2024 河北数学中考备考重难专题：三角形、四边形综合题平移问题（课后练）

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典例精讲
例 (2022河北定心卷)如图①，在▱ABCD中，AC⊥AB，AC＝4 cm，tan B＝43. 如图②，将△ADC沿AC方向以1 cm/s的速度匀速平移得到△PEF，点A，C，D的对应点分别为P，F，E，同时，点Q从点C出发，沿CB方向以1 cm/s的速度匀速运动，连接PQ，EQ，CE，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．
(1)当t为何值时，PQ⊥BC；
(2)当t为何值时，20S△EQC＝3S△ABC；
(3)嘉淇认为在(1)的情况下，线段PQ的长度最小，嘉淇的观点正确吗？若正确，请说明理由，并求出此时线段PQ的长；若不正确，请求出线段PQ的最小值．
例题图
课堂练兵
练习 (2022山西逆袭卷)综合与实践
问题情境：
如图①，是由两个全等的含30°角的三角尺拼成的矩形，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠ACB＝∠DFE＝30°，点C与点E重合，点B与点F重合，现将△DEF固定不动，将△ABC沿FD的方向平移，当点B与点D重合时，停止运动，设运动过程中，AB与EF相交于点M，BC与DE相交于点N.
(1) 数学思考：
如图②，当BF＝2BD时，试判断四边形EMBN的形状，并证明；
(2) 猜想证明：
如图③，连接AF，CD，当四边形AFDC为菱形时，请猜想BF和AB的数量关系，并加以证明；
(3) 拓展延伸：
若AC＝DF＝6，在平移的过程中，当△ABC与△DEF的重叠部分的面积最大时，请直接写出线段BF的长度．

练习题图
课后小练
练习 (2022天津逆袭卷)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为正方形，点A，点C分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，B(6，6)，连接AC.将△ABC沿y轴平移至△A′B′C′，设△A′B′C′与△OAC重叠部分的面积为S.
(Ⅰ)如图①，设CC′为m，求出S与m之间的函数关系式(0≤m≤6)；
(Ⅱ)当S＝8时，求CC′的长；
(Ⅲ)如图②，若C′为OC的中点，将△A′B′C′向左平移，得到△A″B″C″，记△A″B″C″与△OAC重叠部分的面积为S′，设向左平移距离为t(0≤t≤6).
①当t＝1时，求S′的值；
②求S′的取值范围(直接写出结果即可).
练习题图
答案
典例精讲
例 解：(1)如解图①，Rt△ABC中，AC＝4cm，tanB＝43，∴ACAB＝43，解得AB＝3cm.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝AB2＋AC2＝32＋42＝5cm.
∵PQ⊥BC，AC⊥AB，∴∠PQC＝∠BAC＝90°.
又∵∠QCP＝∠ACB，∴△PQC∽△BAC，
∴QCAC＝PCBC.
由题意，得QC＝AP＝t，PC＝AC－AP＝4－t，
∴t4＝4－t5，解得t＝169.
∴当t＝169时，PQ⊥BC；
解图①
(2)如解图②，过点P作PG⊥BC于点G，则∠PGC＝90°.
由sin∠ACB＝PGPC＝ABBC，得PG4－t＝35，∴PG＝35(4－t).
由平移性质，得PE∥CQ，
∴S△EQC＝ S△PQC＝12CQ·PG＝12t×35(4－t)＝310t(4－t).
∵S△ABC＝12AB·AC＝12×3×4＝6，20S△EQC＝3S△ABC，
∴20×310t(4－t)＝3×6，解得t1＝1，t2＝3，
∴当t＝1或3时，20S△EQC＝3S△ABC；
解图②
(3)嘉淇的观点不正确．
如解图②，由cs∠ACB＝CGCP＝ACBC，得CG4－t＝45，
∴CG＝45(4－t)．∴QG2＝(CG－CQ)2＝[45(4－t)－t]2＝(165－95t)2＝8125t2－28825t＋25625.
由(2)得PG＝35(4－t)，∴PG2＝[35(4－t)]2＝(125－35t)2＝925t2－7225t＋14425.
在Rt△PGQ中，由勾股定理，得PQ2＝PG2＋QG2＝185t2－725t＋16＝185(t－2)2＋85.
∵185＞0，∴当t＝2时，PQ2有最小值，最小值为85，
∴PQ最小＝85＝2105 cm.
课堂练兵
练习 解：(1)四边形EMBN是菱形．
证明：由平移可知：AB∥DE，BC∥EF，
∴四边形EMBN是平行四边形，∠ABF＝∠EDF＝90°， EMFM＝DBFB，
∵BF＝2BD，∴EMFM＝12，
在Rt△BMF中，∵∠ABF＝90°，∠DFE＝30°，∴sin ∠DFE＝sin 30°＝BMFM＝12，
又∵EMFM＝12，∴BM＝EM，∴四边形EMBN是菱形；
(2)BF＝2AB.
证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，
∵四边形AFDC为菱形，∴AF＝DF，
在Rt△DEF中，∵∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∴tan 30°＝DEDF＝33，
∴DF＝3DE，
又∵AB＝DE，AF＝DF，∴AF＝3AB，
∴在Rt△ABF中，BF＝AF2－AB2＝（3AB）2－AB2＝2AB；
(3)BF＝3.
【解法提示】
由(1)可知：△ABC与△DEF的重叠部分为▱EMBN，在Rt△BFM中，∵∠FBM＝90°，∠MFB＝30°，∴tan 30°＝BMBF＝33，∴BM＝33BF，∵DF＝6，∴BD＝DF－BF＝6－BF，∴S▱EMBN＝BM·BD＝33BF·(6－BF)＝－33(BF－3)2＋33，∵－33＜0，且0