数学：湖北省随州市2024届高三下学期5月模拟试题（解析版）

这是一份数学：湖北省随州市2024届高三下学期5月模拟试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，又，所以，
又，所以.
故选：B.
2. 设随机变量，且，则（ ）
A. 0.75B. 0.5C. 0.3D. 0.25
【答案】D
【解析】随机变量，显然，
而，所以.
故选：D.
3. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，即，
在上单调递减，又，
∴不等式,
即原不等式的解集为．
故选:B．
4. 设，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，，
故，又，
.
故选：D.
5. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则
【答案】C
【解析】若，，，则与有可能平行，故A错误；
若，，则可能在内，故B错误；
若，，则，又，则，故C正确；
若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误.
故选：C.
6. 在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】由已知，所以圆的外接圆直径为，
因为，
所以，
所以
，
因为，即，所以时，取到最小值．
故选：D．
7. 已知双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，
故该双曲线的离心率为，解得.
故选：A.
8. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）

A. 勒洛四面体最大截面是正三角形
B. 若P、Q是勒洛四面体表面上的任意两点，则PQ的最大值为
C. 勒洛四面体的体积是
D. 勒洛四面体内切球的半径是
【答案】D
【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A错误；
将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：
连接，交于中点，交于中点，连接，易得,
则，
而，

所以，故B错误；
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.
如图3, 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，
连接、、，由正四面体的性质可知在上.
因为, 所以，则.
因为，
即，解得，
则正四面体外接球的体积是，
而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，故C错误；
因为，所以 ,
所以，勒洛四面体内切球半径是，故 D正确.故选：D.
二、选择题
9. 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最小值4B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】ACD
【解析】A：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；
B：因为正实数a，b满足，
所以，当且仅当时，取等号，
即有最大值，因此本选项不正确；
C：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项正确；
D：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时取等号，因此本选项正确，
故选：ACD
10. 在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 点为正方形内一点，当平面时，的最大值为
C. 过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D. 当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，
在中即为异面直线与所成的角，
，
异面直线与所成的角的余弦值为．故A正确；
对于B选项，取的中点的中点，取的中点，连接，，，

四边形为平行四边形，，，，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
轨迹为线段，
在中，过作，此时取得最小值，
中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如图，在中，，
即的最小值为，而的最大值为．故B错误；
对于C选项，过点的平面截正方体，
平面平面，则过点的平面必与与交于两点，
设过点的平面必与与分别交于、，
过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，
如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，
如图以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，
同理：
在中，，，
，
即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故C正确；
对于D选项，如图所示，取的中点，则，过作，
且使得，则为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球的半径，
在中，，
，
．故D项正确，故选：ACD．
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数有且只有2个零点
B. 函数的递减区间为
C. 函数存在最大值和最小值
D. 若方程有三个实数解，则
【答案】AB
【解析】由函数，则，
令，解得；令，解得或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，当时，，
作出函数的图形，如图所示，可得A、B正确；
所以，无最大值，所以C错误；
若方程有三个实数解，即与的图象有三个不同的交点，
可得，所以D错误.
故选：AB.

三、填空题
12. 已知，若，则________．
【答案】2
【解析】，
因为，所以，
即，
解得.
故答案为：2
13. 等差数列，前n项和分别为与，且，则___________．
【答案】
【解析】∵数列，均为等差数列，
∴，
∵，即，
根据等差数列前n项和为，可设，
对于数列，则有：
当时，则；
当时，则；
显然当时，也满足，
故，
同理可得：，
故.
故答案为：.
14. 已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为__________．
【答案】11
【解析】设，，则，
即，则的轨迹为以为圆心，半径的圆，
根据题意知两圆有交点，圆心距，故，
解得，故的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
15. 中，角，，的对边分别为，，，的外接圆半径为，面积为，已知为锐角，且.
（1）求；
（2）若，求的最大值.
解：（1），
，
即，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，得，
为锐角，.
（2）由余弦定理，得，.
，取等号的条件是，.
.
的最大值为.
16. 等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
，即，
.
，，.
，，
，，.
（2）
.
17. 某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：
男生身高频率分布表
女生身高频数分布表
（1）估计这1000名学生中女生的人数；
（2）估计这1000名学生中身高在的概率；
（3）在样本中，从身高在的女生中任取3名女生进行调查，设表示所选3名学生中身高在的人数，求的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）
解：（1）样本中男生为60名，女生为40名.
估计这1000名学生中女生的人数大约是（名）.
（2）由表知样本中身高在的人数为，样本容量是100，
样本中身高在的概率为.
估计这1000名学生中身高在的概率为0.49.
（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
的分布列为
.
18. 如图1，在中，D，E分别为的中点；O为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，点F是线段上的一点（不包含端点）．

（1）求证：；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
（1）证明：由题意可知：，，
所以，
又O为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）解：取的中点G，连接，所以，以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，所以．
设，
所以，
又，设平面DEF的一个法向量为，
所以，
令，解得，，所以平面DEF的一个法向量为，
又，设直线EC和平面DEF所成角的大小为θ，
所以
，
解得或（舍），所以．
所以，
即三棱锥的体积为．
19. 已知是坐标原点，椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积最大时.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于另一点，求证：.
（1）解：当是椭圆的上顶点或下顶点时的面积最大，
设是椭圆的上顶点，
则，即.
又，，
，，.
椭圆的标准方程为.
（2）证明：依题意，点的坐标为，
直线不与轴垂直，设直线，
即，直线，即.
设，.
由，
得.
，.
则.
又，，
.
又，.
.
男生身高
（单位：厘米）
频数
7
10
19
18
4
2
女生身高
（单位：厘米）
频数
3
10
15
6
3
3
0
1
2
3