2024 河北数学中考备考重难专题：函数的实际应用题利润问题（课后练）

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典例精讲
例 (2022河北黑白卷)某商场计划购进A，B两种型号商品共50件，其进价和售价如下表．已知用800元采购A型商品件数与用1000元采购B型商品件数相等．
(1)求A型、B型商品每件的进价分别为多少元？
(2)若A型商品的件数不少于B型商品的件数，且不多于30件．设购进A型商品x件，售完所有商品商场可获得的最大利润为w元．
①按计划售完这些商品，商场可获得的最大利润是多少元？
②实际进货时，生产厂家对A型商品的出厂价每件下调m元(3＜m＜8)出售，若商场保持同种商品的售价不变，求该商场获得最大利润的进货方案．
课堂练兵
练习 (2022河北预测卷)现有一个小果园种植甲、乙两种果树，种植x棵甲果树，每年所获得的利润W1(元)与x之间的函数关系式为W1＝－8x2＋mx－60，且当x＝20时，W1＝6340.已知乙果树每年成本由人工成本、物资成本和其他成本三部分组成，种植z棵乙果树，人工成本与z的平方成正比，物资成本与z成正比，其他成本不变为80元，若乙果树每棵每年可收入800元， 种植乙果树每年所获得的利润为W2(元)，经过统计获得如下数据：
(1) 求W1与x之间的函数关系式，并求W1的最大值；
(2)求W2与z之间的函数关系式；
(3)若这个小果园计划种植甲果树的数量是乙果树数量的一半，求当种植多少棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大？最大是多少？
课后小练
练习1 某商场销售甲、乙两款毛绒玩具，已知甲款毛绒玩具的售价为80元，乙款玩具新品上市，正在进行促销活动，其销售量x(x≥1)(个)与销售额y(元)之间满足一次函数关系，关于销售量，销售额的几组对应值如下表：
(1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(2)若商场计划下一周售出两种玩具的销售额不低于3000元，且清空30个甲玩具的库存，则下周乙玩具的销售量最少为多少个？
练习2 《感动中国2021年度人物》中国航天追梦人：赤心贯苍穹，感动人心，激发了更多人对航天事业的热爱和向往，为满足航天爱好者的需求，某电商平台销售神舟十三号飞船模型，进价为每个80元，物价部门规定其销售利润不高于进价的60%.经试销发现，当这款飞船模型销售单价为100元时，每天卖出150个，如果调整销售单价，每涨价2元，每天少卖5个，现该电商平台决定提价销售，设销售单价为x元，每天的销售量为y个．
(1)请直接写出每天的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价是多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润是3750元？
(3)当销售单价是多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是多少元？
答案
典例精讲
例 解：(1)根据题意得：1000a＝800a－10，
解得a＝50，
经检验，a＝50为原分式方程的解，且符合实际，
∴a－10＝40，
答：A型、B型商品的每件进价分别为40元，50元；
(2)①根据题意得x≥50－xx≤30，
∴x的取值范围为25≤x≤30，且x为整数，
∴w＝(60－40)x＋(75－50)(50－x)＝－5x＋1250(25≤x≤30)，
∵－5＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝25时，w的值最大，最大值为－5×25＋1250＝1125元；
②根据题意可得：
w＝(60－40＋m)x＋(75－50)(50－x)
＝(m－5)x＋1250，
由于3＜m＜8，故可分以下情况讨论：
Ⅰ.当3＜m＜5时，m－5＜0，w随x的增大而减小，
此时进货方案为A型25件、B型25件时利润最大；
Ⅱ.当m＝5时，w＝1250，此时A，B型的进货数量只要是满足条件的整数即可；
Ⅲ.当5＜m＜8时，m－5＞0，w随x的增大而增大，
此时进货方案为A型30件，B型20件时利润最大．
课堂练兵
练习 解：(1)∵当x＝20时，W1＝6340，W1＝－8x2＋mx－60，
∴6340＝－8×202＋m×20－60，
∴m＝480，
∴W1＝－8x2＋480x－60＝－8(x－30)2＋7140，
∵－8＜0，
∴当x＝30时，W1有最大值，最大值为7140元；
(2)由题意可得，W2＝800z－(az2＋bz＋80)(a≠0，b≠0)，
∵当z＝10时，W2＝4920；当z＝40时，W2＝7920，
∴4920＝800×10－（a×102＋b×10＋80）7920＝800×40－（a×402＋b×40＋80），
解得a＝10b＝200，
∴W2＝800z－(10z2＋200z＋80)＝－10z2＋600z－80；
(3)设年总利润为W元，
由题意得W＝W1＋W2＝－8x2＋480x－60－10z2＋600z－80，
当z＝2x时，W＝－8x2＋480x－60－40x2＋1200x－80
＝－48x2＋1680x－140
＝－48(x－352)2＋14560
∵－48＜0，x为整数，且抛物线的对称轴为直线x＝352＝17.5，
∴当x＝17或18时，W有最大值，最大值为14548，
∴当种植17或18棵甲果树时，两种果树所获得的年总利润最大，最大是14548元．
课后小练
练习1 解：(1)设乙款毛绒玩具的销售量x(个)与销售额y(元)之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(3，312)，(5，504)代入关系式得
312＝3k＋b，504＝5k＋b，解得k＝96，b＝24，
∴乙款毛绒玩具的销售量与销售额之间的函数关系式为y＝96x＋24；
(2)设下一周销售这两款玩具的销售额为w元，下周售出乙款玩具a个，
由题意知w＝96a＋24＋80×30＝96a＋2424，
由题意得96a＋2424≥3000，解得a≥6，
∵a为整数，
∴a最小为6.
答：下周乙款玩具的销售量最少为6个．
练习2 解：(1)根据题意，得y＝150－ eq \f(x－100,2) ×5＝－ eq \f(5,2) x＋400(x≤128).
∴y＝－ eq \f(5,2) x＋400(x≤128)
(2)根据题意，得(x－80)(－ eq \f(5,2) x＋400)＝3750，
整理，得x2－240x＋14300＝0，
解得x1＝110，x2＝130，
∵销售利润不高于进价的60%，
∴x≤128，
∴x＝110.
答：当销售单价是110元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润是3750元；
(3)设每天销售飞船模型的利润为w元，
根据题意，得w＝(x－80)(－ eq \f(5,2) x＋400)
＝－ eq \f(5,2) x2＋600x－32000
＝－ eq \f(5,2) (x－120)2＋4000.
∵－ eq \f(5,2) ＜0，
∴抛物线开口向下．
又∵x≤128，∴当x＝120时，w有最大值，w最大＝4000.
答：当销售单价是120元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是4000元．
年份
题号
题型
分值
函数类型
实际背景
解题关键点
设问形式
2022
26
解
答
题
12
二次函数
按月需求量生产
(1)根据数量关系及表格求关系式；根据关系式判断函数值是否成立；
(2)无盈利不亏损，说明与x无交点，转化为一元二次方程无实根
(3)月份与利润的关系式
转化为比较第m月和第（m+1）月利润差问题
(1)求y与x的关系式，说明利润能否是12
(2)求常数值k，判断是否存在月份无盈利不亏损
(3)求利润相差最大的连续两个月
2023
24
10
一次函数
玩具降价促销
(1)根据表格求关系式；
(2)一次函数根据自变量求出因变量，作差
(3)理解平均单价y=
(1)求y与x的关系式，确定自变量取值范围
(2)降价后购买所省费用
(3)猜想推导价格调整前后平均单价关系式
型号
进价(元)
售价(元)
A型
a－10
60
B型
a
75
z(棵)
10
40
W2(元)
4920
7920
销售量/个
3
5
7
销售额/元
312
504
696