2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质 (讲义）

这是一份2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质 (讲义），共12页。试卷主要包含了抛物线中交点问题通常有，判断点是否在抛物线内问题，此时点M的坐标为等内容，欢迎下载使用。

典例精讲
例 (2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.
例题图
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；
(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB恰好有一个交点，求n的取值范围．
(4)若原抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离，点F的坐标.
选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想
方法总结
知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式
解题方法：对称轴：①解析式已知，直接代入x=－b2a；
②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x=x1+x22
顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式；
②顶点式：直接得到顶点坐标；
③交点式：化为顶点式
求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得
平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）；
②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确定平移方式，通常通过顶点来确定；
2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；
3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范围的两端点的x值分别代入求解即可.
课堂练兵
练习 (2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－12x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.
练习题图
(1)当k＝－1时．
①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；
(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤12k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．
课后小练
练习1 (2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.
练习题图
(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；
(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？
(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．
练习2 (2022河北逆袭诊断卷) 如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－eq \f(1,2)x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.
(1)当m＝1时，求抛物线的解析式及点P的坐标；
(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；
(3)当抛物线与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
练习2题图
答案
典例精讲
例 解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，
∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，解得y＝2，
∴点A的坐标为(0，2)，
∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，
∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，
∴点B的坐标为(4，6).
∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，
得c＝2，16＋4b＋c＝6，得b＝－3，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；
(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，
∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，
∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，
∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，
∵－1＜0，0＜m＜4，
∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；
(3)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14，
∵将抛物线沿x轴平移n个单位长度，得到抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，
∴可设抛物线解析式为y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2＝(x－32＋n)2－14，
通过图象可知，
①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，
将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－32＋n)2－14＝2，
解得n1＝3，n2＝0(舍去)，
∴n的取值范围为0＜n≤3；
②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，
将B(4，6)代入抛物线解析式，得(52＋n)2－14＝6，
解得n1＝－5，n2＝0(舍去)，
∴n的取值范围为－5≤n＜0.
∴n的取值范围为－5≤n＜0或0＜n≤3.
(4)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14
∵顶点坐标为(32，-14)，
∴将32代入直线解析式y＝32＋2=72，顶点坐标为(32，72)，
∴平移距离=14+72=154，
∴平移后抛物线y＝(x－32)2+72，
联立y＝(x－32)2+72y＝x+2，解得x1＝52x1＝32
当x＝32时，交点为平移后抛物线顶点坐标(32，72)
当x＝52时，交点F坐标为(32，92).
课堂练兵
解：(1)① 对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，92)；
【解法提示】∵k＝－1，∴y＝－12x2－x＋4＝－12(x＋1)2＋92，∴对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，92).
②由①得，抛物线y＝－12x2－x＋4的对称轴为直线x＝－1，
∵－12＜0，∴当－2≤x≤－1时，y随x的增大而增大，
当－1＜x≤1时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，抛物线有最大值为92，
∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，
∴当x＝1时，抛物线有最小值，最小值为52，∴当－2≤x≤1时，抛物线的最大值为92，最小值为52，
∴最大值与最小值的差为92－52＝2；
(2)k的值为－22或43 6.
【解法提示】设直线x＝12k交抛物线于点P，抛物线的顶点为R，
∵y＝－12x2＋kx＋4＝－12(x－k)2＋12k2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为(k，12k2＋4)，
当x＝12k时，y＝－12×(12k)2＋k×12k＋4＝38k2＋4，∴P(12k，38k2＋4).
当k＜0时，如解图①，当x≤12k时，最高点为R(k，12k2＋4)，
∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，
∴12k2＋4－6＝2，解得k＝－22或k＝22(舍去)；
当k≥0时，如解图②，当x≤12k时，抛物线的最高点为P(12k，38k2＋4)，
∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，
∴38k2＋4－6＝2，解得k＝43 6或k＝－43 6(不符合题意，舍去).
综上所述，k的值为－22或43 6.

解图② 解图①
课堂小练
练习1 解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，
∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝14，
∴抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2.
∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令14(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，
∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，
∵点A在y轴上，∴AB＝2；
(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2，
∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－h)2＋k，
∵FO＝12，∴F(12，0)，
将点D(6，3)，F(12，0)代入，可得－14（6－ℎ）2＋k＝3－14（12－ℎ）2＋k＝0，解得ℎ＝8k＝4.
∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－8)2＋4.
当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，
则2.5＝14(x－4)2＋2，解得x＝4±2，或2.5＝－14(x－8)2＋4，解得x1＝8＋6，x2＝8－6(不合题意，舍去)，
∴小车到出发点A的水平距离为4＋2或4－2或8＋6；
(3)由抛物线y＝－14(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，
设M(d，0)(8＜d＜12)，
∴点P(d，－14(d－8)2＋4)，则SP＝d－8，PM＝－14(d－8)2＋4，
∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－14(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－14(d－10)2＋9，
∵8＜d＜12，－14＜0，
∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)
练习2 解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，
∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
∵点P为抛物线的顶点，
∴点P的坐标为(1，－2)；
(2)∵抛物线y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，
∴顶点P在直线y＝－2上，
∵点Q的横、纵坐标都不小于0，
∴点Q在线段AB上，
如解图，当点Q与点B重合时，线段PQ的值最小，过点C，D分别作PQ所在直线的垂线，垂足分别为E，F，
∵点B的坐标为(4，0)，
∴x＝－eq \f(－2m,2)＝m＝4，
∴抛物线的解析式为y＝x2－8x＋14，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2－8x＋14,y＝－\f(1,2)x＋2))，
可得x2－8x＋14＝－eq \f(1,2)x＋2，
解得x1＝eq \f(15＋\r(33),4)，x2＝eq \f(15－\r(33),4)，
∴CE＋DF＝x1－x2＝eq \f(\r(33),2)，
∴S△PCD＝S△PBC＋S△PBD
＝eq \f(1,2)PB·CE＋eq \f(1,2)PB·DF
＝eq \f(1,2)PB·(CE＋DF)
＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(33),2)
＝eq \f(\r(33),2)；
解图
(3)m的取值范围为－2≤m＜2或4－eq \r(2)＜m≤4＋eq \r(2).
【解法提示】分两种情况讨论：①当抛物线过点A时，可得m2－2＝2，解得m＝2或m＝－2，当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2－4x＋2,y＝－\f(1,2)x＋2))，可得x2－4x＋2＝－eq \f(1,2)x＋2，解得x1＝0或x2＝eq \f(7,2)，∵x2＝eq \f(7,2)＜4，∴两交点都在线段AB上，∴－2≤m＜2；②当抛物线过点B时，可得(4－m)2－2＝0，解得m＝4＋eq \r(2)或m＝4－eq \r(2)，∴4－eq \r(2)＜m≤4＋eq \r(2).
年份
题号
题型
分值
考查内容
设问形式
探究问题
2022
23
解
答
题
10
（1）抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标；
（2）函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离
定抛物线性质探究：
(1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标；
(2)求平移的最短距离
点移动最小距离
2021
25
10
已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题；
（2）二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式；
（3）抛物线与动线段交点问题
定抛物线性质探究：
(1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶
(2)求抛物线解析式，求对称轴
(3)求横坐标最大值与最小值的差
点横坐标最大值与最小值的差
2019
26
12
平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系；
直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值；
平均数→中点，函数图象上点的性质；
（4）直线与抛物线交点个数问题
含参抛物线（y=-x2+bx）性质探究：
(1)求直线、对称轴、交点坐标
(2)求点与直线距离最大值
(3)求两点间距离
(4)求“美点”的个数
美点的个数
2016
26
12
反比例函数k的几何意义；
抛物线与x轴交点坐标，对称轴；
二次函数性质求最值，分类讨论思想；
反比例函数图象与抛物线交点问题
含参抛物线（y=-12(x-t)(x-t+4)）性质探究：
(1)求反比例函数k的值
(2)求两点间距离，两直线间距离
(3)求最高点坐标
(4)求参数取值范围
抛物线与双曲线交点问题
2015
25
11
求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标；
抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性；
抛物线与线段交点问题（x轴），分类讨论思想
含参抛物线（y=-(x-h)2+1）性质探究：
(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标
(2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小
(3)求参数h值
抛物线与线段交点问题