数学：浙江省杭州市萧山区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：浙江省杭州市萧山区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 对于一元二次方程，下列说法等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1. 若，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.有意义的条件是，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意；
B. 有意义的条件是，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意；
C.有意义的条件是，所以时二次根式一定有意义，符合题意；
D.有意义的条件是 ，所以时二次根式不一定有意义，不符合题意．
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.，选项错误，不符合题意；
B.，选项错误，不符合题意；
C.，选项错误，不符合题意；
D.，选项正确，符合题意；故选D．
3. 如图，A、P是直线m上任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）
A. AC=BPB. △ABC的周长等于△BCP的周长
C. △ABC的面积等于△ABP的面积D. △ABC的面积等于△PBC的面积
【答案】D
【解析】∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，
根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，
故△ABC的面积等于△PBC的面积．
故选D．
4. 一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是( )
A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数
【答案】D
【解析】A.原来数据的方差加入一个数后的方差一定发生了变化，不符合题意；
B.原来数据的平均数是＝，加入一个数，平均数一定变化，不符合题意；
C.原来数据的中位数是3，加入一个数后，如果中位数一定变化，不符合题意；
D.原来数据的众数是2，加入一个数后众数仍为2，符合题意；
故选：D．
5. 若关于x方程有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】A
【解析】当方程为一元二次方程时，，且，
即，
解得；，
故且，
当方程为一元一次方程时，，方程的根为，
综上，k的取值为，
故选：A．
6. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A. 0B. ±3C. 3D. －3
【答案】D
【解析】∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故选：D．
7. 若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
8. 如图大坝的演断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（ ）．
A. 6米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】分别过、作，，
∴四边形为矩形，
斜坡的坡比，即，不妨设，则，
在中根据勾股定理：，
，解得或（不合题意，舍去），
又∵背水坡的坡比，
∴，
∴在中根据勾股定理得：
，
故选：．
9. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设门的对角线长为尺，则可列方程为：
故选：C．
10. 对于一元二次方程，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】①若，则是方程的解，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
故②错误；
③∵方程两根为，且满足，
∴，
令，，
∴方程有两个实数根，令两根分别为，
∴，
，
∴方程，必有实根，，
故③正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，故④正确．
故正确的有①③④，故选：D．
二．填空题
11. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：________．

【答案】
【解析】由数轴位置可知，
．
12. 已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则_______．
【答案】2
【解析】一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为，
，
解得∶，
故答案为∶2．
13. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，的周长为_______．
【答案】10
【解析】由平行四边形的性质可得：，，
由题意可得：点在的垂直平分线上，
∴，
的周长．
故答案为：．
14. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数________．
【答案】
【解析】∵一元二次方程的两个实数根为，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 已知关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，，则关于的一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程（均为常数，且）的解是，即的解为；
令，
关于的一元二次方程化为，
的解为，
的解为，即或，
，
关于的一元二次方程的解是，故答案为：．
16. 如图，将一副三角尺中，含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边重合，，分别是边，上的两点，与交于，且四边形是面积为的平行四边形，则线段的长为_______．
【答案】
【解析】如图所示，
过点Q作于点F，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
设，，
则，
在中，
，
四边形是面积为的平行四边形，
，
，
，
∵，则，
又，
是等腰直角三角形，
，
又四边形是平行四边形，则，，
，
，
，即，
，
解得：或（舍去），
，即，
．
三．解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
（1）解：
；
（2）解：
．
18. （1）关于 的方程，下列解法完全正确的是__________．
（2）选择合适的方法解方程
（1）解：由题意知，丁的解法完全正确，
故答案为：丁；
（2）解：，
，
∴或，
解得，．
19. 某中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示．
演讲比赛成绩条形统计图
（1）根据图中数据填写下表：
（2）根据上表数据你认为哪班的成绩较好？请说明你的理由．
（1）解：由统计表可知：甲班的数据从小到大排列为：7.5，8，8.5，8.5，10，
所以甲班的众数是8.5；
方差是：，
乙班的数据从小到大排列为：7，7.5，8，10，10，
所以乙班的中位数是8；
故答案为：①8.5；②0.7；③8；
（2）解：甲班成绩好．
理由：因为甲、乙两班成绩的平均数相同，而甲班成绩的中位数高于乙班的中位数，甲班的方差小于乙班的方差，
所以甲班的成绩较好．
20. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
和中，，
∴；∴．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
（2）解：∵关于的一元二次方程中，，
∴，∴，，
∵方程的两个根都是负根，
∴，∴．
22. 某超市销售一种亚运会吉祥物挂件，每套进价为元，如果按每套元销售，每周可售出套，通过市场调查发现，每套挂件的售价每降低元，每周的销售量将增加套．
（1）每套亚运会吉祥物挂件的售价降低多少元时，该超市平均每周能盈利元？
（2）该超市平均每周销售这种亚运会吉祥物挂件的盈利能达到元吗？请说明你的理由．
（1）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，即，
解得：，，
答：每套亚运会吉祥物挂件的售价降低5元或12元时，该超市平均每周能盈利2400元；
（2）解：设每套亚运会吉祥物挂件的售价降低元，
根据题意，得
化简整理，得，
∵，∴方程无实数解，
答：盈利不能达到3000元．
23. 综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1，有一块矩形纸板，长为，宽为，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子．(纸板厚度忽略不计)

（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕)；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
解：（1）设剪去正方形的边长为．
根据题意列方程为．
解，得，．
当时，，，所以不符合题意舍去．
答：剪去正方形的边长为3cm；
（2）①画出的图形如图所示．

②设剪去的正方形的边长为．
根据题意得：．
解得(舍)，．
答：剪去的正方形的边长为．
24. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm，∠C＝30°．点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点A出发沿折线A﹣D﹣C向点C运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．设运动时间为ts．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝0.5s时，△APQ的面积；
（3）当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，求t的值．
解：（1）平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2cm
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm
如图，过点B作BE⊥CD于点E，
∵∠C＝30°
∴BE＝BC＝1cm
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BE＝4×1＝4cm2
（2）当t＝0.5s时，
AP＝2×0.5＝1cm，AQ＝1×0.5＝0.5cm
如图，过点Q作QM⊥AP
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C
∵∠C＝30°∴∠A＝30°
∴QM＝AQ＝×0.5＝（cm）
∴△APQ的面积为：×AP×QM＝×1×＝（cm2）
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为4cm2．
∴当△APQ的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△APQ的面积为：4×＝（cm2）
当点P在线段AB上运动t秒时，点Q在AD上运动t秒，AP＝2tcm，AQ＝tcm，高为＝cm，
∴×2t×＝，
∴t＝﹣（舍）或t＝，
∴t＝时符合题意；
当点P运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点Q也运动到线段CD上，
如图，过点P作MN垂直CD于点M，垂直于AB延长线于点N，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠C＝30°，
∴AB∥CD，∴∠PBN＝∠C＝30°
PN＝PB＝（2t﹣4）＝（t﹣2）（cm），PM＝1﹣（t﹣2）＝（3﹣t）（cm）
S△APQ＝4﹣×4×（t﹣2）﹣×[4﹣（t﹣2）]×[1﹣（t﹣2）]﹣（t﹣2）×1＝
∴4﹣2t＋4﹣（6﹣t）（3﹣t）﹣＋1＝
化简得：t2﹣4t＋3＝0
∴（t﹣1）（t﹣3）＝0
∴t＝1（不符合题意，舍）或t＝3
当t＝3时，点P位于点C处，点Q位于线段CD上，符合题意．
综上，t的值为或3．甲
乙
两边同时除以
得到．
移项得，
，
，
．
丙
丁
整理得，
，
，
，
．
整理得，
配方得，
，
，
．
平均数
中位数
众数
方差
甲班
①___
②___
乙班
③___