2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--等腰三角形存在性问题专项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--等腰三角形存在性问题专项训练（含答案），共76页。试卷主要包含了先分类； 2等内容，欢迎下载使用。

目标层级图
课中讲解
探究等腰三角形的四步走：
1.先分类； 2.设坐标； 3.列方程； 4.验证.
如图：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，在对称轴上找一点，使得三角形为等腰三角形.
,如图中的、点
,如图中的、点
③=,如图中的点
注：某些题目当中会让学生求“以某边为底边的等腰三角形”时，参考③即可.
具体方法如下：（以上图为例）
①②:设出点坐标之后，利用两点之间距离公式表示出相应的线段，并利用相等建立方程求解;
:可用①②的方法，亦可求出中垂线的解析式，再求交点的坐标.
一. 等腰三角形存在性问题
内容讲解
（一）两定一动
例1.如图1，抛物线经过、两点，交轴于点．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交轴于点．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线的表达式．
（2）如图1，当点的横坐标为时，求证：．
（3）如图2，若点在第四象限内，当时，求的面积．
*（4）当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点的坐标．
例2. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过，两点，已知，
（1）求抛物线和直线的函数解析式；
（2）点是线段上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线与直线相交于点，交轴于点．
①当点运动到什么位置时，线段有最大值，请求出线段的最大值及点坐标；
②当点运动到什么位置时，四边形有最大面积？求出四边形的最大面积及此时点的坐标；
*（3）动点为抛物线对称轴上一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
（二）两动一定
例3. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线在第一象限内的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，连接，设点的横坐标为．
*①当是等腰三角形时，求的值；
②过点作直线的垂线，垂足为．点关于直线的对称点为，当点落在坐标轴上时，请直接写出点的坐标．
例4. 抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当的面积为5时，求点的坐标；
*（3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
过关检测
1. 如图，抛物线与轴交于、，与轴交于，且，，抛物线的对称轴与轴交于，点从出发，以每秒1个单位长度的速度向运动到点止，过作轴的垂线交抛物线于点，交于点
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点运动了秒时，的面积为，求关于的函数关系式，并求当最大时，点的坐标；
*（3）当点运动多长时间时，是等腰三角形？
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于原点和点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）若点为线段上方抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交于点，求线段长度的最大值．
（3）求的值．
*（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得为以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点的坐标．
3. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
*（2）如图1，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为，轴于点，是直线上一动点，是轴一个动点，请直接写出的最小值以及此时点、的坐标．
4. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求该抛物线的一般式；
（2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
*（3）若点为对称轴上异于，的动点，过点作直线的垂线交直线于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
二. 等边三角形存在性问题
内容讲解
例1. 如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
*（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．
例2. 如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点坐标为，点在轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标；
*（4）抛物线上是否存在一点，使为等边三角形？若存在求出的坐标；若不存在，请说明理由．
过关检测
1. 如图，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，将抛物线向右平移个单位得到抛物线，交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）以为斜边向上作等腰直角三角形，当点落在抛物线的对称轴上时，求抛物线的解析式；
*（3）若抛物线的对称轴存在点，使为等边三角形，求的值．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线在第一象限内交于点．
（1）求抛物线的解析式；
*（2）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点作直线平行轴且交抛物线于点，在轴的正半轴上找一点，使得，连接交轴于点，直线上是否存在一点使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2. 如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
*（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．
3. 如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）当，运动到秒时，将沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标；
*（3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点．
（1）求此抛物线的表达式：
（2）过点作，垂足为点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
*（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
5. 如图，抛物线的解析式为，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴与直线交于点．
（1）点是线段上方抛物线上一点，过点作直线平行于轴，交于点，若线段长度保持不变，沿直线移动得到，当线段最大时，求的最小值；
*（2）是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点是为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．
6. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且，，．
（1）求经过，，三点的抛物线表达式；
*（2）为抛物线对称轴上的任意一点，若为等腰三角形，求点的坐标；
*（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设点是抛物线顶点，，是抛物线上两点，要使为等边三角形，求点，的坐标．

2024成都中考数学二轮复习专题
二次函数--等腰三角形存在性问题专项训练（解析版）
目标层级图
本节内容
本节涉及主要内容是二次函数中动点问题，等腰三角形存在性问题。分为两个板块，分别是通过两圆一线求等腰三角形存在性问题以及构造等边三角形创造手拉手相似或者全等求等边三角形存在性问题。本节题目都是考试中25题综合性题目，难度偏高，综合性较强，有些题目会涉及到其他专题的内容，比如例2求面积最值，过关检测第2题求线段最值，第3题求胡不归问题。而等腰三角形存在性问题中细分为两个板块，分别为两个定点一个动点，以及两个动点一个定点。
后者难度相对高一点，需要老师提前刷讲义。本讲义涉及28题，所以计算量较大，建议老师合理分配讲解时间与计算时间。
课中讲解
探究等腰三角形的四步走：
1.先分类； 2.设坐标； 3.列方程； 4.验证.
如图：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，在对称轴上找一点，使得三角形为等腰三角形.
=,如图中的、点
②=,如图中的、点
③=,如图中的点
注：某些题目当中会让学生求“以某边为底边的等腰三角形”时，参考③即可.
具体方法如下：（以上图为例）
①②:设出点坐标之后，利用两点之间距离公式表示出相应的线段，并利用相等建立方程求解;
:可用①②的方法，亦可求出中垂线的解析式，再求交点的坐标.
一. 等腰三角形存在性问题
内容讲解
（一）两定一动
例1.如图1，抛物线经过、两点，交轴于点．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交轴于点．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线的表达式．
（2）如图1，当点的横坐标为时，求证：．
（3）如图2，若点在第四象限内，当时，求的面积．
（4）当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点的坐标．
【分析】（1）待定系数法即可求得；
（2）先把点的横坐标代入直线，求得，从而求得，得出，因为，，即可求得；
（3）分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，分别求解，即可求得．
【解答】方法一：
解：（1）由抛物线可知，
经过、两点，
，
解得
抛物线表达式：；
设直线的解析式为，
则，
解得．
直线的表达式：．
故抛物线表达式：；直线的表达式：．
（2）如图1，当点的横坐标为时，把
代入，
得，
又，
又，
又
．
（3）如图2，设点的坐标为
，
又
解得，（不合题意舍去），
、两点坐标分别为，，
，
（4），，，．
设，
则，
，，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
当时，则，解得，，
，，，．
方法二：
（1）略．
（2），把代入，
，即，，
，
，
，，
，
，
，
．
（3）设，，
，
，
解得：，（舍，
、两点坐标分别为，，
．
（4）设，，，，
是等腰三角形，
，，，
，（舍，，
，，，
，，
，，，，，．
例2. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过，两点，已知，
（1）求抛物线和直线的函数解析式；
（2）点是线段上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线与直线相交于点，交轴于点．
①当点运动到什么位置时，线段有最大值，请求出线段的最大值及点坐标；
②当点运动到什么位置时，四边形有最大面积？求出四边形的最大面积及此时点的坐标；
（3）动点为抛物线对称轴上一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）将、点坐标代入二次函数表达式即可求解，同理可得直线的表达式；
（2）①，，即可求解；②，即可求解；
（3）是以为腰的等腰三角形时，点的位置如图所示、、，分别求解即可．
【解答】解：（1）将、点坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
设：直线的表达式为：，将、坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
（2）①设，则点，
，，
当时，取得最大值为2，
此时点；
②，，
当时，最大值为，
此时点；
（3）是以为腰的等腰三角形时，点的位置如图所示、、，
当，即点处于点的位置，
，即点坐标为，，
同理可得点、的坐标为，、，．
点的坐标为，或，或，．
（二）两动一定
例3. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线在第一象限内的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，连接，设点的横坐标为．
①当是等腰三角形时，求的值；
②过点作直线的垂线，垂足为．点关于直线的对称点为，当点落在坐标轴上时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）先由直线求出，的坐标，再将其代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；
（2）①用含的代数表示出，的坐标，再求出含的代数式的的长度，将等腰三角形分三种情况进行讨论，即可分别求出的值；
②当点落在坐标轴上时，存在两种情形，一种是点落在轴上，一种是点落在轴上，分情况即可求出点的坐标．
【解答】解：（1）直线经过，，
，，
抛物线交轴于点，交轴于点，
，
，，
抛物线的解析式为；
（2）点在抛物线在第一象限内的图象上，点的横坐标为，
，，
①轴，交直线于点，
，
，
，
，
，
当时，，
解得，（舍去）；
当时，，
即，
，
解得，（舍去）；
当时，取中点，作于，则，，，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
综上，当是等腰三角形时，的值为，2，；
②，，，理由如下，
当点落在坐标轴上时，存在两种情形：
如图，当点落在轴上时，点在直线
上，
，
解得，（舍去），
；
如图，当点落在轴上时，△，
，
，
，
，
，
在中，，
，，，
综上所述，当点落在坐标轴上时，点的坐标为或，．
例4. 抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当的面积为5时，求点的坐标；
（3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；
（2）确定、的表达式，联立求得点，，，即可求解；
（3）分当、、三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数的表达式为：；
（2）抛物线的对称轴为，则点，
设点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
函数的表达式为：，
，故直线表达式中的值为，
将点的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线的表达式为：，
解得：，
故点，，
，
解得：或，
故点或；
（3）由（2）确定的点的坐标得：
，，，
①当时，即：，解得：或舍去），
②当时，同理可得：，
③当时，同理可得：（舍去，
故点或或或
过关检测
1. 如图，抛物线与轴交于、，与轴交于，且，，抛物线的对称轴与轴交于，点从出发，以每秒1个单位长度的速度向运动到点止，过作轴的垂线交抛物线于点，交于点
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点运动了秒时，的面积为，求关于的函数关系式，并求当最大时，点的坐标；
（3）当点运动多长时间时，是等腰三角形？
【分析】（1）根据，得出、、三点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）；由于、坐标已知，所以只需表示出、两点的纵坐标之差即可，而、、三点的横坐标相同，因此，设出点的横坐标，将、两点的纵坐标用横坐标表示，这样就把的面积表示成了关于点的横坐标的二次函数，配方即可求出最大值，同时可求出点坐标；
（3）分三种情况分别讨论：；；．
【解答】解：（1），，
，，，
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入解析式可得：，
抛物线的解析式为：；
（2），，
的解析式为，
设点的坐标为，则，，
，
当，，
此时，点的坐标为，；
（3），，
，，
．
设运动时间为，则，则，；
①若，如图1，
则，
，
即：，
解得：或（舍去）；
②若，如图2，
则，
即：，
解得：；
③若，如图3，
则，
，
即：，
解得：；
综上所述：当运动时间为：1秒、秒、2秒时，是等腰三角形．
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于原点和点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）若点为线段上方抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交于点，求线段长度的最大值．
（3）求的值．
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得为以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）把点，点分别代入，可求和的值，即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴，代入求值即可；
（2）求出解析式为：，设点，则点，利用参数表示的长，由二次函数的性质可求解；
（3）过点作，交于点，过点作，交于点，由等腰直角三角形的性质求出线段和的长，即可求解；
（4）分点为顶点和点为顶点两种情况讨论，由两点距离公式可求解．
【解答】解：（1）把点，点分别代入得：
，
解得：，
即抛物线的表达式为：，
它的对称轴为：；
（2）把点代入得，
则点的坐标为：，
由点，得直线的解析式为：，
设点，则点，
，
当时，的值最大，最大值为；
（3）如图1，过点作，交于点，过点作，交于点，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
在等腰中，，
，
，
；
（4）存在，
设点，
若，
点，点，点，
，
，，
当时，点，点，点共线，
不合题意舍去，
点坐标为
若，
点，点，点，
，，
点坐标为或，
综上所述：点或或．
3. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为，轴于点，是直线上一动点，是轴一个动点，请直接写出的最小值以及此时点、的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）由待定系数法即可求得直线的解析式，再设，即可得，即可求得的长，然后分三种情况讨论，求点的坐标；
（3）如图2，构造与轴成角，将转化为线段到的距离，从而可知、、、在同一条直线上时，取最小值，根据的长和即可求出最小值．根据直线求出直线解析式，即求出坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过点、、，把，代入解析式得，
，
解得，．
故该抛物线解析式为：．
（2）令，
解得，，
即，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
故直线的解析式为；
设，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，则，
轴，
，
，
，
直线的解析式为，
解 得 或，
，
此时；
当时，则，
，
轴，
点的纵坐标为3，
代入得，，
解得或，
此时；
当时，，
，
解得或，
此时，；
综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或，．
（3）的最小值为，坐标为，坐标为，．
理由如下：
如图，取点坐标为，连接，
，
直线解析式为：，
，，
过点作，，
，
取最小值时，、、、在同一条直线上，
即，
设直线解析式为，
故直线解析式为为，
抛物线的顶点为坐标为，轴，在、上，
坐标为，
是轴一个动点，也是与轴交点，
，．
，，
，
综上所述：的最小值为，坐标为，坐标为，．
4. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
（1）求该抛物线的一般式；
（2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）若点为对称轴上异于，的动点，过点作直线的垂线交直线于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）将，，三点的坐标直接代入解析式即可求出、，的值；
（2）过点作轴的平行线交于点，设点，求出直线的解析式为，可设，则，根据可得出的表达式，由二次函数的性质可求出答案．
（3）设点，可得出点，，分当、、三种情况，得出的方程分别求解即可．
【解答】解：（1）把，，，代入抛物线解析式得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，
抛物线的顶点的坐标为，对称轴为，，
过点作轴的平行线交于点，设点，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
可设，
，
，
．
当时，取得最大值，．
此时．
，．
（3）抛物线的对称轴为，则点，
设点，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
函数的表达式为：，
，故直线表达式中的值为，
将点的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线的表达式为：，
解得：，
故点，，
，，，
①当时，，解得：或（舍去），
．
②当时，，解得：，
或．
③当时，，解得：或（舍去）．
．
综合以上可得点的坐标为或或或．
二. 等边三角形存在性问题
内容讲解
例1. 如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．
【分析】（1）根据待定系数法，把点，，的坐标代入得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，由翻折得，求出的长，可得，求出的长，则坐标可求；
（3）由题意可知△为等边三角形，分两种情况讨论：①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．证出△，可得垂直平分，则点在直线上，可求出直线的解析式，②当点在轴的下方时，点在轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解答】解：（1）由题意得：
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）抛物线与轴交于，，
，抛物线的对称轴为直线，
如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，
由翻折得，
在中，由勾股定理，得，
点的坐标为，，，
，
由翻折得，
在中，，
点的坐标为．
（3）解：取（2）中的点，，连接，
，，
△为等边三角形．分类讨论如下：
①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．
，△为等边三角形，
，，，
，
△，
．
点在抛物线的对称轴上，
，
，
又，
垂直平分，
由翻折可知垂直平分，
点在直线上，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
②当点在轴的下方时，点在轴下方．
，△为等边三角形，
，，．
，
△，
，
，，
．
，
设与轴相交于点，
在中，，
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
例2. 如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点坐标为，点在轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点是轴上一点，且为直角三角形，求点的坐标；
（4）抛物线上是否存在一点，使为等边三角形？若存在求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知点坐标可确定直线的解析式，进一步能求出点的坐标．点是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点的坐标，在和中，已知的条件是公共边，若与不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若等于，那么还要满足的条件为：，各自去掉一个直角后容易发现，点正好在第二象限的角平分线上，联立直线与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点在第二象限的限定条件．
（3）分别以、、为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．
（4）根据等边三角形的边相等，可得方程组，根据解方程组，可得点坐标，根据点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上；否则，点不在函数图象上．
【解答】解：（1）把代入，得，
，
令，解得：，
的坐标是．
为顶点，
设抛物线的解析为，
把代入得：，
解得，
．
（2）存在．，，当时，，
此时平分第二象限，即的解析式为．
设，则，解得，舍），
，．
（3）①如图，当时，，
，即，
，
，即；
②如图，当时，，
，即，
，即；
③如图，当时，作轴于，
则△，
，即，
，
或3，
即，．
综上，点坐标为或或或．
（4）抛物线上不存在一点，使为等边三角形，理由如下：
设，由为等边三角形，得
，
由①，得③，
把③代入②，得
．
解得，，
，，
，，，．
将代入抛物线的解析式，
当时，，
不在抛物线上；
当时，
不在抛物线上；
综上所述：抛物线上不存在一点，使为等边三角形．
过关检测
1. 如图，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，将抛物线向右平移个单位得到抛物线，交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）以为斜边向上作等腰直角三角形，当点落在抛物线的对称轴上时，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴存在点，使为等边三角形，求的值．
【分析】（1）把及代入，求出抛物线的解析式，即可求出抛物线的顶点坐标，
（2）先求出的解析式，确定，，的坐标，过点作对称轴，垂足为，利用为等腰直角三角形，求出角的关系可证得，再由列出方程求解得出的值，即可得出的解析式．
（3）连接，，由抛物线对称性可知，由为等边三角形，可得，，由，，三点在以点为圆心，为半径的圆上，可得，
利用勾股定理求出，列出方程求出的值即可．
【解答】解：（1）抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，
，解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标，
（2）如图1，
抛物线向右平移个单位得到抛物线，
的解析式为，
，，，
过点作对称轴，垂足为，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
由得，解得，（舍去），
抛物线的解析式为：．
（3）如图2，连接，，
由抛物线对称性可知，
为等边三角形，
，，
，，三点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
，
由勾股定理得，
，
解得，（舍去），
．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线在第一象限内交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点作直线平行轴且交抛物线于点，在轴的正半轴上找一点，使得，连接交轴于点，直线上是否存在一点使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用正比例函数解析式求出点坐标，再把求得的点坐标代入二次函数解析式中，便可求得抛物线的解析式；
（2）设点的坐标为，分两种情况：当时；当时．列出的方程便可求得结果；
（3）先用待定系数法求出直线、、的解析式，再分再种情况：当点与点直线同旁时；当点与在直线两旁时，分别求出点坐标便可．
【解答】解：（1）把代入中，得，
，
把代入中，得，
抛物线的解析式为；
（2）设点的坐标为，
当时，有，
解得，，或，
此时点的坐标为，或，；
当时，有，
解得，（舍，或，
此时点坐标为，
综上，在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，其点坐标为，或，或；
（3）过点作直线平行轴且交抛物线于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则
，
解得，，
直线的解析式为：，
，
同理得，的解析式为，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
当点与点在直线同旁时，
的面积与的面积相等，
，
即点在上，为与的交点，
联立方程组，
解得，，
此时，
当点与点直线两旁时，延长到，使得，过作，与交于点，
，
的面积与的面积相等，
，
设的解析式为，
把代入，得，
的解析式为，
联立方程组，
解得，，
；
综上，直线上存在一点使得的面积与的面积相等，其点坐标为或．
2. 如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴．
（2）令，可求出点坐标，由轴可知，关于抛物线的对称轴对称，可求出点坐标，根据可求出点坐标．
（3）分三种情况讨论：
①以为腰且顶角为，先求出的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出的长，即可求出的坐标；
②以为腰且顶角为角，根据的长和的长，求出的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；
③以为底，顶角为角时，依据△即可求出和的长，可得坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴；（2分）
（2）由抛物线可知，对称轴，
，，又，，
在中，由勾股定理，得，
，，，（5分）
把点坐标代入中，
解得，（6）
．（7分）
（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与轴交于，与交于．
过点作轴于，
易得，，，．
①以为腰且顶角为角的有1个：△．
（8分）
在中，，
，．（9分）
②以为腰且顶角为角的有1个：△．
在中
，（10分）
，．（11分）
③以为底，顶角为角的有1个，即△．
画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．
过点作垂直轴，垂足为，
，，
，，
．
．
于是，（13分）
．（14分）
3. 如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）当，运动到秒时，将沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标；
（3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将，两点的坐标代入二次函数解析式中，求得、，进而可求解析式；
（2）如图，点关于与点对称，过点作于，根据轴对称的性质及已知条件可得，那么四边形为菱形．由，根据平行线分线段成比例定理求出，，得到．又，所以．将点坐标代入二次函数解析式，进而求解即可；
（3）以，，为顶点的三角形为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①；②；③．可通过画图得点大致位置，再利用勾股定理，等腰三角形的性质求解．
【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于，，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）如图，点关于与点对称，过点作 于，
，，，
，
四边形为菱形．
，
，
，
，，
．
，
．
在二次函数 上，
，
，或（与重合，舍去），
；
（3）存在满足条件的点，点的坐标为，或，或或．
如图，过点作于，此时，
，，，，
，，，
，．
，
，
，
，．
①作的垂直平分线，交轴于，此时，即为等腰三角形．
设，则，，
在中，，解得，
，
，，点在轴的负半轴上；
②以为圆心，长半径画圆，交轴于，此时，
，
，
，
，；
③当时，
，或，
或．
综上所述，存在满足条件的点，点的坐标为，或，或或．
4. 如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，．点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点．
（1）求此抛物线的表达式：
（2）过点作，垂足为点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解．
（2）由即可求解．
（3）分、、三种情况，当时，构造直角三角形利用勾股定理可求坐标，时，先求再求，即可得到坐标，时，联立解得不合题意．
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：，
即：，解得：，
则抛物线的表达式为，
（2）设点，则点，
，，
，
，
有最大值，
当时，的最大值为．
（3）存在，理由：
点、、的坐标分别为、、，
则，，，，
将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：①，
同理可得直线的表达式为：，
设直线的中点为，，过点与垂直直线的表达式中的值为，
同理可得过点与直线垂直直线的表达式为：②，
①当时，如图1，
则，
设：，则，
由勾股定理得：，解得：或4（舍去，
故点，
②当时，如图1，
，则，
则，
故点，．
③当时，
联立①②，，
解得，（舍去），
综上所述点的坐标为：或，．
5. 如图，抛物线的解析式为，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴与直线交于点．
（1）点是线段上方抛物线上一点，过点作直线平行于轴，交于点，若线段长度保持不变，沿直线移动得到，当线段最大时，求的最小值；
（2）是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点是为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．
【分析】（1）根据解析式把必要的点的坐标及线段长度求出来备用．将点横坐标设为未知数，用、的纵坐标之差表示长度，通过配方求的最值及取得最值时点坐标．由于长度不变，因此将平移至，注意到是，作于，于，根据垂线段最短原理即可确定最值．
（2）图形有四种情况，分别进行构图求解．当与重合时对应两种图到上方和下方），这两种情况的等边三角形的边长是一样的，就是的长；
第三种情况，与重合，此时的等边三角形边长就是长度（这种情况下，其实就是的外心）；第四种情况，在第三象限，由于，根据圆周角与圆心角的关系可得，于是可求出解析式，将解析式与抛物线解析式联立方程组可解出点坐标，然后由两点间的距离公式求出长度就是对应的等边三角形的边长．
【解答】解：（1）因为，
，，，，，抛物线对称轴为，
由、坐标可求得直线的解析式为，
令，则，
，，
．
设，则，
，
当时，取得最大值，此时，．
如图1，作平行四边形，则，，．
作于，于．
，所以，
，
，
当且仅当、、三点共线时，
取得最小值．
（2）①如图2，是等边三角形，此时与重合，
等边三角形的边长为．
②如图3，是等边三角形，此时与重合，在轴下方．
等边三角形的边长为．
③如图4，是等边三角形，此时与重合，在轴上方．
等边三角形的边长为．
④如图5，是等边三角形，此时在第三象限，在轴下方．
，所以、、三点在以为圆心为半径为圆周上，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或（舍，
，，
，即等边的边长为．
综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：、、．
6. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且，，．
（1）求经过，，三点的抛物线表达式；
（2）为抛物线对称轴上的任意一点，若为等腰三角形，求点的坐标；
（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设点是抛物线顶点，，是抛物线上两点，要使为等边三角形，求点，的坐标．
【分析】（1）求出、、三点坐标，即可求解；
（2）分、、，三种情况求解即可；
（3）存在，为等腰三角形，只有一种情况，点为抛物线对称轴与直线的交点，即可求解；
（4）要使为等边三角形，只有如图所示的情况，由与二次函数表达式联立即可求解．
【解答】解：（1）是直角三角形，
，，
，，，
即：点、的坐标分别为，、，，
设：二次函数的表达式为：，
将点、坐标代入上式得：，
将坐标代入上式得：，解得：，
则：抛物线的表达式为①；
（2）抛物线的对称轴为：，
①当时，则点坐标为，或，，
②时，
设点坐标为，，则，解得：或6，
点坐标为，或，，
③当时，则点为的中垂线与对称轴的交点，
线段的中点为，，
则：直线中垂直线的表达式为：，
令，则，即点坐标为，，
综上所述，点的坐标为：，或，或，；
（3）存在．为等腰三角形，只有一种情况，
点为抛物线对称轴与直线的交点，如下图：
，
则点坐标为，；
（4）要使为等边三角形，只有如图所示的情况，
轴，过点作，则，
顶点的坐标为，，
设：点坐标为，
则：，，则：②
联立①②并解得：，
则点（或坐标为，，（或，，
故：，，，或，，，．