2024成都中考数学二轮复习专题 PA+PB型 将军饮马问题专项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 PA+PB型 将军饮马问题专项训练（含答案），共39页。
PA+PB型
内容讲解
（1）两条线段和最小
已知平面内两点、，在直线上找一点，使得最小。

例1.如图，正方形的面积为20，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为
A．4B．C．D．
例2.如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，的度数为，，动点在线段上，则的最小值为
B．C．D．
例3.如图，平面直角坐标系中，已知点、以点为圆心，3为半径作，是上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ．
过关检测
1.如图，菱形的周长为12，点，分别在，上，，，点为对角线上一动点，则的最小值为 ．
2.在菱形中，，，点是的中点，点是对角线上一个动点，则的最小值是 ．
3.如图，平面直角坐标系中，分别以点、点为圆心，1、3为半径作、，，分别是、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
4.如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为 ．
（2）两条线段差的绝对值最大
例1.如图，、两点在直线的两侧，点到直线的距离，点到直线的距离，且，为直线上的动点，则的最大值是
B．C．D．6
例2.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若将菱形沿轴正方向平移，当菱形的顶点落在函数的图象上时，求菱形沿轴正方向平移的距离．
（3）在轴上是否存在一点，使有最大值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
例3.已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点．
（1）直接写出点的坐标，并求过、、三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为，为线段上一点，直接写出的取值范围．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上一动点．求：
①的最小值及此时点的坐标；
②的最大值及此时点的坐标．
2.如图，抛物线经过，两点，且交轴于点，对称轴与抛物线相交于点、与直线相交于点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在一点，使得的值最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接，请探究：在抛物线上是否存在一点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）两条线段差的绝对值最小
总结：不管同侧还是异侧，直接作中垂线即可，可利用中点公式及两直线互相垂直的结论进行解题。
例1.抛物线与轴交于点，顶点为．点是轴上的一个动点，当点的坐标是 时，取得最小值．
过关检测
1.已知抛物线经过点．设点，请在抛物线的对称轴上确定一点，使得的值最大，则点的坐标为 ．478；号：2802
学习任务
如图，是半径为1的的直径，点在上，，为弧的中点，点是直径上一个动点，则的最小值为
A．B．C．1D．2
2.如图，在菱形中，，，分别是，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
3.如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，过点作于点，点是边上另一动点，连接，，则的最小值为 ．
4.如图，抛物线与直线交于，两点，点在轴上，抛物线交轴于、两点，已知
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，请求出点的坐标及这个最大值．
2024成都中考数学二轮复习专题
PA+PB型 将军饮马问题专项训练（解析版）
课中讲解
PA+PB型
内容讲解
（1）两条线段和最小
已知平面内两点、，在直线上找一点，使得最小。

例1.如图，正方形的面积为20，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为
A．4B．C．D．
【考点】：轴对称最短路线问题；：等边三角形的性质；：正方形的性质
【分析】先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连结，依据正方形的对称性可知，则．由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长．
【解答】解：连结．
为正方形，面积为20，
正方形的边长为，
为等边三角形，
，
为正方形，
与关于对称，
，
，
由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值，
故选：．
例2.如图，已知的半径为，、是直径的同侧圆周上的两点，的度数为，，动点在线段上，则的最小值为
A．B．C．D．
【考点】：垂径定理；：圆心角、弧、弦的关系；：圆周角定理；：轴对称最短路线问题
【分析】根据轴对称，作出点关于的对称点，连接交于点，此时最小．由题意求出的度数，进而得到的度数，算出的度数，再在直角三角形利用三角函数计算出的长，再根据垂径定理可以得到的长，的长就是的最小值．
【解答】解：如图：作点关于的对称点，根据对称性可知：．由两点之间线段最短，此时的长就是的最小值．
过作，垂足为，
，
，
，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
．
故选：．
例3.如图，平面直角坐标系中，已知点、以点为圆心，3为半径作，是上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ．
【考点】：坐标与图形性质；：轴对称最短路线问题
【分析】如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，交于．此时最小，最小值为，求出即可解决问题．
【解答】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，交于．
，
当与重合，与重合时，最小，最小值为，
，，
，
的最小值为．
故答案为．
过关检测
1.如图，菱形的周长为12，点，分别在，上，，，点为对角线上一动点，则的最小值为 3 ．
【考点】：轴对称最短路线问题；：菱形的性质
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则，由两点之间线段最短可知当、、在一条直线上时，有最小值，然后求得的长度即可．
【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，则．
．
由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．
四边形为菱形，周长为12，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
的最小值为3．
故答案为：3．
2.在菱形中，，，点是的中点，点是对角线上一个动点，则的最小值是 ．
【分析】连接，根据菱形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，推出，连接，与交于点，连接，此时值最小，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接，
在菱形中，，，点是的中点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
连接，与交于点，连接，此时值最小，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
3.如图，平面直角坐标系中，分别以点、点为圆心，1、3为半径作、，，分别是、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
【考点】：圆的综合题
【分析】作关于轴的对称，连接分别交和于、，交轴于，如图，根据两点之间线段最短得到此时最小，再利用对称确定的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出的长，然后用的长减去两个圆的半径即可得到的长，即得到的最小值．
【解答】解：作关于轴的对称，连接分别交和于、，交轴于，如图，
则此时最小，
点坐标，
点坐标，
点，
，
，
的最小值为．
故选：．
4.如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为 ．
【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．
【解答】解：在边长为1的菱形中，，
，，
将沿射线的方向平移得到△，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）两条线段差的绝对值最大
例1.如图，、两点在直线的两侧，点到直线的距离，点到直线的距离，且，为直线上的动点，则的最大值是
A．B．C．D．6
【分析】作点于直线的对称点，则因而，则当，、在一条直线上时，的值最大．根据平行线分线段定理即可求得和的值然后根据勾股定理求得、的值，进而求得的最大值．
【解答】解：作点于直线的对称点，连并延长交直线于．
，
，
，
即，
解得：，
，
，，
的最大值．
故选：．
例2.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若将菱形沿轴正方向平移，当菱形的顶点落在函数的图象上时，求菱形沿轴正方向平移的距离．
（3）在轴上是否存在一点，使有最大值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点的坐标为，即可得出的长以及的长，即可得出点坐标，进而求出的值，即可得出结论；
（2）根据的长度即可得出点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出的长，即可得出答案；
（3）先判断出点，，在同一条直线上时，最大，再求出直线的解析式，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，延长交轴于点，
四边形是菱形，
，，
轴，
点的坐标为，
，，
，
，
点坐标为：，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
（2）将菱形向右平移，当点落在反比例函数的图象上，
，，
点的纵坐标为3，
，
，
，
，
菱形平移的距离为：；
（3）如图2，点在轴上，当点，，不在同一条直线上时，点，，构成三角形，
，
当点，，在同一条直线上时，最大，
由（1）知，，
由菱形的性质得到，
设直线的方程为：，则
，
解得，
故直线的方程为：，
令，则，
，
，．
例3.已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点．
（1）直接写出点的坐标，并求过、、三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为，为线段上一点，直接写出的取值范围．
【分析】（1）点的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点的坐标为；点的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点的坐标为；由题意得：是的角平分线，所以，，，设，则由勾股定理得：点的坐标为将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；
（2）求得直线的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；
（3）如图，由对称性可知，．当点与点重合时，、、三点共线，取得最大值4（即为的长）；设线段的垂直平分线与直线的交点为，当点与点重合时，取得最小值0．
【解答】解：（1）点的坐标为．（1分）
点、的坐标分别为，，
可设过、、三点的抛物线的解析式为．
将，代入抛物线的解析式，
得．（2分）
过、、三点的抛物线的解析式为．（3分）
（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为，
设抛物线的对称轴与轴的交点为．
直线的解析式为分）
设点的坐标为．
解法一：如图，作交直线于点，
连接，作轴于点．
，
，．
，
即．
解得．
经检验是原方程的解．
此时点的坐标为．（5分）
但此时，．
，
，即四边形的对边与平行但不相等，
直线上不存在符合条件的点（6分）
解法二：如图，取的中点，
作点关于点的对称点，作轴于
点．则，．
可得．
由，可得点的坐标为．
，，．
点的坐标为．（5分）
时，，
点不在直线上．
直线上不存在符合条件的点．（6分）
（3）的取值范围是．（8分）
当在的垂直平分线上与直线的交点时，（如点处），此时，则，
当在的延长线与直线交点时，此时最大，
直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立可得：交点为，
，，
，
的取值范围是：．
过关检测
1.如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上一动点．求：
①的最小值及此时点的坐标；
②的最大值及此时点的坐标．
【分析】（1）先画出图形，由两点之间线段最短可知，当点在线段上时的值最小，即，利用两点间的距离公式求解即可，然后过点作轴垂足为，接下来证明，由相似三角形的性质可求得的长，从而可得到点的坐标；
（2）作直线与轴交与点，作轴，轴．的最大值，然后证明，从而可求得的长，故此可求得点的坐标．
【解答】解：（1）如图1所示：作点关于轴的对称点，连结交轴与点．
点关于点对称，
点的坐标为．
．
的最小值为10．
过点作轴垂足为．
，
．
又，
．
．
点的坐标为，．
（2）如图2所示，作直线与轴交与点，作轴，轴．
当点在直线上时，的最大值．
，
．
即．
解得．
．
点的坐标为．
2.如图，抛物线经过，两点，且交轴于点，对称轴与抛物线相交于点、与直线相交于点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在一点，使得的值最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接，请探究：在抛物线上是否存在一点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据三角形两边之和大于第三边，可得在直线上，根据解方程组，可得答案；
（3）根据平行线间的距离相等，可得过点平行的直线，根据解方程组，可得点坐标，再根据向下平移与相距的单位，可得，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）将、两点代入解析式，得
，
解得．
故抛物线的解析式为
（2）存在点使得的值最大．过程如下：
如图
作直线交抛物线于两点，则两交点即为点，
的对称轴为．
设的解析式为，将，代入函数解析式，得
，解得，
的解析式为，
当时，，即．
设直线的解析式为，将代入函数解析式，得
．
直线的解析式为．
联立抛物线与直线的解析式，可得
解得：，
存在点，其坐标为，，，
（3）如图
，
由题意可得：，直线的解析式为
，
点在过点且平行于的直线上，设其交点为；或在的下方且平行于的直线上，设其交点为，，
设的解析式为
把点的坐标代入可得：
设的解析式为
联立得
解得：（不符合题意，舍），，
．
根据对称性可求得直线的解析式为
联立得
解得，
，，，，
综上所述，满足条件的点共有3个，其坐标分别为，，，，．
（3）两条线段差的绝对值最小
总结：不管同侧还是异侧，直接作中垂线即可，可利用中点公式及两直线互相垂直的结论进行解题。
例1.抛物线与轴交于点，顶点为．点是轴上的一个动点，当点的坐标是 ， 时，取得最小值．
【分析】根据抛物线的解析式求得的坐标，顶点的坐标，设，根据当是线段与的差的最小，即可求得最小值和的坐标．
【解答】解：抛物线与轴交于点，
，
，
顶点，
设，
当是线段与的差的最小，，
，，
，，
，解得：，
当点坐标为，时，取得最小值．
故答案为：，
过关检测
1.已知抛物线经过点．设点，请在抛物线的对称轴上确定一点，使得的值最大，则点的坐标为 ．
【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程，又由作点关于的对称点，直线与的交点即为，求得直线的解析式，即可求得答案．
【解答】解：抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为：直线，
点，
作点关于的对称点，
直线与的交点即为，
因为任意取一点与对称轴的交点除外）都可以构成一个．而在三角形中，两边之差小于第三边，即．所以最大值就是在是延长线上的点的时候取到．把，两点坐标代入，得到过的直线的解析式即可；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
故答案为：．
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日期：2020/11/23 15:56:19；用户：18215595478；邮箱：18215595478；学号：28029671
学习任务
1.如图，是半径为1的的直径，点在上，，为弧的中点，点是直径上一个动点，则的最小值为
A．B．C．1D．2
【分析】过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，
连接，，，
关于直线对称，
，
，
，，
，
在△中，，
，即的最小值．
故选：．
2.如图，在菱形中，，，分别是，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
【分析】作关于的对称点，连接，交于，连接，此时的值最小．
【解答】解：如图，作交于，连接，与交于点，
当与重合时，则就是的最小值，
、分别是、的中点，
，
交于，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
3.如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连接，过点作于点，点是边上另一动点，连接，，则的最小值为 ．
【分析】作关于的对称点，以中的为圆心作半圆，连分别交及半圆于、．将转化为找到最小值．
【解答】解：如图：
取点关于直线的对称点．以中点为圆心，为半径画半圆．
连接交于点，交半圆于点，连．连并延长交于点．
由以上作图可知，于．
由两点之间线段最短可知，此时最小．
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
4.如图，抛物线与直线交于，两点，点在轴上，抛物线交轴于、两点，已知
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线对称轴上找一点，使的值最大，请求出点的坐标及这个最大值．
【分析】（Ⅰ）先利用一次函数解析式确定，然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（Ⅱ）先确定抛物线的对称轴为直线，再利用抛物线对称性得到，接着利用（当、、共线时，取等号），的最大值为的长，通过解方程组得，利用两点间的距离公式计算出，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而可确定此时点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，则，
把，代入得，解得，
抛物线解析式为；
（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线，
点和点关于直线对称，
，
（当、、共线时，取等号），
的最大值为的长，
解方程组得或，则，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，则此时点的坐标为，，
点的坐标为，时，的值最大，最大值为．