2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题（课后练）

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典例精讲
例 (2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.
例题图
(1)求证：AP＝AQ；
(2)若AO＝2PO＝6.
①当S△APO最大时，求AQ的值；
②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．
课堂练兵
练习 (2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.

练习题图
(1)求证：四边形OABC为正方形；
(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；
(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．
课后小练
练习 (2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝ 90°，AB ＝ 6cm，BC＝8cm，动点M从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).
练习题图
(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，MN 与⊙O相切？
(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．
答案
典例精讲
例 (1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，
∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，
在△ACP和△ACQ中，AC＝AC∠ACP＝∠ACQPC＝QC，
∴△ACP≌△ACQ(SAS),
∴AP＝AQ；
(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，
∴S△APO＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，
∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO最大，
∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，
在Rt△AOP中，AP＝AO2＋PO2＝62＋32＝35，
由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；
解图①
②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，
当点P在AO上方时，如解图②，
∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cs ∠AOP＝OPOA＝12，∴∠AOP＝60°，
∴点P运动路径的长为60π×3180＝π；

解图② 解图③
例题图
当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300π×3180＝5π.
综上所述，点P的运动路径长为π或5π.
课堂练兵
练习 (1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.
又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.
∵OA＝OC，
∴四边形OABC为正方形；
(2)解：如解图，连接AC，
∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.
又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；

解图
(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，
∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA
∴A、C、O、E四点共圆
∵∠AOC＝90°，∴AC为直径
如解图，连接AC，取AC的中点Q，AQ为半径
∴点E在以AC的中点Q为圆心，AQ为半径的圆弧OA上运动．
连接QO，∵OA＝OC＝3，Q为AC的中点，
∴∠OQA＝90°，AC＝3eq \r(2)，∴QA＝eq \f(3\r(2),2)，
∴eq \(OA,\s\up8(︵))的长为eq \f(90×π×\f(3\r(2),2),180)＝eq \f(3\r(2)π,4).
∴点E所经过的路径l的取值范围为0＜l＜eq \f(3\r(2)π,4).
例题解图
课后小练
练习 解：(1)由题意得，AM＝2t，CN＝3t，
在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10，∴AN＝AC－CN＝10－3t，
∵AB＝6 cm，动点M速度为2 cm/s，∴动点M的最长运动时间为62＝3 s，
∵AC＝10 cm，动点N的速度为3 cm/s，∴动点N的最长运动时间为103s，
∴t的取值范围为0＜t≤3；
(2)若MN 与⊙O相切，则AB⊥MN，即∠AMN＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴∠AMN＝∠ABC，
∵∠MAN＝∠BAC，∴△AMN∽△ABC，
∴AMAB＝ANAC，即2t6＝10－3t10，解得t＝3019，
∴当t＝3019时，MN 与⊙O相切；
(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，
如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，
∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，
∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，
∴AMAC＝ANAB，即2t10＝10－3t6，解得t＝5021，
∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019