2024沈阳二中高三下学期第四次模拟考试数学含解析

这是一份2024沈阳二中高三下学期第四次模拟考试数学含解析，共17页。试卷主要包含了测试时间，在平面直角坐标系中，点在直线上，双曲线的第三定义是，已知定义在上的函数满足，经研究发现等内容，欢迎下载使用。

命题人： 高三数学组 审校人 高三数学组
说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8小题 ，每小题 5分 ，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A.B.
C.D.
2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球
C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与至少有一个红球
3.在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
4.已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（ ）
A.B.
C.D.
5.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A.B.
C.D.
6.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲线.研究发现，函数的图象实际上是双曲线.进一步探究可以发现对勾函数，的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ）
A.B.C.D.
7.已知定义在上的函数满足：对任意，恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
8.经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A.B.
C.的值不可能是D.的值可能是
二 、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，则（ ）
A.B.该方程的实数根为1
C.D.
10.如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ）
A.若，C，E，F四点共面，则
B.存在点，使得平面
C.若，C，E，F四点共面，则四棱锥的体积为定值
D.若，C，E，F四点共面，则四边形的面积不为定值
11.已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A.
B.关于点对称
C.
D.
三、填空题：本题共三小题，每小题 5分，共15分.
12.若点在圆外，则实数的取值范围为__________.
13.某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全
班学生方差为__________.
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Issac Newtn，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与x轴交点的横坐标为，称为r的2次近似值.一般地，过点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的次近似值.若，取作为r的初始近似值，则的正根的二次近似值为__________.若，，设，，数列的前项积为.若任意，恒成立，则整数的最小值为__________.
四 、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.
16.（15分）如图，三棱柱中，侧面底面，，，，点是棱的中点，，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
17.（15分）某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人进球与否互不影响.
（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
18.（17分）已知抛物线：，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P.
（1）证明：点P在定直线上；
（2）若面积为，求点P的坐标；
（3）若P，M，N，T四点共圆，求点P的坐标.
19.记，若存在，满足：对任意，均有，则称为函数在上的最佳逼近直线.已知函数，.
（1）请写出在上的最佳逼近直线，并说明理由；
（2）求函数在上的最佳逼近直线.
沈阳二中24届高三第四次模拟考试数学答案
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查并集运算、交集运算、补集运算、指数函数与对数函数的值域，属于基础题.
化简集合，，再对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：因为集合，
，
所以，故A错误，D正确；
所以，故B错误；
因为，
所以，故C错误.
故选D.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题.
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可得到结果.
【解答】
解：A.“至少有一个黑球”发生时，“都是黑球”也会发生，故A不互斥，当然不对立；
B.“至少有一个黑球”说明有黑球，黑球的个数可能是1或2，
而“都是红球”说明没有黑球，黑球的个数是0，
这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；
C.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”互斥，但不是必有一个发生，故不对立；
D.“至少有一个黑球”，黑球的个数可能是1或2，表明红球个数为0或1，这与“至少有1个红球”不互斥，因此它们不对立.
故选C.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题投影向量的计算，向量的数量积的计算，属于基础题.
根据题意，设的坐标为，求出的值，进而计算可得答案.
【解答】
解：根据题意，设的坐标为，所以，
所以，
又由点在直线上，则，
故，
故在上的投影向量.
故选：C.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题.
记，的终边分别为，，由条件知，，又，结合两角和与差的余弦公式计算即可求解.
【解答】
解：记，的终边分别为，，
由条件知，，
故得，
即点的横坐标为，
故选C.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列与函数相结合，数列求和以及函数的导数的应用，裂项相消法求和，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
利用函数的导数，求出切线的斜率，得到，然后利用裂项相消法求解数列的前项和即可.
【解答】
解：函数，
可得：，
因为函数的图象在点处的切线的斜率为，
可得：.
，
则数列的前项的和为：.
故选C.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，考查正切的二倍角公式，属于中档题.
首先确定旋转前双曲线的渐近线，得到该函数对应的双曲线焦点在，夹角（锐角）的角平分线上，根据斜率与倾斜角关系、二倍角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.
【解答】
解：由题意得的两条渐近线分别为，，
所以该函数对应的双曲线焦点在，夹角（锐角）的角平分线上，
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线一条渐近线的倾斜角为，
因为，所以（负值舍去），
设此时双曲线方程为，，，
则，
故.
故选：D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与构造法的应用，考查了逻辑推理能力与运算
能力，属于中档题.
设函数，结合已知条件，利用导数判断的单调性，不等式，即，得到，解之即可.
【解答】
解：设函数，
因为对任意，恒成立，所以，
∴在上单调递增.
∵不等式，
即，
∴，解得，
∴不等式的解集为，
故选D.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究不等式恒成立，利用导数研究函数的最值，属于中档题.
由题意可得且，由此列式求得与的值，可判断A，B；
，等价于，利用放缩法求得不等式右侧的最小值，可得的范围，由此判断C与D.
【解答】
解：由题意得，
∵，，
∴，解得，，故A正确，B错误；
此时，
∵，∴等价于，
当时，，则（当且仅当时，等号成立），
从而，故，故C，D错误.
故选A.
【详解】由是方程的根，得，
整理得，而，因此，解得，
对于A，，A错误；
对于BC，方程，变形为，
显然此方程还有一个实根1，另一个虚根，B正确，C错误；
对于D，，D正确.
10.BCD
【详解】在长方体中，若，C，E，F四点共面，平面平面，平面平面，平面平面，则，同理，
对于A，由，C，E，F四点共面，得，则，，
于是，若E不是棱的中点，则有，A错误；
对于B，当E是棱的中点时，由选项A知，F为的中点，四边形是平行四边形，
则，而平面，平面，因此平面，B正确；
对于C，由长方体性质知，且平面，平面，
则平面，同理可得平面，即点E，F到平面的距离为定值，
又的面积为定值，因此三棱锥和三棱锥的体积都为定值，
四棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，当点E为中点时，是菱形，，，
四边形的面积为，当点与点重合时，F与D重合，
四边形为矩形，面积为，四边形的面积不为定值，D正确.
11.BC
【详解】假设，则，则，与都为偶函数，
则所设函数符合题意，此时，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
又，，所以，
由，得，则，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则
，所以C正确.
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，即，即，
因为，所以，所以，
则，故，
所以，所以，又，，
所以，所以无法确定的值，所以D错误；
12.
13.265
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式可求全班学生方差.
【详解】依题意，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为115分.
全班学生成绩的方差为
.
14. 2
【详解】，切线方程为，
故，
当时，，.
，，切线方程为，
则，，
故，
函数为增函数，，，故，
故，即，为整数，.
15.【答案】（1）
（2）
16.【答案】（1）证明见解析；
（2）
解：（1）
由题意得，即.
因为平面平面，且交线为，
由，平面，得平面.
由平面，得，.
因为，，且平面，
所以平面.
由平面，得.
设，，有，解得：即
所以，满足，即.
（2）以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.
，，，
设平面的法向量，
由，得到平面的一个法向量.
又，
设直线与平面所成角的大小为，
则，.
所以直线与平面所成角的余弦值为.
17.【答案】（1）
（2）12
【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，
表示乙在一轮比赛中投进个球，
则，，，；
，，，.
若乙在一轮比赛中获得一个积分，则乙胜利1次，
故其概率
.
（2）设事件C表示乙每场比赛至少要超甲2个球，则
；
设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，
则在恒成立，
故在上单调递增，
又的最大值为
则的最大值为，
的最小值为，
而
故理论上至少要进行12轮比赛.
18.【答案】（1）
（2）或
（3）
解：（1）由，得，，设，，，
所以方程为：，整理得：.
同理可得，方程为：
联立方程方程解得，
因为点T在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交，
设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，
故，所以，
所以，，可知
所以点在定直线上.
（2）在，的方程中，令，得，，
所以面积
故或
所以点P的坐标为或
（3）若，则，重合，与题设矛盾.
抛物线焦点，由得直线斜率，
可知，同理，所以是外接圆的直径.
若点T也在该圆上，则.
由，得直线的方程为：.
又点在定直线上，
联立两直线方程得
19.解：（1）在上的最佳逼近直线为.
易知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
进而有（*）
由的图象特点可知，对任意，均有
下面讨论，的大小：
①若，至少有一个大于等于，则，
②若，两个都小于，则，，
所以，进而，所以
即
由①②以及（*）式可知成立
且当时等号成立.
进而在上的最佳逼近直线为
（2）易知点，在函数的图象上，
设，再令，则
由（1）问可知在上的最佳逼近直线为
所以
进而在上的最佳逼近直线为.