所述，结论正确的有3个．
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】∵分式在实数范围内有意义，
∴，解得．
故答案为：．
12. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
13. 腹有诗书气自华，最是书香能致远．为开展好读书活动，某校计划购买一批课外读物．为了解学生对课外读物的需求情况，学校随机抽取了部分学生进行了一次“我最喜欢的课外读物”的调查（设置了“文学”、“科技”、“历史”、“艺术”、“哲学”和“其他”六个类别，规定每人必须只能选择其中的一个类别），将调查结果进行了统计分析，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
该校共有学生1500人，请根据以上统计分析，估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有_________人．
【答案】360
【解析】根据题意，此次随机调查的学生总数为人，
∴选择“其他”的学生人数为人，
选择“科技”的学生人数为人，
∴估计该校“我最喜欢的课外读物”是“科技”的学生约有人．
故答案为：360．
14. 《九章算术》是我国古代数学成就杰出代表作，书中记载：“今有圆材埋壁中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材埋在墙壁中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深1寸（即DE＝1寸），锯道长1尺（即弦AB＝1尺），问这块圆形木材的直径是多少？”该问题的答案是_____（注：1尺＝10寸）
【答案】26寸
【解析】延长ED，交⊙O于点C，连接OA，
由题意知CE过点O，且OE⊥AB，
则AD＝BD＝AB＝5（寸），
设圆形木材半径为r，
则OD＝r﹣1，OA＝r，
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
解得r＝13，
所以⊙O的直径为26寸，
故答案为26寸．
15. 如图，已知，，，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】如下图，过点作，且使，连接，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一直线上时，的值最小，即线段的长度，
∵，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴当取最小值时，
可有，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 计算：．
解：原式．
17 如图，，，与交于点，．
求证：．
解：∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠D=∠C=90°，△ABC、△BAD都是直角三角形．
Rt△ABC和Rt△BAD中，∵，∴△ABC≌△BAD（HL），
∴∠DAB=∠CBA，∴OA=OB．
∵AD=BC，∴OC=OD．
18. 为开展好“每天锻炼一小时”体育活动，学校准备购进一批排球和篮球．已知2个排球和1个篮球共需220元，1个排球和3个篮球共需410元．求一个排球和一个篮球的售价各是多少元？
解：设一个排球的售价是元，一个篮球的售价是元，
根据题意，可得，解得．
答：一个排球的售价是50元，一个篮球的售价是120元．
19. 养成卫生好习惯，共享健康好生活．为落实开展好爱国卫生运动，某社区决定组织进行系列清扫活动，参加人员从社区自愿报名的人员中随机抽取．报名参加第一次清扫活动的有4名学生，这4名学生分别记为甲、乙、丙、丁．
（1）如果需从这4名学生中随机抽取1名学生，求出抽到学生甲的概率；
（2）如果需从这4名学生中随机抽取2名学生，请用列表或画树状图方法，求出抽到学生丙和丁的概率．
解：（1）根据题意，从这4名学生中随机抽取1名学生，
则抽到学生甲的概率为；
（2）根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共计有12种等可能的结果，其中抽到学生丙和丁的结果有2种，
∴抽到学生丙和丁的概率为．
20. 如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为．
（1）求的值；
（2）点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围．
解：（1）将点代入直线，
可得，∴，
将点代入双曲线，可得，解得，即的值为4；
（2）如下图，
∵，，
∴当时，可有，即，
联立直线与双曲线，
可得，解得或，
∴，，
∴结合图像可知，当时，或．
21. 如图，内接于，过点作的切线交的延长线于点，交于，交于，点为的中点．
（1）求证：；
（2）若的半径为2，，求弦的长．
（1）证明：如下图，连接，
∵为切线，为半径，
∴，
∴，
∵点为的中点，为半径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如下图，连接，，过点作于点，
∵，的半径为2，
∴，，
∴，
∵点为的中点，为直径，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴．
22. 阳光超市购进了一批某种商品，进价为30元/件．超市先进行了10天试销，第一天销售单价为50元/件，以后每天销售单价均涨价1元/件，日销售量（件）与时间（天）（即第天）的具体情况记录如下：
设该商品的销售单价为元/件，日销售利润为元．
（1）与的函数关系是我们学过的某个函数类型，请直接写出与的函数解析式；
（2）求试销的第6天，该商品的日销售利润是多少？
（3）超市销售该商品为了获得最大利润，请根据这10天的试销情况，通过计算说明，你认为该商品的销售单价应定为多少？
解：（1）由表格数据可知，与为一次函数关系，
可设与的函数解析式为，
将，代入，
可得，解得，
∴与的函数解析式为；
（2）根据题意，该商品的销售单价元，
∴试销的第6天，该商品的售价为元，
又∵试销的第6天的销量为58件，
∴试销的第6天，该商品的日销售利润为元；
（3）根据题意，第天，该商品的日销售利润
，
∴当时，即试销的第8天，该商品可获得最大利润，
此时，该商品的销售单价元．
23. 如图1，已知正方形，点E是边上一点，连接，交于点K，且，连接交于点H．交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）如图2，当点E为的中点时，求的值；
（3）的值是否为定值？如是，请直接写出这个定值；如不是，也请说明理由．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵点E为的中点，
∴设，则，
∵，，
∴，
∴，
如图所示，过点F作，
∵，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）设，，
由（2）得，，，，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∵点E在上的位置不确定，∴的值不是定值．
24. 如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．过点，作直线．
（1）直接写出结果： ， ，直线的解析式为 ．
（2）如图2，点是抛物线在第四象限的一动点，其横坐标为．
①当点关于直线的对称点恰好在轴上时，求点的坐标；
②直线是抛物线的对称轴，过点作轴的平行线，与直线和轴分别交于点，．过点作直线的垂线，与直线和轴分别交于点，，连接．当时，求的值．
解：（1）将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线解析式为，
当时，可有，∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：，，；
（2）①如下图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点和点关于直线对称，点恰好在轴上，
∴，
∴，即轴，
∴点的纵坐标和点的纵坐标相同，为，
∴此时可有，解得（舍去）或，
∴；
②如下图，设交轴于点，过点作于点，过点作于点，
对于抛物线，其对称轴为，
∵点是抛物线在第四象限的一动点，其横坐标为，且轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴、、均为等腰直角三角形，
∴，，，
∵点为抛物线对称轴上一点，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
又∵，
∴可有，即，
整理可得，
解得或．时间（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
日销售量（件）
68
66
64
62
60
58
56
54
52
50