2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动圆问题 (课后练）

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典例精讲
例1 (2022河北预测卷)如图①，CD＝8，O为CD中点，A、B分别为CO、OD的中点，将OA绕点O顺时针旋转得到扇形AOG，AO⊥OG，点E在AB(不与点B重合)上从A向B运动，连接OE、CE，过点D作CE的平行线交扇形AOG于点F(点F离点B近)，连接OF.
例1题图
(1)当点O，E，F共线时，求证：△OCE≌△ODF；
(2)如图②，当∠COE＝60°时，判断直线CE与扇形AOG所在圆的位置关系，并说明理由；
(3)求DF的最大值及此时点E的运动路径长．

例2 (2022河北预测卷)如图①，已知在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点D是线段AB上一个动点，以BD为直径的⊙O与边BC交于点F，连接DF.
例2题图
(1)如图①，求tan ∠BDF的值；
(2)如图②，当线段AC与⊙O相切时，求AD的长；
(3)如图③，若E是边AC上任意一点，连接DE，EF，求△DEF面积的最大值．
课堂练兵
练习1 (2022河北黑白卷)如图①，OC垂直平分线段AB，OC≥2，以点O为圆心，2为半径作⊙O，点D是⊙O上的一点，当A，D，O三点共线时，连接OB交⊙O于点E，此时∠A＋∠B＝74°.如图②，将扇形DOE绕点O逆时针旋转，得到扇形D′OE′.
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练习1题图① 练习1题图②
(1)求证：AD′＝BE′；
(2)①当点O到AD′的距离最大时，判断BE′与⊙O的位置关系，并说明理由；
②连接D′E′，若OD∥D′E′，直接写出D'E的长．
练习2 (2021河北逆袭卷)如图①，已知半圆O的直径AB＝4，过点O作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC.
练习2题
(1)若点P在半圆O上，则PE的最大值是________，PE的最小值是________；
(2)将半圆O绕点B逆时针旋转α(0°≤α≤360°)得到半圆O ′.
①如图②，当点A恰好落在OC上时，判断直线DE与半圆O′的位置关系，并说明理由；
②如图③，当α＝90°时，求半圆O′与矩形ODEC重叠部分图形的面积．
课后小练
练习1 如图，已知∠MON＝60°，点A，B分别在边OM，ON上，且OA＝OB＝6，点P是以点A为圆心，2为半径的⊙A上一点(点P不在射线OM上)，连接OP，将OP绕点O按逆时针方向旋转60°得到OC，连接AP，BC.
练习1题图
(1)求证：AP＝BC；
(2)连接PC，当PC＝42时，判断OP与⊙A的位置关系，并说明理由；
(3)当点B，C，P在同一条直线上时，直接写出PC的长．
练习2 如图，点B，C在数轴上分别表示实数2和5，∠ACB＝90°，tan ∠ABC＝43.点Q为数轴上一动点，以点Q为圆心，3为半径画圆，交数轴于E，F两点(点E在点F的左侧)．
(1)若点M为⊙Q上任意一点，当⊙Q与AC边相切时，求线段AM的最大值；
(2)当⊙Q与△ABC的边有两个交点时，求点Q在数轴上对应的实数q的取值范围；
(3)当CQ＝2时，设⊙Q与AC的交点为N，求△BNF的面积．
练习2题图
答案
典例精讲
例1 (1)证明：当点O，E，F共线时，∠EOC＝∠FOD，
∵DF∥CE，
∴∠ECO＝∠ODF，
∵OE＝OF，
∴△OCE≌△ODF;
(2)解：直线CE与扇形AOG所在圆相切；
理由：如解图，连接AE，
∵点A为CO的中点，∴CA＝OA，
∵∠COE＝60°，OA＝OE，
∴△OAE为等边三角形，∴AE＝OA＝CA，∠OAE＝∠OEA＝60°，
∴∠ACE＝∠AEC＝30°，∴∠CEO＝90°，
∵OE为扇形AOG所在圆的半径，
∴直线CE与扇形AOG所在圆相切；
解图
(3)解：由题意可知，当CE⊥EF时，∠CEO＝90°，此时点E、O、F三点共线，
∵CE∥DF，∴∠DFO＝∠CEO＝90°，此时DF有最大值，
∵CD＝8，O为CD中点，A、B分别为CO、OD的中点，
∴DO＝CO＝4，OB＝OF＝OE＝2，
∴在Rt△DOF中，由勾股定理得DF＝OD2－OF2＝23，
∴DF的最大值为23.
∵cs ∠COE＝OEOC＝12，∴∠COE＝60°，
∴此时点E的运动路径长为60π×2180＝2π3.
例2 解：(1)∵在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2.
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∵BD为⊙O的直径，∴∠DFB＝90°，
∴AC∥DF，∴∠BDF＝∠CAB，
∴tan ∠BDF＝tan ∠BAC＝CBCA＝34；
(2)如解图，记切点为H，连接OH，则∠OHA＝90°，由(1)得∠ACB＝90°，∴∠OHA＝∠BCA，
∵∠HAO＝∠CAB，∴△OHA∽△BCA，
∴OHBC＝OABAA，
设⊙O的半径为r，则AO＝5－r，∴r3＝5−r5，
解得r＝158，∴AD＝AB－BD＝5－2r＝54；
解图
(3)∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴DFAC＝BFBC，
设BF＝x，
∴DF4＝x3，∴DF＝4x3，
∵DF∥AC，CF＝BC－BF＝3－x，
∴S△DEF＝12CF·DF＝12(3－x)·4x3＝－23(x－32)2＋32,
∵－23＜0，且0＜x≤3，
∴当x＝23时，S△DEF有最大值，最大值为32，
∴△DEF面积的最大值为32.
课堂练兵
练习1 解：(1)∵OC垂直平分线段AB，
∴OA＝OB，
由旋转的性质得OD′＝OE′，∠AOD′＝∠BOE′，
∴△AOD′≌△BOE′(SAS)，∴AD′＝BE′；
(2)①相切．理由如下：
当点O到AD′的距离最大时，AD′与⊙O相切．
由△AOD′≌△BOE′得∠AD′O＝∠BE′O＝90°，
∵OE′是⊙O的半径，∴BE′与⊙O相切；
②2330π或3730π.
【解法提示】∵OC垂直平分线段AB，∴OA＝OB，∵∠A＋∠B＝74°，∴∠A＝∠B＝37°，∠DOE＝∠D′OE′＝180°－74°＝106°.①如解图①，∵OD∥D′E′，∴∠AOD′＝∠OD′E′＝37°，∴∠D′OE＝106°－37°＝69°，∴eq \(D'E,\s\up8(︵))EQ的长为69×π×2180＝2330π；②如解图②，∵OD∥D′E′，∴∠DOE′＝∠OE′D′＝37°，∴∠D′OE＝360°－106°－106°－37°＝111°，∴eq \(D'E,\s\up8(︵))EQ的长为111×π×2180＝3730π.综上所述，eq \(D'E,\s\up8(︵))EQ的长为2330π或2730π.
解图
练习2 解：(1) 41，3；
【解法提示】当点P与点A重合时，PE取得最大值，即为AD2+DE2＝2+32+42＝41；当P、E、O三点共线时，PE取得最小值，∵CO＝4，OD＝3，∴OE＝5，∴PE的最小值为OE－OP＝5－2＝3.
(2)①直线DE与半圆O′相切；
理由如下：如解图①，过点O′作O′M⊥DE，交边DE于点M，延长MO′交边OC于点N.
∵四边形DOCE为矩形，
∴DE∥OC，∠DOC＝90°.
∵O′M⊥DE，
∴O′N⊥OC，∴四边形DONM为矩形，
∴OD∥MN，MN＝OD＝3.
∵AO′＝BO′，BO=2，
∴O′N为△ABO中位线，
∴O′N=1，
∴O′M＝MN－O′N＝2，
∴O′M为半圆O′的半径，
∴直线DE与半圆O′相切；
②如解图②，设半圆O′交DE于G、H两点，过点O′作O′F⊥GH于点F，连接O′G、O′H，则四边形O′FDB是矩形，
∴O′F＝BD＝OD－OB＝3－2＝1，
∴sin ∠O′GF＝O′FO′G＝12，∠O′GF＝30°，
∴GF＝3，∴GH＝23，
∵AB∥DE，
∴∠BO′G＝∠O′GF＝30°，
同理可得∠AO′H＝30°，
∴半圆O′与矩形ODEC重叠部分图形的面积为12O′F·GH＋2×＝3＋2π3.

解图① 解图②
课后小练
练习1 (1)证明：∵∠AOB＝∠POC＝60°，
∴∠AOP＝∠BOC，
在△AOP和△BOC中，OA＝OB∠AOP＝∠BOCOP＝OC，
∴△AOP≌△BOC(SAS)，
∴AP＝BC；
(2)解：OP与⊙A相切．
理由如下：如解图①，连接PC，∵OP＝OC，∠POC＝60°，
∴△POC为等边三角形，∴OP＝PC＝42，
又∵OA＝6，AP＝2，∴在△OPA中，OP2＝(42)2＝32，OA2＝36，AP2＝4，即OP2＋AP2＝OA2，
∴△OPA为直角三角形，且∠OPA＝90°，
又∵AP是⊙A的半径，∴OP与⊙A相切；
解图①
(3)解：PC的长为33－1或33＋1.
【解法提示】设OP＝PC＝x，当点P位于OM下方时，如解图②，连接PC，过点O作OH⊥BP，垂足为H，在Rt△POH中，CH＝HP＝OP·cs 60°＝x2，HO＝OP·sin 60°＝32x，∴BH＝BC＋CH＝2＋x2.在Rt△BOH中，OH2＋BH2＝OB2，即(32x)2＋(x2＋2)2＝62，解得x＝33－1(负值已舍去)，∴PC＝33－1；当点P位于OM上方时，如解图③，连接PB，过点O作OH⊥BP，垂足为H，在Rt△POH中，HP＝OP·cs 60°＝x2，HO＝OP·sin 60°＝32x，∴BH＝PC－CB－HP＝x－2－x2＝x2－2.在Rt△BOH中，OH2＋BH2＝OB2，即(32x)2＋(x2－2)2＝62，解得x＝33＋1(负值已舍去)，∴PC＝33＋1；综上所述，当点B，C，P在同一条直线上时，PC的长为33－1或33＋1.

解图② 解图③
练习2 解：(1)∵∠ACB＝90°，
∴⊙Q与AC边相切时，点E与点C重合，
∴∠ACQ＝90°，
∵tan ∠ABC＝ eq \f(4,3) ，由数轴得BC＝3，
∴AC＝4，∴AQ＝ eq \r(AC2＋CQ2) ＝5，
∵MQ＝3，AM≤AQ＋MQ＝8，
∴AM的最大值为8；
(2)将⊙Q从当前位置向左平移，当点E与点C重合时，⊙Q与△ABC的边有一个交点，此时点Q在数轴上对应值为8；
将⊙Q再向左平移，⊙Q与△ABC的边有两个交点，直至⊙Q与AB边相切．
如解图①，记切点为H，连接QH，则∠QHB＝90°，QH＝3，
∵tan ∠ABC＝ eq \f(4,3) ，
∴ eq \f(QH,BH) ＝ eq \f(4,3) ，即 eq \f(3,BH) ＝ eq \f(4,3) ，∴BH＝ eq \f(9,4) ，
∴在Rt△BHQ中，BQ＝ eq \r(HQ2＋BH2) ＝ eq \f(15,4) ，
∴点Q在数轴上对应的值为 eq \f(23,4) .
将⊙Q再向左平移，⊙Q与△ABC的边有四个交点，当Q与点C重合时，此时点Q在数轴上对应的值为5；将⊙Q再向左平移，⊙Q与△ABC的边有两个交点，直至点F与点B重合，此时点Q在数轴上对应值为－1；
综上所述，当⊙Q与△ABC的边有两个交点时，点Q在数轴上对应值q的取值范围为－1＜q＜5或 eq \f(23,4) ＜q＜8；
解图①
(3)当CQ＝2时，分两种情况讨论：
当点Q 位于点C右侧时，如解图②，连接BN，NF，NQ.
∵QF＝QN＝3，QC＝2，∴CF＝5，NC＝ eq \r(5) ，∵BC＝3，∴BF＝8，
∴△BNF的面积为 eq \f(1,2) BF‧NC＝ eq \f(1,2) ×8× eq \r(5) ＝4 eq \r(5) ；
当点Q位于点C左侧时，如解图③，连接BN，NF，NQ.
∵QF＝QN＝3，QC＝2，∴CF＝1，NC＝ eq \r(5) ，
∵BC＝3，∴BF＝4，∴△BNF的面积为 eq \f(1,2) BF‧NC＝ eq \f(1,2) ×4× eq \r(5) ＝2 eq \r(5) .
综上所述，△BNF的面积为4 eq \r(5) 或2 eq \r(5) .

图② 图③
练习2题解图类型
年份
题号
题型
分值
图形
切线
设问形式
解题关键点
动点引起圆大小变化
2021
23
解
答
题
9
三角形+扇形
已知
(1)求证线段相等
(2)求弧长
(3)求线段取值范围
(1)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等
(2)锐角三角函数求半径长
(3)三角形外心性质
2022
26
14
矩形+
半圆
已知
(1)判定点是否在直线上；求角度
(2)求满足两点间最小距离的角度，求最小距离
(3)求角度及阴影面积
(1)锐角三角函数求线段长；等腰三角形为直角三角形
(2)三点共线，线段最短
(3)面积分割：构造和差法
旋转
2023
25
10
圆+平行四边形+三角形
已知
两条线段的位置关系
比较弦与劣弧长的大小
(3)求线段取值范围
(1)圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角
平行四边形性质：对边平行
求劣弧：
求弧长：①过点C作CM⊥AB确定圆心角度数；②通过证明△OPE∽△PCM（一线三垂直相似）求半径
角度
2021
25
10
2个半圆
已知
发现：求两弧长和为定值，并求值
思考：求点到直线的最大，最小值及对应图形的面积
探究：求弧长
发现： 通过证明△OPQ为等边三角形得圆心角为60°
思考： 当PQ∥AB时，点M到AB距离最大；当点P与点A重合（或点P与点Q重合）时，点M到AB距离最小；封闭图形为等边三角形
探究：当半圆M与AB相切时，分切点在线段OA上和在线段OB 上，根据切线性质分别求出所对圆心角度数