2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--平行四边形、菱形存在性问题专项训练（含答案）

这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--平行四边形、菱形存在性问题专项训练（含答案），共50页。试卷主要包含了两点．，2﹣3等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课中讲解
一. 平行四边形存在性问题
内容讲解
（1）全等：寻找或者构造三角形与已知三角形全等
适用范围：平行四边形的某边（对角线）与坐标轴重合或者平行
如图：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、、、四点构成以为边的平行四边形.
如图：当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例，作，则有与全等。C点坐标已知，则由全等可知的纵坐标，再求到的坐标，最后，得到的坐标。
（2）平移法则：
适用范围:一般情况下需要已知相邻的两个点（对角线的两个点坐标不好表示）
如图：抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、、、四点构成以为边的平行四边形.

如图：当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例，设、、，则点到点的平移路径为：向下平移个单位向右平移个单位。那么点到点的运动路径是一样的。设，立马可得。又在抛物线上，代入就可求得的坐标。
（3）中点坐标公式：有两点（，），（，），那么线段的中点的坐标为
适用范围：中点坐标公式几乎万能，但在处理某些题目的时候会显得比较复杂
如图：抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、、、四点构成的四边形为平行四边形.
此时，题目发生了一定的变化，不再要求以BC为边，那么可能就会有更多种情况。我们可以分情况讨论。
当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例：
已知、、，连接交于。在轴上，设，既是的中点，又是中点，利用中点坐标公式进行简化，可得：，。得到。又在抛物线上，代入就可求得的坐标。

（图一） （图二）
当以为对角线（如图二）时，同上。
注： 1.代表的是横坐标，代表纵坐标，、、坐标已知；
2.题目也可以利用两条平行的线段相等，长度相等进行解题；
二次函数与平行四边形综合方法比较多，这里只列举几个比较常用的方法；
类型一：边或者对角线与坐标轴平行（或重叠）
如图，抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是抛物线上轴下方）的一个动点，过点作轴的平行线与直线交于点，试判断在点运动过程中，以点，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
过关检测
1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P坐标；
（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
类型二：两定点+两动点分类讨论
例2.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）若D点坐标为，求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；
过关检测
1.如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

类型三：分段函数中，点位置分类讨论
例3.（18·锦江二诊）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，将抛物线y＝x2+bx+c的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象其余部分不变，得到一个新的图象．若直线y＝x+a与新图象恰好有三个不同的交点，求出a的值；
（3）设AB的中点为C，在（2）中得到的新图象上有两点P（m1，n1）、Q（m2，n2）（m1＜m2），四边形BCPQ能构成平行四边形吗？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
过关检测
1.在同一直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，其中点在点的左侧交轴于点．
（1）求、两点的坐标；
（2）对于抛物线在第三象限部分的一点，作轴于，交于点，若关于的对称点恰好落在轴上，求点坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
二. 菱形存在性问题
内容讲解
例题：如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，点是直线上一动点，点在平面内，是否存在以点P、Q、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由。
【解法分析】：
类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况：
1、定线段AC为边 2、定线段AC为对角线
由菱形的性质可知，菱形的四条边都是相等的，结合这一特性，可以考虑使用考虑“两圆”构图，（参考等腰三角形存在性问题）准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解
1、当AC为边时，考虑两圆构图，准确定位点P、Q位置，

然后做出对应菱形的形状，并根据图形特点设计求解方案。
当以A为顶点（AC、AP为邻边）时，过点P作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形APM，设点P坐标表示AM、PM，并根据AP=AC利用勾股定理建立方程求解；
当以C为顶点（CA、CP为邻边）时，根据菱形对角线互相垂直平分的性质可知CQ⊥AP，AE=PE,利用直线垂直k值积为负倒数（）的关系求出直线CQ解析式，联立方程组求得点E坐标，进而结合中点坐标公式可求点P坐标；
2、当AC为对角线时，利用“一线”的作图方式，准确确定点P、Q位置，利用直线垂直k值积为负倒数（）的关系由直线AC解析式求得直线PQ解析式，然后联立方程组求得点P坐标。
例1. 如图，抛物线与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．
（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；
（2）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．
例2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，一条抛物线经过点A、点B，并与x轴交于另一点C．抛物线的对称轴与抛物线的交点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点F从点C出发，沿线段CA由C向A运动，E、F的运动速度都是每秒1个单位长度，当点F到达A点时，E、F同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点M，使E、F运动过程中的某一时刻，以A、E、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
例3．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0），点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式．
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，求出此时点P的坐标．
过关检测
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
不2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
学习任务
1. （18·天府新区二诊）如图，在平面直角坐标系xy中，把抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；
（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；
（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；
（3）点P是抛物线上一动点，在y轴上找点Q．使点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，直接写出对应的点P的坐标．（不用写过程）
2．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求二次函数解析式；
（2）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．
3．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点，AB＝4，与y轴交于C点，E为抛物线的顶点，∠ECO＝135°．
（1）求二次函数的解析式；
（2）过直线BC上两点P，Q（P在Q的左边）作y轴的平行线，分别交抛物线于N，M，若四边形PQMN为菱形，求直线MN的解析式．
二次函数——平行四边形、菱形存在性问题（解析版）
目标层级图
课中讲解
一. 平行四边形存在性问题
内容讲解
（1）全等：寻找或者构造三角形与已知三角形全等
适用范围：平行四边形的某边（对角线）与坐标轴重合或者平行
如图：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、、、四点构成以为边的平行四边形.
如图：当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例，作，则有与全等。C点坐标已知，则由全等可知的纵坐标，再求到的坐标，最后，得到的坐标。
（2）平移法则：
适用范围:一般情况下需要已知相邻的两个点（对角线的两个点坐标不好表示）
如图：抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、、、四点构成以为边的平行四边形.

如图：当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例，设、、，则点到点的平移路径为：向下平移个单位向右平移个单位。那么点到点的运动路径是一样的。设，立马可得。又在抛物线上，代入就可求得的坐标。
（3）中点坐标公式：有两点（，），（，），那么线段的中点的坐标为
适用范围：中点坐标公式几乎万能，但在处理某些题目的时候会显得比较复杂
如图：抛物线与x轴交于两点，与轴交于点，在抛物线上有一点，轴上有一点，使得以、、、四点构成的四边形为平行四边形.
此时，题目发生了一定的变化，不再要求以BC为边，那么可能就会有更多种情况。我们可以分情况讨论。
当以为边时，能够得到三个平行四边形，以平行四边形为例：
已知、、，连接交于。在轴上，设，既是的中点，又是中点，利用中点坐标公式进行简化，可得：，。得到。又在抛物线上，代入就可求得的坐标。

（图一） （图二）
当以为对角线（如图二）时，同上。
注： 1.代表的是横坐标，代表纵坐标，、、坐标已知；
2.题目也可以利用两条平行的线段相等，长度相等进行解题；
二次函数与平行四边形综合方法比较多，这里只列举几个比较常用的方法；
类型一：边或者对角线与坐标轴平行（或重叠）
如图，抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是抛物线上轴下方）的一个动点，过点作轴的平行线与直线交于点，试判断在点运动过程中，以点，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，把点代入，得，即抛物线的解析式为；
（2）设点，由于直线经过点，可得直线表达式为，因为平行，可求得点的横坐标，进而得出的长度，当时，以点，，，为顶点的四边形构成平行四边形，即，解方程求得的值，进而得出点的坐标；
【解答】解：（1）抛物线的图象与轴交于与，与直线交于点，
设抛物线的解析式为， 点代入，得，
抛物线的解析式为；
（2）设点，
直线经过点， ，，，
过点作轴的平行线与直线交于点，
， ，
当时，以点，，，为顶点的四边形构成平行四边形，
，
解得（舍去）或或或（舍去），
点的坐标为，或，；
过关检测
1.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P坐标；
（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，作PM∥y轴交BC于M，如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3），利用三角形面积公式得到∴S△PCB＝•3•PM＝﹣x2+，然后根据二次函数的性质求解；
（3）如图2，分类讨论：当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），利用点平移的坐标规律得到Q（4，a﹣3），然后把Q（4，a﹣3）代入y＝﹣x2+2x+3中求出a即可得到Q点坐标；当四边形BCQD为平行四边形或四边形BQCD为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B（3，0），C（0，3）代入得，解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
作PM∥y轴交BC于M，如图1，
设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3），
∴PM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△PCB＝•3•PM＝﹣x2+＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，△BCP的面积最大，此时P点坐标为（，）；
（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a﹣3），
把Q（4，a﹣3）代入y＝﹣x2+2x+3得a﹣3＝﹣16+8+3，解得a＝﹣2，
∴Q（4，﹣5）；
当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（﹣2，3+a），
把Q（﹣2，3+a）代入y＝﹣x2+2x+3得3+a＝﹣4﹣4+3，解得a＝﹣8，
∴Q（﹣2，﹣5）；
当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3﹣a），
把Q（2，3﹣a）代入y＝﹣x2+2x+3得3﹣a＝﹣4+4+3，解得a＝0，
∴Q（2，3），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；会运用点平移的坐标规律表示平行四边形的顶点坐标，连接坐标与图形性质．
类型二：两定点+两动点分类讨论
例2.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）若D点坐标为，求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；
【分析】（1）将点D的坐标代入函数解析式，求得a的值；利用抛物线解析式来求点C的值．
（2）需要分类讨论：BC为边和BC为对角线两种情况，根据“平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线相互平分”的性质列出方程组，利用方程思想解答．
【解答】解：（1）依题意得：＝﹣（﹣a）（﹣4）．
解得a＝﹣1．
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）或y＝﹣x2+3x+4．
∴C（0，4）．
（2）由题意知：A（a，0），B（4，0），C（0，﹣4a）．
对称轴为直线x＝，则M（，a）．
①MN∥BC且MN＝BC，根据点的平移特征可知N（，﹣3a）．
则﹣3a＝﹣（﹣a）（﹣4）．
解得：a＝﹣2±2（舍去正值）．
②当BC为对角线时，设N（x，y）．
根据平行四边形的对角线互相平分可得：．
解得． 则﹣5a＝﹣（﹣a）（﹣4）．
解得a＝．（舍去正值） ∴a1＝﹣2﹣2，a2＝．
过关检测
1.如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4）， 当y＝0时，﹣x+4＝0， x＝6， ∴C（6，0），
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，
设E（m，﹣m2+m+4），则G（m，﹣m+4），
∴EG＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣+4m，
∴S△BEC＝EG•OC＝×6（﹣+4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x2﹣5x+﹣）+4＝﹣（x﹣）2+；
对称轴是：x＝，
∴A（﹣1，0）
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
∴Q的横坐标为，
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，
∵点M在直线y＝﹣x+4上，∴点M的坐标是（3，2），
又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为，
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为﹣， ∴P（﹣，﹣）；
②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，
由（2），可得点M的横坐标是3，
∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为，
∴P的横坐标为， ∴P（，﹣）；
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，∴点P的坐标是（﹣，），
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．

类型三：分段函数中，点位置分类讨论
例3.（18·锦江二诊）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，将抛物线y＝x2+bx+c的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象其余部分不变，得到一个新的图象．若直线y＝x+a与新图象恰好有三个不同的交点，求出a的值；
（3）设AB的中点为C，在（2）中得到的新图象上有两点P（m1，n1）、Q（m2，n2）（m1＜m2），四边形BCPQ能构成平行四边形吗？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出翻折部分的解析式，利用数形结合找出当y＝x+a经过点A或者y＝x+a与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线y＝x+a与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝x+a经过点A（﹣1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值；②当y＝x+a与y＝﹣x2+2x+3相切时，将一次函数解析式代入抛物线解析式中，利用根的判别式△＝0，即可求出a值．综上即可得出结论；
（3）根据点A、B的坐标可找出点C的坐标，进而可得出BC的长度，根据平行四边形的形可得出PQ∥CB且PQ＝CB＝2，分三种情况考虑：①当m1＜﹣1时，点P（m1，n1）在y＝x2﹣2x﹣3上，点Q（m1+2，n1）在y＝﹣x2+2x+3上，利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m1、n1的方程组，解之取m1＜﹣1的坐标即可；②当﹣1＜m1＜1，点P（m1，n1）、点Q（m1+2，n1）都在y＝﹣x2+2x+3上，利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m1、n1的方程组，解之即可得出点P的坐标；③当1＜m1＜3时，点P（m1，n1）在y＝﹣x2+2x+3上，点Q（m1+2，n1）在y＝x2﹣2x﹣3上，利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m1、n1的方程组，解之取m1＞1的坐标即可．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得：
，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分解析式为y＝﹣x2+2x+3．
∵直线y＝x+a平行于y＝x，
∴当y＝x+a经过点A或者y＝x+a与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线y＝x+a与新图象恰好有三个不同的交点（图3）．
①当直线y＝x+a经过点A（﹣1，0）时，0＝﹣1+a，
∴a＝1；
②当y＝x+a与y＝﹣x2+2x+3相切时，只有一组公共解，
即方程x2﹣x+a﹣3＝0中判别式等于0，
∴△＝（﹣1）2﹣4（a﹣3）＝0，
∴a＝．
综上，a＝1或a＝．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB的中点C坐标为（1，0），
∴BC＝2．
设四边形BCPQ能构成平行四边形，
∴PQ∥CB且PQ＝CB＝2．
又∵P（m1，n1）、Q（m2，n2）（m1＜m2），
∴P、Q坐标可以表示为P（m1，n1）、Q（m1+2，n1）（如图4）．
①当m1＜﹣1时，点P（m1，n1）在y＝x2﹣2x﹣3上，点Q（m1+2，n1）在y＝﹣x2+2x+3上，
∴，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标为（﹣，2）；
②当﹣1＜m1＜1，点P（m1，n1）、点Q（m1+2，n1）都在y＝﹣x2+2x+3上，
∴， 解得：，
∴点P的坐标为（0，3）；
③当1＜m1＜3时，点P（m1，n1）在y＝﹣x2+2x+3上，点Q（m1+2，n1）在y＝x2﹣2x﹣3上， ∴，
解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为（，2）．
综上，在（2）中得到的新图象上有存在两点P（m1，n1）、Q（m2，n2）（m1＜m2），使得四边形BCPQ能构成平行四边形，点P的坐标为（﹣，2）、（0，3）或（，2）．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用数形结合找出直线y＝x+a与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征，找出关于m1、n1的方程组．
过关检测
1.在同一直角坐标系中，抛物线与抛物线关于轴对称，与轴交于、两点，其中点在点的左侧交轴于点．
（1）求、两点的坐标；
（2）对于抛物线在第三象限部分的一点，作轴于，交于点，若关于的对称点恰好落在轴上，求点坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称可求得、的值，则可求得两函数的对称轴，可求得的值，则可求得两抛物线的函数表达式；由的函数表达式可求得、的坐标；
（2）可判定四边形是菱形，然后根据的条件，列出方程求解；
（3）由题意可知可能为平行四边形的边或对角线，利用平行四边形的性质，可设出点坐标和点坐标，代入的函数表达式可求得、的坐标．
【解答】解：（1）、关于轴对称，
与的交点一定在轴上，且与的形状、大小均相同，
，，
的对称轴为，
的对称轴为，
，
的函数表示式为，的函数表达式为；
在的函数表达式为中，令可得，
解得或，
，；
（2）点、关于直线对称，
，，．
平行于轴，，
，
，
，
即四边形是菱形．
当四边形是菱形存在时，由直线解析式，，
设，，
，，
，解得（舍去），，
．
（3）存在．
的中点为，且点在抛物线上，点在抛物线上，
当为平行四边形的一边时，
且，
由（2）可知，
，
设，则或，
①当时，则，
解得，
，
，；
②当时，则，
解得，
，
，，
当为平行四边形的对角线时，设，，
，
解得，或，，
，，，或，，，．
综上可知，存在满足条件的点、，其坐标为，或，或，，，或，，，．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．需要注意的是，用点的坐标表示线段长度的代数式要注意符号．
二. 菱形存在性问题
内容讲解
例题：如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，点是直线上一动点，点在平面内，是否存在以点P、Q、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由。
【解法分析】：
类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况：
1、定线段AC为边 2、定线段AC为对角线
由菱形的性质可知，菱形的四条边都是相等的，结合这一特性，可以考虑使用考虑“两圆”构图，（参考等腰三角形存在性问题）准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解
1、当AC为边时，考虑两圆构图，准确定位点P、Q位置，

然后做出对应菱形的形状，并根据图形特点设计求解方案。
当以A为顶点（AC、AP为邻边）时，过点P作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形APM，设点P坐标表示AM、PM，并根据AP=AC利用勾股定理建立方程求解；
当以C为顶点（CA、CP为邻边）时，根据菱形对角线互相垂直平分的性质可知CQ⊥AP，AE=PE,利用直线垂直k值积为负倒数（）的关系求出直线CQ解析式，联立方程组求得点E坐标，进而结合中点坐标公式可求点P坐标；
2、当AC为对角线时，利用“一线”的作图方式，准确确定点P、Q位置，利用直线垂直k值积为负倒数（）的关系由直线AC解析式求得直线PQ解析式，然后联立方程组求得点P坐标。
例1. 如图，抛物线与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．
（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；
（2）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，
令y＝0，则x＝﹣2或6，则点A（﹣2，0），
则函数的对称性x＝2；
（2）①当CE为菱形的一条边时，
则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），
则n＝m2﹣2m﹣6…①，
由题意得：CP＝PQ，
即m＝m﹣6﹣n…②，
联立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，
则点Q（6﹣2，4﹣8）；
②当CE为菱形的对角线时，
则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，
设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），
其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，
则PC＝﹣m，
CQ2＝s2+m2，
由题意得：CQ＝CP，
即：（﹣m）2＝s2+m2…④，
联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），
故点（2，﹣8）；
综上，点Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．
例2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，一条抛物线经过点A、点B，并与x轴交于另一点C．抛物线的对称轴与抛物线的交点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点F从点C出发，沿线段CA由C向A运动，E、F的运动速度都是每秒1个单位长度，当点F到达A点时，E、F同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点M，使E、F运动过程中的某一时刻，以A、E、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0，得y＝4
∴B（0，4），
令y＝0，得0＝x+4，解得：x＝﹣3
∴A（﹣3，0）
∴AB＝5，
∵抛物线经过点A、点B，并与x轴交于另一点C，且抛物线的对称轴x＝﹣1与抛物线的交点为点D．
∴设y＝a（x+1）2+k，将A（﹣3，0），B（0，4）代入，
得，解得，
∴y＝﹣（x+1）2+＝﹣x2x+4
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2x+4；
（2）存在点M，使以A、E、F、M为顶点的四边形为菱形．
①以EF为对角线，如图2，设点E，F运动时间为t秒，则AE＝CF＝t，AF＝AC﹣CF＝4﹣t，
∵四边形AEMF是菱形
∴AE＝AF＝EM，EM∥AF
∴t＝4﹣t，解得：t＝2
∴AE＝EM＝AF＝2，过点E作ER⊥x轴于R，则△AER∽△ABO
∴＝＝，即＝＝
∴ER＝2，AR＝
∴E（，2）
∴M（，2）；
②以AE为对角线，如图3，∵四边形AFEM是菱形
∴AF＝EF＝EM，EM∥AF，过点E作ER⊥x轴于R，则△AER∽△ABO
∴ER＝t，AR＝t，
∴FR＝AF﹣AR＝4﹣t﹣t＝4﹣t，
∴EF2＝FR2+ER2＝+，
∴+＝（4﹣t）2，解得：t1＝0（舍去），t2＝
∴E（，）
∴M（，），
③以AF为对角线，如图4，∵四边形AEFM是菱形
∴AE＝EF＝FM＝AM，E，M关于x轴对称，过点E作ER⊥x轴于R，
∴ER＝t，AR＝t＝RF，
∴t×2＝4﹣t，解得：t＝，
∴E（，），
∴M（，﹣），
综上所述，点M的坐标为：M（，2）或M（，）或M（，﹣）．

例3．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0），点P是抛物线上一动点．
（1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式．
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵四边形POP′C为菱形，
∴PP′⊥OC，且PP′，OC互相平分．
又∵点C的坐标为（0，3），
∴直线PP′的表达式为y＝，如图2所示．
当y＝时，﹣x2+2x+3＝，
整理，得：x1＝，x2＝，
∴点P的坐标为（，）或（，）．
过关检测
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得
，解得 ，
∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在．理由如下：
作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2
，
则PO＝PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，
∴OP′＝OP，CP′＝CP，
∴OP′＝OP＝CP′＝CP，
∴四边形POP′C为菱形，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴E点坐标为（0，﹣），
∴点P的纵坐标为﹣，
把y＝﹣代入y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝﹣，
解得x＝，
∵点P在直线BC下方的抛物线上，
∴x＝，
∴满足条件的点P的坐标为（ ，﹣）．
不2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′＝PE，连接P′O、P′C，如图2所示．
∵OE＝CE，EP＝EP′，OC⊥PP′，
∴四边形POP′C为菱形．
当y＝﹣，则有﹣＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝（舍去），x2＝，
∴存在点P（，﹣），使四边形POP′C为菱形．
学习任务
1. （18·天府新区二诊）如图，在平面直角坐标系xy中，把抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；
（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；
（2）判断三角形BCM的形状，并计算其面积；
（3）点P是抛物线上一动点，在y轴上找点Q．使点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，直接写出对应的点P的坐标．（不用写过程）
【分析】（1）利用抛物线的平移规律即可求得h和k的值；然后令y＝0即可求得与x轴的交点坐标；
（2）首先求得点C和点M的坐标，然后求得BC、CM及BM的长，最后利用勾股定理逆定理判定直角三角形即可；
（3）分两AB为边和AB为对角线两种情况讨论计算即可．
（4）分别根据当点G在y轴上时和点F在y轴上时两种情况利用△AOG≌△PHA和△AMP≌△FNP求得点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝（x﹣1）2﹣4， ∴h＝1，k＝﹣4；
令y＝0，即（x﹣1）2﹣4＝0 解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B （3，0），
（2）∵令x＝0，得y＝（0﹣1）2﹣4＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），点M的坐标为（1，﹣4）
∴BC＝3，MC＝，BM＝2
∴BC2+MC2＝BM2
∴△BMC是直角三角形；
∴S＝BC•CM＝×3×＝3；
（3）由（1）知，抛物线y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∵点P是抛物线上一动点， ∴设P（p，p2﹣2p﹣3），
∵点Q在y轴上， ∴设Q（0，m）， ∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，AB的中点M（1，0）
∵点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，
①当AB为边时，AB∥PQ，AB＝PQ， ∴p2﹣2p﹣3＝m，|p|＝4，
Ⅰ、当p＝4时，m＝5， ∴P（4，5），
Ⅱ、当p＝﹣4时，m＝21， ∴P（﹣4，21）
②当AB为对角线时，点M是PQ的中点，
∴p＝2，p2﹣2p﹣3+m＝0， ∴p＝2，m＝3， ∴P（2，﹣3），
∴点P的坐标为（4，5），（﹣4，21）或（2，﹣3），
（4）①如图（1），（2）当点G在y轴上时，

由△AOG≌△PHA，
得PH＝OA，得yP＝xA＝﹣1，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣1，
得x＝1±，
∴P1（1﹣，﹣1），P2（1+，﹣1）
②如图（3），
当点F在y轴上时，由△AMP≌△FNP，
得PM＝PN，得yP＝xP，
则x2﹣2x﹣3＝x，
得x＝，x＝
故P3（，）或（，）
【点评】此题是二次函数综合题，主要抛物线的平移的性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是分类讨论思想，是一道难度比较大的中考常考题．
2．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点C坐标为（0．﹣6），连接BC，点C关于x轴的对称点D，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求二次函数解析式；
（2）点P在x轴上运动时，N为平面内一点，使得点B、C、M、N为顶点的四边形为菱形？如果存在，请直接写出点N坐标；不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把A点坐标为（﹣3，0）、点C坐标为（0，﹣6）代入二次函数表达式，
解得：a＝1，c＝﹣6，
故：二次函数解析式为y＝x2+x﹣6；
（3）①当BC边为菱形的边时，
情况一：N点应该在x轴，关于B点对称，即点N坐标为（﹣2，0），
情况二：BC、MB是菱形两条邻边，且BC＝BM，则点N坐标为（2，﹣12），
情况三：BC、CM为邻边时，则点N坐标为（7.2﹣3.6）；
②当BC边为菱形的对角线时，作BC的垂直平分线MH，
则直线DB与MH的交点为M，M关于BC的对称点为N，H为BC的中点，
∴H坐标为（1，﹣3），
直线BD的方程为：y＝﹣3x+6，直线MH的方程为：y＝﹣x﹣，
联立以上两个方程，解得：M坐标为（，﹣），
同理得N坐标为（﹣，﹣），
故：N坐标为（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）；．
3．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点，AB＝4，与y轴交于C点，E为抛物线的顶点，∠ECO＝135°．
（1）求二次函数的解析式；
（2）过直线BC上两点P，Q（P在Q的左边）作y轴的平行线，分别交抛物线于N，M，若四边形PQMN为菱形，求直线MN的解析式．
【解答】解：（1）过点E作ED⊥y轴于点D，如图1
∴∠CDE＝90°
∵二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象对称轴为直线x＝1
∴xE＝1，yE＝k，即DE＝1，OD＝k
∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∵∠ECO＝135°
∴∠DCE＝45°
∴CD＝DE＝1
∴OC＝OD﹣CD＝k﹣1，即yC＝k﹣1
把点A（﹣1，0），C（0，k﹣1）代入二次函数解析式得：
解得：
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3
（3）∵四边形PQMN为菱形
∴PQ∥MN，PN＝PQ＝MQ＝MN
∴点M、N必须同时在直线BC的上方或下方
过点P作PH⊥QM于点H，如图3
∵B（3，0），C（0，3）
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，y随x的增大而减小
∴PQ不可能在y轴左侧
设P（p，﹣p+3），Q（p+t，﹣p﹣t+3）（p＞0，t＞0）
∴PH＝t，HQ＝﹣p+3﹣（﹣p﹣t+3）＝t
∴PQ＝t
∵点M、N在二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上
∴N（p，﹣p2+2p+3），M（p+t，﹣（p+t）2+2（p+t）+3）
∴PN＝|﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）|＝|﹣p2+3p|，MQ＝|﹣（p+t）2+2（p+t）+3）﹣（﹣p﹣t+3）|＝|﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t|
且两绝对值号里的式子同正同负
∴﹣p2+3p＝﹣p2﹣2pt﹣t2+3p+3t＝|t|
解得：，（舍去）（舍去）（舍去）
∴﹣p+3＝
∴点P坐标为（，）