2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题真实情境中的圆问题（课后练）

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典例精讲
例 (2022河北定制卷)如图是一个水车的示意图，车身⊙O与水面分别交于点A，B，水车上均匀分布着若干水斗，P表示水车上的一个水斗，∠BPA＝45°，接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知水车的直径是6 m，∠BAP＝60°.当点P恰好抵达出水点，即在MN所在直线上时，解答下列问题：
例题图
(1)求证：∠MPB＝∠BAP；
(2)求点P从出水点到水车最低点所经过的路程；
(3)若水车位于水面以下部分的深度需等于水车直径的15才能使水车的出水量达到最大，问：该水车需要再降低多少高度．(结果保留两位小数，2取1.414)
方法总结
辅助线作法：如果有切线，连圆心和切点，构造垂直，看是否能将所给条件转化到一个三角形中，若不能则考虑延长切点与圆心的连线，构造直径解决。
解题方法：
1.证明角间数量关系
切线的性质（有切线），圆周角定理，两半径构成等腰三角形，两角互余的性质进行倒角.
2.求线段长
通常有以下几种方法：
①勾股定理/锐角三角函数:
条件：所给条件在或者转化到同一个直角三角形（也可作垂线构造）中，若已知角的度数，则考虑用锐角三角函数解题；
辅助线作法：若圆中不存在直角三角形，通常通过作直径（圆周角定理推论）、作垂线、垂径定理构造直角三角形
②三角形相似、全等：
条件：所给条件位于两个三角形中，且能得到2组角对应相等，若能有1组边相等，则考虑全等三角形解题，否则，用相似三角形解题.
课堂练兵
练习 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90 cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留π）
练习题图
课后小练
练习1 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你作出圆形截面图的圆心；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．
练习1题图
练习2 (2022河北黑白卷)如图是蒸汽车轮机械装置模型，嘉淇在学习了其工作原理后，画出如图2的简单机械模型图示，滑块A在滑道MN上可左右滑动，且滑动过程中连杆AB和曲柄OB随之运动．已知AB＝10dm，OB＝4dm，且点B的运动轨迹是以点O为圆心、OB长为半径的圆，滑道MN所在直线与⊙O相切，过点N作NP⊥MN，NP恰好与⊙O相切于点P，连接OA.
练习2题图
(1)为实现连续完整的圆周运动，求滑块A所在滑道MN的最短长度；
(2)当直线AB与⊙O相切时，求eq \(BP,\s\up8(︵))EQ的长度；
(3)嘉淇在画机械模型示意图时，记录的数据不小心被墨水污染了，而后她令AB＝7dm，OB＝4dm，请帮助她判断这个简单模型是否可以做连续完整的圆周运动？请说明理由，并直接写出此时OA的取值范围．
(参考数据：sin 68°≈910，cs 68°≈38，tan 68°≈52)
答案
典例精讲
例 (1)证明：如解图①，连接OB，
则OB＝OP，∠OBP＝∠OPB，
∴∠OPB＝12(180°－∠POB)，
∵∠POB＝2∠BAP，
∴∠OPB＝90°－∠BAP，
∵MP是⊙O的切线，
∴∠MPO＝∠MPB＋∠OPB＝90°，即∠OPB＝90°－∠MPB，
∴∠MPB＝∠BAP；
例题解图①
(2)解：如解图②，连接OA，OB，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为D，交⊙O于点E，
∵∠BAP＝60°，∴∠POB＝120°，
∵∠BPA＝45°，∴∠BOA＝90°，
∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠BOE＝45°，∴∠POE＝165°，
∴劣弧eq \(PE,\s\up8(︵))EQ的长度为165π×3180＝114π，
∴点P从出水点到水车最低点所经过的路程为114π；
例题解图②
(3)解：要使水车位于水面以下部分的深度等于水车直径的15，即解图②中DE＝65，
则需使OD＝3－65＝95.由(2)知，△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝2OB＝32，
∴在Rt△OBD中，OD＝BD＝322，∴需要降低的高度h＝322－95≈0.32 (m).
课堂练兵
练习 解：（1）连接OD，
练习题解图
∵D为的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O切线，
∴OD的长是圆心O到“杠杆EF”的距离，
∵AB＝90cm，
∴OD＝OA＝45cm；
（2）∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得：∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵DF＝6，
∴（2OD）2﹣OD2＝（6）2，
解得：OD＝6，
∴S阴影＝S扇形BOD+S△AOD＝．
课后小练
练习1 解：解法提示：找圆内接三角形的外心。在弧上任选一点，以AB为边作三角形，作另外两边垂直平分线，交点即为圆心.
（1）如图所示；
练习1题解图
（2）由(1)中可知点D，则D为AB的中点，
∵AB＝32cm，
∴AD＝AB＝16 cm．
设这个圆形截面的半径为x cm，
又∵CD＝8cm，
∴OD＝x﹣8，
在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，
解得，x＝20．
∴圆形截面的半径为20cm．
练习2 解：(1)如解图①，当点A与点M重合，且O，B，M三点共线，此时可实现连续完整的圆周运动，滑道MN的长度最短．
过点O作OD⊥直线MN于点D，连接OP，
∵直线MN与⊙O相切，∴OD＝OB＝4dm.
∵NP与⊙O相切，∴OP⊥NP.
∵NP⊥MN，∴四边形OPND是正方形．∴DN＝OP＝4dm，
∵OM＝OB＋AB＝4＋10＝14dm，
∴DM＝OM2－OD2＝142－42＝65dm，∴MN＝DM－DN＝(65－4)dm.
∴滑块A所在滑道MN的最短长度为(65－4)dm；
练习2题解图①
(2)如解图②，当直线AB在OP的上方与⊙O相切于点B时，
由(1)可知四边形OPNB是矩形，∴eq \(BP,\s\up8(︵))EQ的长＝90π×4180＝2π dm；
如解图③，当直线AB在OP的下方与⊙O相切于点B时，∴OB⊥AB.
点B′为AB在OP的上方与⊙O相切时的切点，OB′⊥AB′，
在Rt△OAB′与Rt△OAB中，∵OB′＝OB，OA＝OA，∴Rt△OAB′≌Rt△OAB.
∴∠B′OA＝∠BOA，∴tan∠BOA＝104＝52，
∵tan 68°≈52，∴∠BOA＝68°，∴∠BOB′＝68°×2＝136°，
∴∠BOP＝∠BOB′－∠B′OP＝136°－90°＝46°，∴eq \(BP,\s\up8(︵))EQ的长＝46π×4180＝4645πdm.
∴当直线AB与⊙O相切时，eq \(BP,\s\up8(︵))EQ的长为2πdm或4645πdm；

解图② 解图③
练习2题
(3)不能．
理由如下：如解图④，当点A，N重合，点B在OP的上方时，点B到达最左端，不能再往左继续运动；
如解图⑤，当点A，N重合，点B在OP下方时，点B到达最左端，不能再往左继续运动，因此这个简单模型不能做连续完整的圆周运动．
42dm≤OA≤11dm.
【解法提示】由(1)可知，当O，B，A三点共线时，OA最长，此时OA＝4＋7＝11dm，
如解图⑥，当点A，N重合时，OA最短，过点O作OD⊥直线MN于点D，
易得四边形OPAD为正方形，∴PA＝OP＝4dm，∴OA＝42＋42＝42dm.
综上所述，42dm≤OA≤11dm.

解图④ 解图⑤ 解图⑥
练习2题
年份
题号
题型
分值
情境
考查内容
设问形式
2022
24
解答题
10
水渠横断面
(1)锐角三角函数（仰俯角）；
(2)垂径定理、锐角三角函数
(1)求角的大小及线段长；
(2)图中画出线段，求最大水深